平行四边形的性质知识点例题习题.docx
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平行四边形的性质知识点例题习题
第二十一讲平行四边形的性质
【要点梳理】
知识点一、平行四边形的定义
平行四边形:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“
ABCD”,读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释:
平行四边形的基本元素:
边、角、对角线.相邻的两边为邻边,有四对;相对的边为对边,有两对;相邻的两角为邻角,有四对;相对的角为对角,有两对;对角线有两条.
知识点二、平行四边形的性质定理
平行四边形的对角相等;
平行四边形的对边相等;
平行四边形的对角线互相平分;
要点诠释:
(1)平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等;角的性质可以证明两角相等或两角互补;对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
(2)由于平行四边形的性质内容较多,在使用时根据需要进行选择.
(3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题,在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点三、平行线的性质定理
1.两条平行线间的距离:
(1)定义:
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离.注:
距离是指垂线段的长度,是正值.
2.平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论:
夹在两条平行线间的垂线段相等.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
例1、如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线.求证:
DF=EC.
【答案与解析】
证明:
∵在
ABCD中,CD∥AB,
∠DFA=∠FAB.
又∵AF是∠DAB的平分线,
∴∠DAF=∠FAB,
∴∠DAF=∠DFA,
∴AD=DF.
同理可得EC=BC.
∵在
ABCD中,AD=BC,
∴DF=EC.
【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等,对边平行且相等,为证明线段相等提供了条件.
举一反三:
【变式】如图,E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点,CE=AF,请你猜想:
线段BE与线段DF有怎样的关系?
并对你的猜想加以证明.
【答案】
证明:
猜想:
BE∥DF且BE=DF.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CB=AD,CB∥AD
∴∠BCE=∠DAF
在△BCE和△DAF中
∴△BCE≌△DAF
∴BE=DF,∠BEC=∠DFA
∴BE∥DF
即BE∥DF且BE=DF.
例2.(2016·永州)如图,在▱ABCD中,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:
BE=CD;
(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.
【思路点拨】
(1)由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA,即可证明;
(2)证明△ABE为等边三角形,由勾股定理求出BF,由AAS证明△ADF≌△ECF,得出△ADF与△ECF的面积相等,平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积,即可得出结果.
【答案与解析】
(1)证明:
∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AB∥CD,AB=CD,
∴∠AEB=∠DAE,
又∵AE是∠BAD的角平分线,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠AEB=∠BAE,
∴AB=BE,
∴BE=CD.
(2)解:
∵AB=BE,∠BEA=60°
∴△ABE为等边三角形,
∴AE=AB=4,
∵BF⊥AE,
∴AF=EF=2,
∴BF=
,
∵AD∥BC,
∴∠D=∠ECF,∠DAF=∠E,
在△ADF和△ECF中,
∴△ADF≌△ECF(AAS)
∴△ADF的面积=△ECF的面积,
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=
.
【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定、勾股定理;解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质.
例3.如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边DC,AB上,DE=BF,把平行四边形沿直线EF折叠,使得点B,C分别落在B′,C′处,线段EC′与线段AF交于点G,连接DG,B′G.
求证:
(1)∠1=∠2;
(2)DG=B′G.
【思路点拨】
(1)根据平行四边形得出DC∥AB,推出∠2=∠FEC,由折叠得出∠1=∠FEC=∠2,即可得出答案;
(2)求出EG=B′G,推出∠DEG=∠EGF,由折叠求出∠B′FG=∠EGF,求出DE=B′F,证△DEG≌△B′FG即可.
【答案与解析】
证明:
(1)∵在平行四边形ABCD中,DC∥AB,
∴∠2=∠FEC,
由折叠得:
∠1=∠FEC,
∴∠1=∠2;
(2)∵∠1=∠2,
∴EG=GF,
∵AB∥DC,
∴∠DEG=∠EGF,
由折叠得:
EC′∥B′F,
∴∠B′FG=∠EGF,
∵DE=BF=B′F,
∴DE=B′F,
∴△DEG≌△B′FG(SAS),
∴DG=B′G.
【总结升华】本题考查了平行四边形性质,折叠性质,平行线性质,全等三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的推理能力.
例4.如图,已知▱ABCD中,F是BC边的中点,连接DF并延长,交AB的延长线于点E.求证:
AB=BE.
【思路点拨】根据平行四边形性质得出AB=DC,AB∥CD,推出∠C=∠FBE,∠CDF=∠E,证△CDF≌△BEF,推出BE=DC即可.
【答案与解析】
证明:
∵F是BC边的中点,
∴BF=CF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥CD,
∴∠C=∠FBE,∠CDF=∠E,
∵在△CDF和△BEF中
∴△CDF≌△BEF(AAS),
∴BE=DC,
∵AB=DC,
∴AB=BE.
