多元函数微积分复习概要.docx
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多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点
一、基本概念及相关定理
1.多元函数的极限定义:
函数zf(x,y)在区域D
内有定义,当点P(x,y)D沿任意路径无限趋于点
P0(x0,y0)(
PP)时,f(x,y)无限趋于一个确定的常数
0
A,则称常数A是函数zf(x,y)当P(x,y)趋于
P0(x0,y0)时的极限.记作
lim(,)
fxyA,或
xx
0
yy
0
lim(,)
fxyA,或f(x,y)A,
(x,y)(x,y)
00
(x,y)(x,y),或
00
limf(x,y)A,或f(x,y)A,0.其中,
0
(xx)(yy).
22
00
2.二元函数连续的定义:
函数zf(x,y)在点
P0(x0,y0)的某一邻域
U(P)内有定义,如果对任意
0
P(x,y)U(P),都有
0
limf(x,y)f(x,y)(或
00
(x,y)(x,y)
00
lim()()
fPfP),则称函数zf(x,y)在点
0
PP
0
Pxy
0(0,0)
处连续.
3.偏导数的定义:
函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的
某一邻域
UP内有定义.
()
0
(1)函数zf(x,y)在点
Pxy处对x的偏导
0(0,0)Pxy处对x的偏导
f(xx,y)f(x,y)
数定义为0000
lim
x0
x
,记作
z
x
xx
0
yy
0
,或
f
x
xx
0
yy
0
,
或
z(x,y),或fx(x0,y0),即
x00
z
x
xx
0
yy
0
=
lim
x0
f(xx,y)f(x,y)
0000
x
.
(2)函数zf(x,y)在点
Pxy处对y的偏导
0(0,0)Pxy处对y的偏导
1/18
f(x,yy)f(x,y)
数定义为0000
lim
y0
y
z
,记作
y
xx
0
yy
0
,或
f
y
xx
0
yy
0
,
或
zxy,或
(,)
y00
fxy,即
(,)
y00
z
y
xx
0
yy
0
=
lim
y0
f(x,yy)f(x,y)
0000
y
.
而称
z
x
,或
f
x
,或(,)
fxy及[
zxy,或(,)
xx
z
y
,或
f
y
,
zxy,或(,)
fxy]为(关于x或关于y)偏导函数.或(,)
yy
高阶偏导数:
2
zz
2f(x,y)
xx
xxx
或(,)
zxy,
xx
2
zz
yxxy
f(x,y)
xy
或(,)
zxy,
xy
2
zz
xyyx
f(x,y)
yx
或(,)
zxy,
yx
2
zz
2(,)
fxy
yy
yyy
或(,)
zxy.
yy
同理可得,三阶、四阶、⋯,以及n阶偏导数.
4.全微分定义:
设函数zf(x,y)在点P(x,y)的某
一邻域U(P)内有定义,若函数在点(x,y)的全增量
zf(xx,yy)f(x,y)可表示为
zAxBy,其中A、B不依赖于x、y,
()
仅于x、y有关,
(xx)(yy),则称函数
22
00
zf(x,y)在点(x,y)处可微分,称AxBy为函数
zf(x,y)在点(x,y的)全微分,记为dz,即
dzAxBy.
可微的必要条件:
若函数zf(x,y)在点(x,y)处
可微分,则
2/18
(1)函数zf(x,y)在点(x,y)的偏导数z
x
、
z
y
必
存在;
(2)全微分为
zz
dzxy
xy
zz
dxdy
xy
.
推广:
函数uf(x,y,z)在点(x,y,z)的全微分为
uuu
dudxdydz
xyz.
可微的充分条件:
若函数zf(x,y)的偏导数z
x
、
z
y
在点(x,y)处连续zf(x,y)在点(x,y)处可微
分.
5.复合函数微分法(5种情况,由简单到复杂排列):
(1)含有多个中间变量的一元函数zf(u,v,w),
uux,vv(x),ww(x),则
()
ux
dzzduzdvzdw
,
zx
v
dxudxvdxwdx
wx
dz
称此导数为全导数;
dx
(2)只有一个中间变量的二元复合函数
情形1:
zf(u),uu(x,y),则
zdzu
xdux
,
zdzu
yduy
.
zu
x
y
情形2:
zf(x,y,u),uu(x,y),则
zfzu
xxux
zfzu
yyuy
.
,
x
zy
u
x
y
3/18
其中,
f
x
与
z
x
是不同的,
z
x
是把复合函数
zfxyuxy中的y看作不变量而对x的偏导数;
[,,(,)]
f
x
是
把函数f(x,y,u)中的y及u看作不变量而对x的偏导数。
f
y
与
z
y
与也有类似的区别.
