解析版北师大版八年级下册12 直角三角形同步练习.docx
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解析版北师大版八年级下册12直角三角形同步练习
1.2直角三角形
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法中错误的是( )
A.在△ABC中,若∠A:
∠B:
∠C=2:
2:
4,则△ABC为直角三角形
B.在△ABC中,若∠A=∠B﹣∠C,则△ABC为直角三角形
C.在△ABC中,若∠A
∠B
∠C,则△ABC为直角三角形
D.在△ABC中,∠A=∠B=2∠C,则△ABC为直角三角形
2.下列说法不正确的是( )
A.等边三角形是等腰三角形B.所有的等腰三角形都是锐角三角形
C.所有的等边三角形都是锐角三角形D.直角三角形两锐角的和是个定值
3.已知直角三角形ABC中,有一个锐角等于50°,则另一个锐角的度数是( )
A.50°B.45°C.40°D.30°
4.在下列条件:
①∠A+∠B=∠C,②∠A:
∠B:
∠C=5:
3:
2,③∠A=90°﹣∠B,④∠A=2∠B=3∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一直角边对应相等D.两个锐角对应相等
6.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D是AB的中点,E是BC的中点,EF⊥CD于点F,则EF的长是( )
A.3B.4C.5D.
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,交BC于点E,AE=6cm,则AC=( )
A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm
8.如图,在△ABC中,AB=AC=11,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的角平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,则DF的长为( )
A.4.5B.5C.5.5D.6
9.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=60°,动点P在斜边AB所在的直线m上运动,连结PC,那点P在直线m上运动时,能使图中出现等腰三角形的点P的位置有( )
A.6个B.5个C.4个D.3个
10.如图,等边△ABC中,AB=4,点P在边AB上,PD⊥BC,DE⊥AC,垂足分别为D、E,设PA=x,若用含x的式子表示AE的长,正确的是( )
A.2
xB.3
xC.1
D.2
x
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上
11.命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是 命题.(填“真”或“假”)
12.命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 .
13.如图,Rt△ABC和Rt△EDF中,AB∥DF,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件 ,使Rt△ABC和Rt△EDF全等.
14.如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是 .(不添加字母和辅助线)
(14题)
(15题)
(16题)
15.如图,正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,则∠ACD+∠BDC= °.
16.如图,AB⊥BC、DC⊥BC,垂足分别为B、C,AB=6,BC=8,CD=2,点P为BC边上一动点,当BP= 时,形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等.
17.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,CD=2,则BC= .
(17题)
(18题)
18.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM= .
三、解答题(本大题共6小题,共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求证:
CE=CF;
(2)若CD=2,求DF的长.
20.如图,上午8时,一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°,以15海里/时的速度向正北航行,9时30分到达B处,测得灯塔C在北偏西60°,若船继续向正北方向航行,求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处.
21.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=2∠B,AD平分∠CAB.
(1)求∠CAD的度数;
(2)延长AC至E,使CE=AC,求证:
DB=DE.
22.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=10,PQ=AB,P,Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动,且点P不与点A,C重合,那么当点P运动到什么位置时,才能使△ABC与△APQ全等?
23.在△ABC中,∠ACB=90°.现给出以下3个关系:
①CD垂直于AB,②BE平分∠ABC,③∠CFE=∠CEF,请你从中任选两个作为条件,另一个作为结论构成一个命题,并证明该命题的正确性.
24.在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=40°,P是射线BC上一动点(与B,C点不重合),连接AP.过点C作CD⊥AP于点D,交直线AB于点E,设∠APC=α.
(1)若点P在线段BC上,且α=60°,如图1,直接写出∠PAB的大小;
(2)若点P在线段BC上运动,如图2,求∠AED的大小(用含α的式子表示);
(3)若点P在BC的延长线上运动,且a≠50°,直接写出∠AED的大小(用含α的式子表示).
答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.【解析】A、在△ABC中,因为∠A:
∠B:
∠C=2:
2:
4,所以∠C=90°,∠A=∠B=45°,△ABC为直角三角形,本选项不符合题意.
B、在△ABC中,因为∠A=∠B﹣∠C,所以∠B=90°,△ABC为直角三角形,本选项不符合题意.
