高等代数北大版课件7.7不变子空间.ppt
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高等代数北大版课件7.7不变子空间.ppt
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2线性变换的运算,3线性变换的矩阵,4特征值与特征向量,1线性变换的定义,6线性变换的值域与核,8若当标准形简介,9最小多项式,7不变子空间,小结与习题,第七章线性变换,5对角矩阵,7.7不变子空间,一、不变子空间的概念,二、线性变换在不变子空间上的限制,7.7线性变换的定义,三、不变子空间与线性变换的矩阵化简,四、线性空间的直和分解,7.7不变子空间,设是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的,的子空间,若有,则称W是的不变子空间,简称为子空间.,V的平凡子空间(V及零子空间)对于V的任意一,个变换来说,都是子空间.,一、不变子空间,1、定义,注:
7.7不变子空间,1)两个子空间的交与和仍是子空间.,2)设则W是子空间,证:
显然成立.,任取设,则,故W为的不变子空间.,2、不变子空间的简单性质,由于,7.7不变子空间,1)线性变换的值域与核都是的,不变子空间.,证:
有,故为的不变子空间.,又任取有,3、一些重要不变子空间,也为的不变子空间.,7.7不变子空间,2)若则与都是子空间.,证:
对存在使,于是有,,为的不变子空间.,其次,由,对有,7.7不变子空间,于是,故为的不变子空间.,的多项式的值域与核都是的不变子空间.,这里为中任一多项式.,注:
7.7不变子空间,4)线性变换的特征子空间是的不变子空间.,有,5)由的特征向量生成的子空间是的不变子空间.,证:
设是的分别属于特征值,的特征向量.,3)任何子空间都是数乘变换的不变子空间.,任取,设,则,为的不变子空间.,7.7不变子空间,事实上,若,则为的一组基.,因为W为子空间,,即必存在使,是的特征向量.,特别地,由的一个特征向量生成的子空间是一,个一维子空间.,反过来,一个一维子空间,必可看成是的一个特征向量生成的子空间.,注:
7.7不变子空间,二、在不变子空间W引起的线性变换,定义:
不变子空间W上的限制.记作,在不变子空间W上引起的线性变换,或称作在,设是线性空间V的线性变换,W是V的一个的,不变子空间.把看作W上的一个线性变换,称作,7.7不变子空间,当时,,任一线性变换在它核上引起的线性变换是零,变换,即,即有,注:
当时,无意义.,在特征子空间上引起的线性变换是数乘变换,,7.7不变子空间,1、设是维线性空间V的线性变换,W是V的,子空间,为W的一组基,把它扩允为,V的一组基:
若在基下的矩阵为,则,在基下的矩阵具有下列形状:
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简,7.7不变子空间,反之,若,则由生成的子空间必为的,不变子空间.,事实上,因为W是V的不变子空间.,即,均可被,线性表出.,7.7不变子空间,从而,,设,7.7不变子空间,在这组基下的矩阵为,若,则,为V的一组基,且在这组基下的矩阵为准对角阵,2、设是维线性空间V的线性变换,都是,的不变子空间,而是的一组基,且,
(1),7.7不变子空间,的子空间为的不变子空间,且V具有直和分解:
由此即得:
下的矩阵为准对角矩阵
(1),则由生成,V的线性变换在某组基下的矩阵为准对角形,V可分解为一些的不变子空间的直和.,反之,若在基,7.7不变子空间,定理12:
设为线性空间V的线性变换,是,四、线性空间的直和分解,是的特征多项式.若具有分解式:
再设,则都是的不变子空间;且V具有直和分解:
7.7不变子空间,证:
令,则是的值域,,是的不变子空间.,又,
(2),7.7不变子空间,下证分三步:
证明,存在多项式使,于是,对有,7.7不变子空间,这里,7.7不变子空间,其中,(也即,),,则,存在使,于是,证明是直和.,7.7不变子空间,用作用(3)的两端,得,又,7.7不变子空间,从而,所以是直和.,有多项式,使,7.7不变子空间,证明:
首先由
(2),有,即,其次,任取设,即,令,7.7不变子空间,由
(2),有,从而有,又,又,由,是直和,它的零向量分解式,即,唯一.,7.7不变子空间,综合,即有,于是,故,即有,是的不变子空间,且,7.7不变子空间,练习:
设3维线性空间V的线性变换在基,下的矩阵为,证明:
是的不变子空间.,证:
令,由,7.7不变子空间,有,7.7不变子空间,即,故W为的不变子空间.,
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- 高等 代数 北大 课件 7.7 不变 空间