(3)中间变量为两个,自变量也为两个的二元复合
函数
设zf(u,v),u(x,y),v(x,y),则
zzuzv
xuxvx
zzuzv
yuyvy
.
,
x
u
zy
x
v
y
(4)中间变量多于两个的二元复合函数
设zf(u,v,w),uu(x,y),vv(x,y),ww(x,y),则
zzuzvzw
xuxvxwx
zzuzvzw
yuyvywy
.
,
z
u
v
w
x
y
x
y
x
y6.隐函数微分法
(1)一元隐函数
设方程F(x,y)0确定了y是x的函数yf(x),则
方法1:
方程F(x,y)0两边对x求导,见x对x求导,
见y对y求导,对y求导时再乘以y;
方法2:
dy
F
x
dxF
y
.
(2)二元隐函数
4/18
设方程F(x,y,z)0确定了z是x、y的函数
zfxy,则
(,)
z
F
x
xF
z
,
F
z
y
yF
z
.
4.多元函数的极值
极值存在的必要条件
函数zf(x,y)在点
(x,y)处具有偏导数,且取得极
00
值,则必有
fxy,fy(x0,y0)0.
(,)0
x00
使得fx(x0,y0)0,
f(x,y)0同时成立的点(x0,y0),
y00
称为函数zf(x,y)的驻点(或稳定点).
极值存在的充分条件
函数zf(x,y)在点
P0(x0,y0)的某邻域
U(P)内连续,且
0
具有一阶及二阶连续偏导数.又点
(x,y)是函数
00
zfxy的稳定点,令Afxx(x0,y0),Bfxy(x0,y0),
(,)
Cfxy.
(,)yy00
Ⅰ.若
20
BAC,则
(1)当A0时,函数zf(x,y)在点
(x,y)处取得极小
00
值;
(2)当A0时,函数zf(x,y)在点
(x,y)处取得极
00
大值.
Ⅱ.若
20
BAC,则稳定点(x0,y0)不是函数
zfxy的极值点.
(,)
Ⅲ.若B2AC0,则稳定点
(x,y)可能是极值点,
00
也可能不是极值点,需另行判断.
5/18
5.
二重积分的定义及性质
在有界闭区域D上的有界函数zf(x,y),通过“分
割、代替、求和、取极限”的过程,而得到的具有特定
n
记为
结构的和的极限
limf(,)=f(x,y)d
iii
0
i1D
,被称为函
数zf(x,y)在D上的二重积分;它的几何意义是曲顶
柱体的体积.
在直角坐标系下,用平行于坐标轴的直线网划分区
域D,则(,)(,)
fxydfxydxdy.
DD
性质:
下面均假定函数zf(x,y)有界闭区域D上
可积,则
1.kf(x,y)dkf(x,y)d(k为常数);
DD
2.[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d.
DDD
3.若在闭区域D上f(x,y)1,则区域D的面积
Ad.
D
4.若
DDD,且D1D2,则
12
fxydfxydfxyd.
(,)(,)(,)
DDD
12
5.在区域D上,f(x,y)g(x,y),则
fxydgxyd,f(x,y)df(x,y)d.
(,)(,)
DDDD
6.设M、m是函数zf(x,y)在闭区域D上的最大值和
最小值,A是D的面积,则(,)
mAfxydMA.
D
7.设函数zf(x,y)在闭区域D上连续,A是D的面积,
6/18
则在D上至少存在一点(,),使得(,)(,)
fxydfA.
D
二、计算方法
6.求二重极限的方法
(1)若把点
(x,y)代入二元函数zf(x,y)中,函数
00
值
f(x,y)存在,则函数值就是极限值;
00
(2)若把点
(x,y)代入二元函数zf(x,y)中,函数
00
值
f(x,y)无意义,则一元函数求极限的所有方法,全
00
部可以应用到求二重极限中去(如重要极限,等价无穷
小替换等).
7.求偏导数及高阶偏导数的方法
(1)求多元函数关于其中一个自变量的偏导数,
只需要将另外的所有自变量看作常量,再用一元函数的
求导方法求导,就可以得到所选定的自变量的偏导数
了;
(2)求高阶偏导数方法
2
zz
2
xx
x
或(,)[(,)]
zxyzxy,
xxxx
2
zz
xyx
y
或(,)[(,)]
zxyzxy,
xyxy
2
zz
yxy
x
或(,)[(,)]
zxyzxy,
yxyx
2
zz
2
yy
y
或z(x,y)[z(x,y)].
yyyy
8.求全微分的方法
7/18
求多元函数zf(x,y)(或uf(x,y,z))的全微分,
先求出关于自变量的所有偏导数z
x
,z
y
(或u
x
,u
y
,
u
z
),则全微分dzzdxzdy(或duudxudyudz
xyxyz
).
