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2基本不等式
一导课材料
(1)古代诗词中的不等关系
题西林壁
苏轼宋
横看成岭侧成峰,
远近高低各不同。
不识庐山真面目,
只缘身在此山中。
(2)现实生活中的不等关系
(3)中国古代数学中的重大成就
二新课讲授
五:
知识拓展
(1)基本不等式求最值为什么一定要“定”?
高考数学左勤勇期刊来
原标题:
基本不等式求最值为什么一定要“定”?
童鞋们都知道,用基本不等式求最值的七字诀——一正二定三相等.市面上的资料基本围绕如何满足“一正二定三相等”的条件来求最值.但是却很少讲,为什么一定要这三个条件呢?
“正”字不必多说,大家好理解,这是推导基本不等式的前提条件.再来看“定”:
a*b为定值,则a+b有最小值;a+b为定值,则a*b有最大值.即“积定和最小,和定积最大”.
为什么求最值一定要“定”?
为什么一定要“定值”呢?
先看下面的例1.
解法分析:
这样解虽然使用了基本不等式,但是右边的式子并不是定值,结果正确吗?
显然,当x=2时,(9-2x)x的值等于10>9,所以上面的解法错误.
错误是如何发生的呢?
我们分别画出两个函数f(x)=(9-2x)x,g(x)=[(9-x)/2]^2的图象.
从上图我们能看出:
随着x的变化,(9-2x)x、[(9-x)/2]^2也都在变化,而且(9-2x)x始终小于等于[(9-x)/2]^2.当9-2x=x即x=3时,(9-2x)x等于[(9-x)/2]^2.这些都没有错.但是问题来了.问题就是:
取等号时的位置并不是取最值的位置.
怎样能保证取等号时就是最值呢?
答案是:
必须定值!
看正确解法.
再看图象,我们画出函数两个函数f(x)=(9-2x)x,g(x)=81/8的图象.
看出定值的好处来了吗?
因为是定值,它的图象是一条平行于x轴的直线,这样就保证了——f(x)的图象都在直线的下方,取等号的位置就是最值的问题.最后就到了“等”的要求了.无需多言,如果等号取不到,最值显然也取不到.
可以多步到达“定”,只要多个等号能同时取得
从上面的分析我们能看出,用基本不等式求最值不仅要求“一正二定三相等”,而且顺序都不能变——先要求"正",再要求"定",最后研究取等的条件是否满足.
另外,也可以多步使用不等式,最后一步为定值即可.
当然,中间的每个不等式取等的条件都必须满足.
画出图来,是这样的感觉.
只要中间的两个等号能够同时取得,f(x)也能取得最小值.
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如果中间的几个等号不能同时取得呢?
那就说明,这个解法行不通,要换别的思路.
画出图来,就类似于这样.
从上图看出,两个取等条件不一致,所以最终按照这个解法取不到最值,必须另觅途径.
(2)赵爽赵爽,又名婴,字君卿,中国数学家。
东汉末至三国时代吴国人。
他是我国历史上著名的数学家与天文学家。
生平不详,约182---250年
史籍记载
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据载,他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》,也提到过“算术”。
他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》,该书是我国最古老的天文学著作,唐初改名为《周髀算经》该书写了序言,并作了详细注释。
该书简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理。
其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。
他详细解释了《周髀算经》中勾股定理,将勾股定理表述为:
“勾股各自乘,并之,为弦实。
开方除之,即弦。
”。
又给出了新的证明:
“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加差实,亦成弦实。
”。
“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明。
赵爽个人研究
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出入相补原理
即2ab+(b-a)²=c²,化简便得a²+b²=c²。
其基本思想是图形经过割补后,其面积不变。
刘徽在注释《九章算术》时更明确地概括为出入相补原理,这是后世演段术的基础。
赵爽在注文中证明了勾股形三边及其和、差关系的24个命题。
例如√(2(c-a)(c-b))+(c-b)=a,√(2(c-a)(c-b))+(c-a)=b,√(2(c-a)(c-b))+(c-a)+(c-b)=c等等。
他还研究了二次方程问题,得出与韦达定理类似的结果,并得到二次方程求根公式之一。
此外,使用“齐同术”,在乘除时应用了这一方法,还在‘旧高图论”中给出重差术的证明。
赵爽的数学思想和方法对中国古代数学体系的形成和发展有一定影响。
赵爽自称负薪余日,研究《周髀》,遂为之作注,可见他是一个未脱离体力劳动的天算学家。
一般认为,《周髀算经》成书于公元前100年前后,是一部引用分数运算及勾股定理等数学方法阐述盖天说的天文学著作。
而大约同时成书的《九章算术》,则明确提出了勾股定理以及某些解勾股形问题。
赵爽《周髀算经注》逐段解释《周髀》经文。
勾股圆方图
最为精彩的是附录于首章的勾股圆方图,短短500余字,概括了《周髀算经》、《九章算术》以来中国人关于勾股算术的成就,其中包含了:
勾股定理(这里以a,b,c分别代表直角三角形的勾、股、弦三边之长)a²+b²=C²
及其变形b²=c²-a²=(c-a)(c+a),a²=c²-b²=(c-b)(c+b),c²=2ab+(b-a)²;
有通过开带从平方
a^2+(b-a)a=1/2[c²-(b-a)²]求勾a
开平方a=[c²-(c²-a²)]^1/2求勾a
开带从平方(c-a)²+2a(c-a)=c²-a²求勾弦差c-a的方法,以及:
c=(c-a)+a,c+a=b^2/(c-1),c-a=b^2/(c+a),c=[(c=a)^2+b^2]/2(c+a),a=[(c+a)^2-b^2]/2(c+a)等公式,与上述公式对称,也有求b,c-b,c+b及由c-b,c+b求c,b的公式,又有由勾弦差、股弦差求勾、股、弦的公式:
a=[2(c-a)(c-b)]^1/2+(c-b),b=[2(c-a)(c-b)]^1/2+(c-a),c=[(2(c-a)(c-b)]^1/2+(c-b)+(c-a)
以及勾股差b—a与勾股并b+a的关系式
(a+b)^2=2c^2—(b-a)^2,a+b=[2c^2-(b-a)^2]^1/2,b-a=[2c^2-(b+a)^2]^1/2,
进而由此给出了求a,b的公式b=1/2[(a+b)+(b-a)],a=1/2[(a+b)-(b-a)],最后给出了由弦与勾(或股)表示的股(或勾)弦并与股(或勾)弦差之差:
(c+b)-(c-b)=[(2c)^2-4a^2]^1/2
(c+a)-(c-a)=[(2c)^2-4b^2]^1/2
赵爽用出入相补方法对上述公式作了证明。
这些公式大都与《九章算术》及其刘徽注所阐述的相同,证明方法也类似,只是最后两个公式为刘徽注所没有,所用术语也与刘徽稍异。
可见,这些知识是汉魏时期数学家们的共识。
《畴人传》说勾股圆方图注“五百余言耳,而后人数千言所不能详者,皆包蕴无遗,精深简括,诚算氏之最也”。
赵爽史籍记载
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原始文献
[1](吴)赵爽注:
周髀算经,见钱宝琮校点《算经十书》上册,中华书局,
1963。
赵爽研究文献
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[2]钱宝琮主编:
中国数学史,科学出版社,1964。
[3]钱宝琮:
周髀算经考,见《钱宝琮科学史论文选集》,科学出版社,
1983。
[4](清)阮元主编:
畴人传,商务印书馆重印本,1955。
(科学出版社《中国古代科学家传记》)
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