北师大版八年级数学下册 同步练习直角三角形Word文档格式.docx
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北师大版八年级数学下册 同步练习直角三角形Word文档格式.docx
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C.55°
D.45°
9.在直角三角形中,其中一个锐角是另一个锐角的2倍,则此三角形中最小的角是( )
A.15°
B.30°
C.60°
D.90°
10.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为( )
A.100度B.120度C.135度D.140度
11.如图所示,H是△ABC的高AD,BE的交点,且DH=DC,则下列结论:
①BD=AD;
②BC=AC;
③BH=AC;
④CE=CD中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
12.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等的依据是( )
A.SSSB.AASC.SASD.HL
13.如图,在△ABC中,∠C=60°
,∠B=50°
,D是BC上一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则∠EDF的度数为( )
A.90°
B.100°
C.110°
14.已知,如图,△ABC中,∠BAC=90°
,AD⊥BC于D,则图中相等的锐角的对数有( )
A.4对B.3对C.2对D.1对
15.下列说法错误的是( )
A.直角三角板的两个锐角互余
B.经过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
C.如果两个角互补,那么,这两个角一定都是直角
D.平行于同一条直线的两条直线平行
16.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD与CE交于点F,请你添加一个适当的条件:
(答案不唯一),使△ADB≌△CEB。
17.如图,已知AB⊥CD,垂足为B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是 。
18.如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,∠1=∠2,有下列结论:
①AC∥DE;
②∠A=∠3;
③∠B=∠1;
④∠B与∠2互余;
⑤∠A=∠2.其中正确的有 (填写所有正确的序号)。
19.在一个直角三角形中,有一个锐角等于30°
,则另一个锐角的大小为 度。
20.在△ABC中,高AD和BE交于H点,且BH=AC,则∠ABC= 。
21.如图,已知∠A=∠D=90°
,E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF。
求证:
Rt△ABF≌Rt△DCE。
22.已知:
AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2,问:
△ABC≌△ADC吗?
说明理由。
23.如图,AD∥BC,∠A=90°
,E是AB上的一点,且AD=BE,∠1=∠2。
△ADE≌△BEC。
24.如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°
,D是AB上一点,且∠ACD=∠B。
CD⊥AB。
25.在△ABC中,OE⊥AB,OF⊥AC且OE=OF。
(1)如图,当点O在BC边中点时,试说明AB=AC;
(2)如图,当点O在△ABC内部时,且OB=OC,试说明AB与AC的关系;
(3)当点O在△ABC外部时,且OB=OC,试判断AB与AC的关系.(画出图形,写出结果即可,无须说明理由)
答案与解析
1.答案:
D
解析:
解答:
A.平行四边形是中心对称图形,说法正确;
B.斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等,说法正确;
C.两个锐角分别相等的两直角三角形全等,说法错误;
D.一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等,说法正确;
故选:
C。
分析:
根据中心对称图形的定义可得A说法正确;
根据AAS定理可得B正确;
根据全等三角形的判定定理可得要证明两个三角形全等,必须有边对应相等可得C正确;
根据HL定理可得D正确。
2.答案:
B
∵将一副直角三角尺如图放置,∠AOD=20°
,
∴∠COA=90°
﹣20°
=70°
∴∠BOC=90°
+70°
=160°
。
B。
利用直角三角形的性质以及互余的关系,进而得出∠COA的度数,即可得出答案。
3.答案:
A
∵∠C=90°
∴∠A=90°
﹣46°
=44°
故选A。
根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解。
4.答案:
C
由题意得,剩下的三角形是直角三角形,