9.多元复合函数求导的方法
根据题设条件,分清哪些是中间变量,那些是自变
量,画出关系图,根据“同路相乘,异路相加”的原则,
求出所需要的导数.
如1zf(x,y,u,v),uu(x,y),vv(x,y),关系图为:
则
x
zy
u
zfzuzv
x
xxuxvx
y
,
v
zfzuzv
x
y
yyuyvy
.
如2zf(u,v,w),uu(x,y),vv(x,y),ww(x,y),
关系图:
则
x
u
y
zzuzvzw
z
x
xuxvxwx
v
y
zzuzvzw
w
x
yuyvywy
y
.
,
10.隐函数求导及求偏导的方法
(1)一元隐函数求导法则
设方程F(x,y)0确定了y是x的函数yf(x),则
方法1:
方程F(x,y)0两边对x求导,见x对x求导,
见y对y求导,对y求导时再乘以y;
8/18
方法2:
dy
F
x
dxF
y
.
(2)二元隐函数
①设方程F(x,y,z)0确定了z是x、y的函数
zfxy,则
(,)
z
F
x
xF
z
,
F
z
y
yF
z
.
②把方程F(x,y,z)0中的看作隐函数,方程两边求
出全微分dzAdxBdy,则zA
x
,zB
y
.(有时可能简
单些)
注意:
首先,一定要分清所给函数是较简单函数或
具体复合函数或抽象复合函数或隐函数,然后按照它们
的各自特性,使用各自不同求导公式,进行求偏导数,
全微分或高阶偏导数。
6.求多元函数极值及最值的方法
设函数zf(x,y)在区域D内具有连续的二阶偏导
数,求其极值及在区域D内最值的步骤如下:
第一步解方程组
f(x,y)0
x
f(x,y)0
y
,求得一切实数解,即
求出函数zf(x,y)在D内的所有驻点;
第二步对每一个驻点(x0,y0),求出
Af(x,y),
xx00
Bf(x,y),Cfyy(x0,y0)的值.
xy00
第三步定出
2
BAC的符号.
Ⅰ.若
20
BAC,则
9/18
(1)当A0时,函数zf(x,y)在点
(x,y)处取得极小
00
值;
(2)当A0时,函数zf(x,y)在点
(x,y)处取得极
00
大值.
Ⅱ.若
20
BAC,则稳定点(x0,y0)不是函数
zfxy的极值点.
(,)
Ⅲ.若
20
BAC,则稳定点(x0,y0)可能是极值点,
也可能不是极值点,需另行判断.
第四步求出所有驻点处的函数值及函数在区域的
边界上的最值,并比较这些值的大小,其中最大者为函
数的最大值,最小者为函数的最小值.
7.求二重积分的方法
原则:
二重积分要化为二次积分(即两个定积分)
来求。
y
2(x)
直角坐标系下:
X—型区域,
D
b(x)
2
f(x,y)ddxf(x,y)dy
a(x)
1
1(x)
Ox
a
b
x
y
d
Y—型区域,
y
2(y)
D
d(y)
2
f(x,y)ddyf(x,y)dx
c(y)
1
c
1(y)
x
O
10/18
极坐标系下,(,)
fxyd
D
r2()
=(cos,sin)
frrrdrd
D
r1()
=
r()
2
df(rcos,rsin)rdr
r()
1
r
O
适用于积分区域是圆形区域、扇形区域、环形区域
或被积函数是关于
22
xy的关系式。
重积化累积,关键上下限,画出积分域,入出口找见
三、举例
11.求下列二重极限
(1)
lim
(x,y)(2,0)
tan(xy)
y
(2)
lim
(x,y)(0,0)
1xy1
xy
解:
(1)
lim
(x,y)(2,0)
tan(xy)
y
=
lim
(x,y)(2,0)
tan(xy)
xy
x
(利用
tanx
lim1
)
x0
x
=
tan(xy)tan(xy)
limxlimlimx122
(x,y)(2,0)(x,y)(2,0)x2
xyxy
.
法2:
lim
(x,y)(2,0)
tan(xy)
y
=
xy
limlimx2
(x,y)(2,0)y(x,y)(2,0)
.
【当(x,y)(2,0)时,有tan(xy)xy】
(2)
lim
(x,y)(0,0)
1xy1
有理化
xy=
(1xy1)(1xy1)
lim
(x,y)(0,0)
x(y1xy1)
=
1xy11
limlim
(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)
x(y1xy1)1xy1
1
2
.
12.求下列函数的偏导数及全微分
11/18
(1)
2
zuxy,
zz
22
u3xy,求,
xy
x
.
解:
关系图:
zy,所以
x
u
y
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