C、在△ABC中,因为∠A
∠B
∠C,所以∠C=90°,∠B=60°,∠A=30°,△ABC为直角三角形,本选项不符合题意.
D、在△ABC中,因为∠A=∠B=2∠C,所以∠A=∠B=72°,∠C=36°,△ABC不是直角三角形,本选项符合题意,
故选:
D.
2.【解析】A、等边三角形是等腰三角形,故原题说法正确;
B、所有的等腰三角形不一定都是锐角三角形,故原题说法错误;
C、所有的等边三角形都是锐角三角形,故原题说法正确;
D、直角三角形两锐角的和是个定值90°,故原题说法正确;
故选:
B.
3.【解析】∵直角三角形ABC中,有一个锐角等于50°,
∴另一个锐角的度数是:
90°﹣50°=40°,
故选:
C.
4.【解析】①∵∠A+∠B=∠C,
∴2∠C=180°,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形;
②∵∠A:
∠B:
∠C=5:
3:
2,
设∠A=5x,则∠B=3x,∠C=2x,
∴5x+2x+3x=180,
解得:
x=18°,
∴∠5=18°×5=90°,
∴△ABC是直角三角形;
③∵∠A=90°﹣∠B,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠C=180°﹣90°=90°,
∴△ABC是直角三角形;
④∵3∠C=2∠B=∠A,
∴∠A+∠B+∠C
∠A
∠A+∠A=180°,
∴∠A=(
)°,
∴△ABC为钝角三角形.
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个,
故选:
C.
5.【解析】A、根据SAS定理可知,两条直角边对应相等的两个三角形全等,本选项不符合题意;
B、根据AAS定理可知,斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等,本选项不符合题意;
C、根据HL定理可知,斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等,本选项不符合题意;
D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等,本选项符合题意;
故选:
D.
6.【解析】在Rt△ABC中,
∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,
∴AB
10,
∵D是AB的中点,
∴线段CD是中线,
∴AD=BD=CD=5,△BDC
S△ABC
6×8=12.
如图,连接DE,
∵E为BC边的中点,
∴S△DEC
S△BDC=6,
∵S△DEC
DC•EF,
∴
5EF=6,
解得:
EF
,
故选:
D.
7.【解析】∵DE垂直平分AB,
∴EB=EA,
∴∠EAB=∠B=15°,
∴∠AEC=30°,
∴AC
AE=3(cm),
故选:
D.
8.【解析】∵△ABC是等腰三角形,D为底边的中点,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=60°,∠ADB=90°,
∵AE是∠BAD的角平分线,
∴∠DAE=∠EAB=30°.
∵DF∥AB,
∴∠F=∠BAE=30°.
∴∠DAF=∠F=30°,
∴AD=DF.
∵AB=11,∠B=30°,
∴AD=5.5,
∴DF=
5.5
故选:
C.
9.【解析】如图所示:
以B为圆心,BC长为半径画弧,交直线m于点P4,P2,
以A为圆心,AC长为半径画弧,交直线m于点P1,P3,
边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置,
因此出现等腰三角形的点P的位置有4个,
故选:
C.
10.【解析】∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=4,∠B=∠C=60°,
∵PD⊥BC,DE⊥AC,
∴BD
PB,CE
CD,
∵PA=x,
∴BP=4﹣x,
∴BD
PB=2
x,
∴CD=4﹣(2
x)=2
x,
∴CE=1
x,
∴AE=4﹣(1
x)=3
x,
故选:
B.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上
11.【解析】命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是“三个角都是60°的三角形是等边三角形”,是真命题,
故答案为:
真.
12.【解析】命题“全等三角形对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”,结论是“它们的对应角相等”,
故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形,
故答案为:
对应角相等的三角形是全等三角形
13.【解析】添加的条件是:
AB=DF,
证明:
在Rt△ABC和Rt△DFE中,
∴∠ACB=∠DEF=90°,
∵AB∥DF,
∴∠ABC=∠DFE,
∴添加AB=DF,
在Rt△ABC和Rt△DFE中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△DFE(AAS),
故答案为:
AB=DF(答案不唯一).
14.【解析】∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等,
∴在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,使Rt△ABC≌Rt△DCB,添加的条件是:
AB=DC.