所以,∠1+∠2=90°
根据直角三角形两锐角互余解答。
5.答案:
从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边,也是公共边。
依据“HL”定理,证明Rt△ABC≌Rt△ABD,
还需补充一对直角边相等,
即AC=AD或BC=BD,
根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,因图中已经有AB为公共边,再补充一对直角边相等的条件即可。
6.答案:
两直角三角形隐含一个条件是两直角相等,要判定两直角三角形全等,起码还要两个条件,故可排除A、C;
而D构成了AAA,不能判定全等;
B构成了SAS,可以判定两个直角三角形全等。
判定两个直角三角形全等的方法有:
SAS、SSS、AAS、ASA、HL五种.据此作答。
7.答案:
∵OE⊥AB,OF⊥AC,∴∠AEO=∠AFO=90°
又∵OE=OF,AO为公共边,∴△AEO≌△AFO。
利用点O到AB,AC的距离OE=OF,可知△AEO和△AFO是直角三角形,然后可直接利用HL求证△AEO≌△AFO,即可得出答案。
8.答案:
∵AB⊥BD,AC⊥CD,
∴∠B=∠C=90°
∴∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°
又∵∠AEB=∠CED,
∴∠A=∠D=35°
故选B。
先由AB⊥BD,AC⊥CD可得∠B=∠C=90°
,再根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°
,由对顶角相等有∠AEB=∠CED,然后利用等角的余角相等得出∠A=∠D=35°
9.答案:
设较小的锐角是x°
,则另一个锐角是2x°
由题意得,x+2x=90,
解得x=30,
即此三角形中最小的角是30°
设较小的锐角是x,然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可。
10.答案:
如图,∵∠C=90°
∴∠BAC+∠ABC=180°
﹣90°
=90°
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线,
∴∠OAB+∠OBA=
×
90°
=45°
∴∠AOB=180°
﹣(∠OAB+∠OBA)=180°
﹣45°
=135°
作出图形,根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC+∠ABC=90°
,再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=45°
,然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解。
11.答案:
①∵BE⊥AC,AD⊥BC
∴∠AEH=∠ADB=90°
∵∠HBD+∠BHD=90°
,∠EAH+∠AHE=90°
,∠BHD=∠AHE
∴∠HBD=∠EAH
∵DH=DC
∴△BDH≌△ADC(AAS)
∴BD=AD,BH=AC
②:
∵BC=AC
∴∠BAC=∠ABC
∵由①知,在Rt△ABD中,BD=AD
∴∠ABC=45°
∴∠BAC=45°
∴∠ACB=90°
∵∠ACB+∠DAC=90°
,∠ACB<90°
∴结论②为错误结论。
③:
由①证明知,△BDH≌△ADC
∴BH=AC
解④:
∵CE=CD
∵∠ACB=∠ACB;
∠ADC=∠BEC=90°
∴△BEC≌△ADC
由于缺乏条件,无法证得△BEC≌△ADC
∴结论④为错误结论
综上所述,结论①,③为正确结论,结论②,④为错误结论,根据题意故选B。
可以采用排除法对各个选项进行验证,从而得出最后的答案。
12.答案:
两边及夹角对应相等的两个三角形全等,这为“边角边”定理,简写成“SAS”。
根据三角形全等的判定定理,两条直角边对应相等,还有一个直角,则利用了SAS。
13.答案:
如图,∵在△ABC中,∠C=60°
∴∠A=70°
∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴∠AED=∠AFD=90°
∴∠EDF=360°
﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°
由三角形内角和定理求得∠A=70°
;
由垂直的定义得到∠AED=∠AFD=90°
然后根据四边形内角和是360度进行求解。
14.答案:
相等的锐角有:
∠B=∠CAD,∠C=∠BAD共2对。
根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等写出相等的角即可。
15.答案:
A.直角三角形中的两个锐角互余,所以直角三角板的两个锐角互余,故本选项说法正确;
B.根据平行公理可知:
过直线外一点作已知直线的平行线,能作且只能作一条,故本选项说法正确;
C.如果两个角互补,那么,这两个角和一定是180°
,但是它们不一定都是直角,故本选项说法错误;
D.根据平行线的递等性知平行于同一条直线的两条直线平行.故本选项说法正确;
①根据直角三角形的性质判断;