【总结升华】本题考查了平行四边形性质,全等三角形的性质和判定,平行线的性质的应用,关键是推出△CDF≌△BEF.
举一反三:
【变式】如图,已知在▱ABCD中,延长AB,使AB=BF,连接DF,交BC于点E.
求证:
E是BC的中点.
【答案】
证明:
在□ABCD中,AB∥CD,且AB=CD,
∴∠CDF=∠F,∠CBF=∠C,
∵AB=FB,
∴DC=FB,
∴△DEC≌△FEB,
∴EC=EB,
即E为BC的中点.
类型二、平行线的性质定理及其推论
例5.
(1)如图1,已知△ABC,过点A画一条平分三角形面积的直线;
(2)如图2,已知l1∥l2,点E,F在l1上,点G,H在l2上,试说明△EGO与△FHO面积相等;
(3)如图3,点M在△ABC的边上,过点M画一条平分三角形面积的直线.
【思路点拨】
(1)根据三角形的面积公式,只需过点A和BC的中点画直线即可;
(2)结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明;
(3)结合
(1)和
(2)的结论进行求作.
【答案与解析】
解:
(1)取BC的中点D,过A、D画直线,则直线AD为所求;
(2)证明:
∵l1∥l2,
∴点E,F到l2之间的距离都相等,设为h.
∴S△EGH=
GH×h,S△FGH=
GH×h,
∴S△EGH=S△FGH,
∴S△EGH-S△GOH=S△FGH-S△GOH,
∴△EGO的面积等于△FHO的面积;
(3)解:
取BC的中点D,连接MD,过点A作AN∥MD交BC于点N,过M、N画直线,则直线MN为所求.
【总结升华】此题主要是根据三角形的面积公式,知:
三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分;同底等高的两个三角形的面积相等.
举一反三:
【变式】有这样的一个定理:
夹在两条平行线间的平行线段相等.下面经历探索与应用的过程.
探索:
已知:
如图1,AD∥BC,AB∥CD.求证:
AB=CD.
应用此定理进行证明求解.
应用一、已知:
如图2,AD∥BC,AD<BC,AB=CD.求证:
∠B=∠C;
应用二、已知:
如图3,AD∥BC,AC⊥BD,AC=4,BD=3.求:
AD与BC两条线段的和.
【答案】
探索:
证明:
如图1,
连接AC,
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA
∵AB∥CD.∴∠BAC=∠DCA
在△ABC和△CDA中,
,
∴△ABC≌△CDA(ASA),
∴AB=CD;
应用一:
证明:
如图2,
作DE∥AB交BC于点E,
∵AD∥BC,
∴AB=DE
∵AB=CD,
∴DE=CD,
∴∠DEC=∠C
∵DE∥AB,
∴∠B=∠DEC,
∴∠B=∠C;
应用二、
解:
如图3,
作DF∥AC交BC的延长线于点F
∵AD∥BC,∴AC=DF、AD=CF,
∵DF∥AC,∴∠BDF=∠BEC,
∵AC⊥BD,∴∠BDF=∠BEC=90°,
在Rt△BDF中,由勾股定理得:
BF=5,
故BC+AD=BC+CF=BF=5.
【巩固练习】
一.选择题
1.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AB≠AD,则下列式子不正确的是()
A.AC⊥BDB.AB=CDC.BO=ODD.∠BAD=∠BCD
2.已知平行四边形ABCD中,∠B=4∠A,则∠C=( )
A.18°B.36°C.72°D.144°
3.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为(0,0)、(4,0)、(2,4),则顶点C的坐标是( )
A.(4,6)B.(4,2)C.(6,4)D.(8,2)
4.如图,A、P是直线m上的任意两个点,B、C是直线n上的两个定点,且直线m∥n;则下列说法正确的是( )
A.AB∥PCB.△ABC的面积等于△BCP的面积
C.AC=BPD.△ABC的周长等于△BCP的周长
5.平行四边形的一边长是10
,那么它的两条对角线的长可以是( )
A.4
和6
B.6
和8
C.8
和10
D.10
和12
6.
如图,在
ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为()
A.8B.10C.12D.14
二.填空题
7.如图所示,在
ABCD中,对角线相交于点O,已知AB=24
,BC=18
,△AOB的周长为54
,则△AOD的周长为________
.
8.已知
ABCD,如图所示,AB=8
,BC=10
,∠B=30°,
ABCD的面积为________.
9.在
ABCD中,CA⊥AB,∠BAD=120°,若BC=10
,则AC=______,AB=______.
10.如图,在△ABC中,AB=AC=5,D是BC边上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AFDE的周长是 .