故答案为:
AB=DC(答案不唯一)
15.【解析】在Rt△AEC和Rt△DAB中
∴Rt△AEC≌Rt△DAB(HL),
∴∠ACE=∠ABD,
∵∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠EAC+∠ABD=90°,
∴∠AFB=90°,即∠CFD=90°,
∴∠ACD+∠BDC=90°,
故答案为90.
16.【解析】当BP=2时,Rt△ABP≌Rt△PCD,
∵BC=8,BP=2,
∴PC=6,
∵AB⊥BC、DC⊥BC,
∴∠B=∠C=90°,
在△ABP和△PCD中
,
∴△ABP≌△PCD(SAS),
故答案为:
2.
17.【解析】作DE⊥AB于E,
∵AD是△ABC的角平分线,∠C=90°,DE⊥AB,
∴DE=CD=2,
∵DE⊥AB,∠B=30°,
∴BD=2DE=4,
∴BC=CD+BD=6,
故答案为:
6.
18.【解析】过P作PD⊥OB,交OB于点D,
在Rt△OPD中,cos60°
,OP=12,
∴OD=6,
∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2,
∴MD=ND
MN=1,
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5.
故答案为:
5.
三、解答题(本大题共6小题,共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.【解析】证明:
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵DE∥AB,
∴∠B=EDC=60°,∠A=∠CED=60°,
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°,
∵EF⊥ED,
∴∠DEF=90°,
∴∠F=30°
∵∠F+∠FEC=∠ECD=60°,
∴∠F=∠FEC=30°,
∴CE=CF.
(2)由
(1)可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°,
∴CE=DC=2.
又∵CE=CF,
∴CF=2.
∴DF=DC+CF=2+2=4.
20.【解析】∵∠CBD为△ABC的外角,∠CBD=60°,∠CAB=30°,
∴∠ACB=∠CBD﹣∠ACB=30°,
∴∠CAB=∠ACB,
AB=15×(9.5﹣8)=22.5,
∴AB=BC=22.5,
在Rt△BCD中,∠BCD=30°,
∴BD
BC=11.25,
∴从B到D用的时间为11.25÷15
小时=45分钟,
则当船继续航行,10时15分到达灯塔C在正东方向.
21.【解析】证明:
(1)∵∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠B=90°,
又∵∠CAB=2∠B,
∴∠B=30°,∠CAB=60°,
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠DAB=30°;
(2)∵∠DAB=30°=∠B,
∴AD=DB,
∵AC=EC,∠ACB=90°,
∴AD=DE,
∴DE=DB.
22.【解析】根据三角形全等的判定方法HL可知:
①当P运动到AP=BC时,
∵∠C=∠QAP=90°,
在Rt△ABC与Rt△QPA中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),
即AP=BC=10;
②当P运动到与C点重合时,AP=AC,不合题意.
综上所述,当点P运动到距离点A为10时,△ABC与△APQ全等.
23.【解析】①②⇒③.
理由:
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=∠ACB=90°,
∴∠BCF+∠DCA=90°,∠DCA+∠A=90°,
∴∠BCF=∠A,
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBC=∠EBA,
∵∠CFE=∠BCF+∠EBC,∠BEC=∠A+∠EBA,
∴∠CFE=∠CEF.
24.【解析】
(1)如图1,当α=60°时,∠APC=60°,
△APB中,∠PAB=∠APC﹣∠B=60°﹣40°=20°,
(2)如图2,同
(1)得:
∠PAB=α﹣40°,
∵CE⊥AP,
∴∠ADE=90°,
∴∠PAB+∠AED=90°,
∴∠AED=90°﹣∠PAB=90°﹣(α﹣40°)=130°﹣α,
(3)如图3,当α>50°时,
△APC中,∠ACP=90°,∠APC=α,
∴∠CAP=90°﹣α,
∵CD⊥AP,
∴∠ADE=90°,
∴∠AED=90°﹣∠DAE=90°﹣(50°+90°﹣α)=α﹣50°,
②如图4,当α<50°时,
∴∠AED=90°﹣∠PAE=90°﹣(α+40°)=50°﹣α,
综上,∠AED为α﹣50°或50°﹣α.
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