②过直线外一点作已知直线的平行线,能作且只能作一条;
③根据补角的定义进行判断;
④根据平行线的性质进行判断。
16.答案:
AB=BC
AB=BC,AD⊥BC,CE⊥AB,∠B=∠B
∴△ADB≌△CEB(AAS)。
答案:
AB=BC。
要使△ADB≌△CEB,已知∠B为公共角,∠BEC=∠BDA,具备了两组角对应相等,故添加AB=BC或BE=BD或EC=AD后可分别根据AAS、ASA、AAS能判定△ADB≌△CEB。
17.答案:
AC=DE
AC=DE,
理由是:
∵AB⊥DC,
∴∠ABC=∠DBE=90°
在Rt△ABC和Rt△DBE中,
∴Rt△ABC≌Rt△DBE(HL)。
故答案为:
AC=DE。
先求出∠ABC=∠DBE=90°
,再根据直角三角形全等的判定定理推出即可。
18.答案:
①②③
∵AC⊥BC,CD⊥AB,
∴△ACD与△ACB都为直角三角形,
∴∠A+∠1=90°
,∠A+∠B=90°
∴∠1=∠B,选项③正确;
∵∠1=∠2,
∴AC∥DE,选项①正确;
∴∠A=∠3,选项②正确;
∵∠1=∠B,∠1=∠2,
∴∠2=∠B,即∠2与∠B不互余,选项④错误;
∠2不一定等于∠A,选项⑤错误;
则正确的选项有①②③,
①②③。
由同角的余角相等得到∠1=∠B,由已知内错角相等得到AC与DE平行,由两直线平行同位角相等得到∠A=∠3,再利用等量代换得到∠2与∠B相等,∠2不一定等于∠A。
19.答案:
60
∵三角形是直角三角形,一个锐角等于30°
∴另一个锐角为90°
﹣30°
=60°
60。
根据直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角的度数即可。
20.答案:
45°
或135°
有2种情况,如图
(1),
(2),
∵∠BHD=∠AHE,又∠AEH=∠ADC=90°
∴∠DAC+∠C=90°
,∠HAE+∠AHE=90°
∴∠AHE=∠C,
∴∠C=∠BHD,
∵BH=AC,∠HBD=∠DAC,∠C=∠BHD,
∴△HBD≌△CAD,
∴AD=BD。
如图
(1)时∠ABC=45°
如图
(2)时∠ABC=135°
∵AD=BD,AD⊥BD,
∴△ADB是等腰直角三角形,
∴∠ABD=45°
∴∠ABC=180°
根据高的可能位置,有2种情况,如图
(1),
(2),通过证明△HBD≌△CAD得AD=BD后求解。
21.答案:
证明:
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
∵∠A=∠D=90°
∴△ABF与△DCE都为直角三角形,
在Rt△ABF和Rt△DCE中,
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)。
由于△ABF与△DCE是直角三角形,根据直角三角形全等的判定的方法即可证明。
22.答案:
解:
△ABC≌△ADC.理由如下:
∵AB⊥BC,AD⊥DC,
∴∠B=∠D=90°
在△ABC与△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(AAS)。
根据全等三角形的判定定理AAS进行证明。
23.答案:
∴DE=CE。
∵AD∥BC,∠A=90°
∴∠B=90°
∴△ADE和△EBC是直角三角形,而AD=BE。
∴△ADE≌△BEC。
此题比较简单,根据已知条件,利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论。
24.答案:
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∵∠ACD=∠B,
∴∠A+∠ACD=90°
∴∠ADC=90°
∴CD⊥AB。
25.
(1)答案:
∵OE=OF,OB=OC,
∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL);
∴∠B=∠C,
∴AB=AC。
(2)答案:
AB=AC。
同
(1)可证得Rt△OBE≌Rt△OCF;
∴∠OBE=∠OCF;
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB;
∴∠ABC=∠ACB;
(3)答案:
当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时,AB=AC成立,如图①;
当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时,结论不成立,如图②.(图形不唯一,符合题意,画图规范即可)
(1)证△BOE≌△COF,可得∠B=∠C,通过等角对等边,得出AB=AC;
(2)与
(1)类似,在证得△BOE≌△COF后,得∠OBE=∠OCF,OB=OC;
则∠OBC=∠OCB,可证得∠ABC=∠ACB,根据等角对等边得出AB=AC;
(3)由前两问的解答过程可知,BC的垂直平分线与∠A的角平分线重合时,AB=AC的结论才成立(等腰三角形三线合一)。
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