11.如图所示,平行四边形ABCD的周长是18cm,对角线AC、BD相交于点O,若△AOD与△AOB的周长差是5cm,则边AB的长是2_______cm.
12.如图所示,平行四边形ABCD中,BE⊥AD,CE平分∠BCD,AB=10,BC=16,则AE=__________.
三.解答题
13.如图所示,点E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的点,BF=DE.求证:
AE=CF.
14.如图,ABCD是平行四边形,P是CD上一点,且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
(1)求∠APB的度数;
(2)如果AD=5cm,AP=8cm,求△APB的周长.
15.如图,点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上,DG=DC,CE=CF,点P是射线GC上一点,连接FP,EP.
求证:
FP=EP.
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】A;
2.【答案】B;
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠C=∠A,BC∥AD,
∴∠A+∠B=180°,
∵∠B=4∠A,
∴∠A=36°,
∴∠C=∠A=36°,故选B.
3.【答案】C;
【解析】∵平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为(0,0)、(4,0)、(2,4),
∴DC=AB=4,DC∥AB,
∴C的横坐标是4+2=6,纵坐标是4,
即C的坐标是(6,4).
故选C.
4.【答案】B;
【解析】解:
AB不一定平行于PC,A不正确;
∵平行线间的距离处处相等,∴△ABC的面积等于△BCP的面积,B正确;
AC不一定等于BP,C不正确;
△ABC的周长不一定等于△BCP的周长,D不正确,
故选:
B.
5.【答案】D;
【解析】设两条对角线的长为
.所以
所以选D.
6.【答案】B;
【解析】因为∠AFB=∠FBC,∠ABF=∠FBC,所以AF=AB=6;同理可证:
DE=DC=6;EF=AF+DE-AD=2,即6+6-AD=2,解得AD=10.
二.填空题
7.【答案】48;
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,所以OD=OB,AD=BC=18cm.又因为△AOB的周长为54
,所以OA+OB+AB=54
,因为AB=24
,所以OA+OB=54-24=30(
),所以OA+OD=30(
),所以OA+OD+AD=30+18=48(
).即△AOD的周长为48
.
8.【答案】40;
【解析】过点A作AH⊥BC于H.在Rt△ABH中,∠B=30°,AB=8
,
∴AH=
AB=4(
).
∴
BC·AH=10×4=40(
).
9.【答案】5
,5;
【解析】由题意,∠DAC=∠BCA=30°,AB=
BC=5,
.
10.【答案】10;
【解析】解:
∵AB=AC=5,∴∠B=∠C,
由DF∥AC,得∠FDB=∠C=∠B,
∴FD=FB,
同理,得DE=EC.
∴四边形AFDE的周长=AF+AE+FD+DE
=AF+FB+AE+EC
=AB+AC
=5+5=10.
故答案为10.
11.【答案】2;
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵△AOD的周长=OA+OD+AD,△AOB的周长=OA+OB+AB,
又∵△AOD与△AOB的周长差是5,
∴AD=AB+5,
设AB=x,AD=5+x,
则2(x+5+x)=18,
解得x=2,
即AB=2.
故答案为2.
12.【答案】6;
【解析】∵平行四边形ABCD,
∴AD∥BC,AD=BC=16,AB=CD=10,
∴∠DEC=∠ECB,
∵CE平分∠DCB,
∴∠DCE=∠BCE,
∴∠DEC=∠DCE,
∴DE=DC=AB=10,
∴AE=16-10=6,
故答案为:
6.
三.解答题
13.【解析】
证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BC=AD,BC∥AD,
∴∠EDA=∠FBC,
在△AED和△CFB中,
∴△AED≌△CFB(SAS),
∴AE=CF.
14.【解析】
解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,AB∥CD
∴∠DAB+∠CBA=180°,
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA,
∴∠PAB+∠PBA=
(∠DAB+∠CBA)=90°,
在△APB中,
∴∠APB=180-(∠PAB+∠PBA)=90°;
(2)∵AP平分∠DAB,
∴∠DAP=∠PAB,
∵AB∥CD,
∴∠PAB=∠DPA
∴∠DAP=∠DPA
∴△ADP是等腰三角形,
∴AD=DP=5,
同理:
PC=CB=5,
即AB=DC=DP+PC=10,
在RT△APB中,AB=10cm,AP=8,
∴BP=
=6(cm)
∴△APB的周长是6+8+10=24(cm).
15.【解析】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DGC=∠GCB(两直线平行,内错角相等),
∵DG=DC,
∴∠DGC=∠DCG,
∴∠DCG=∠GCB,
∵∠DCG+∠DCP=180°,∠GCB+∠FCP=180°,
∴∠DCP=∠FCP,
∵在△PCF和△PCE中
,
∴△PCF≌△PCE(SAS),
∴PF=PE.
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