平行四边形知识点与经典例题-2.doc
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平行四边形
一、基础知识平行四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
定
义
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。
两腰相等的梯形是等腰梯形。
性
质
1、对边平行且相等。
2、对角相等,邻角互补。
3、对角线互相平分
1、四个角都是直角。
2、对角线相等。
1、四条边都相等。
2、两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。
1、两腰相等两底平行
2、同一底上的两角相等
3、两条对角线相等
判
定
1、定义:
2、判定定理:
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。
1、定义:
2、判定定理:
(1)对角线相等的平行四边形是矩形。
(2)有三个角是直角的四边形是矩形。
1、定义:
2、判定定理:
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)对角线互相垂直的四边形是菱形。
1、先证明是矩形再证明一组邻边相等。
2、先证明是菱形再证一个角是直角。
1、定义:
先判断是梯形在证明两腰相等。
2、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
3、对角线相等的梯形是等腰梯形。
对称性
轴对称图形
轴对称图形
轴对称图形
轴对称图形
二、1、三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三遍的一半。
2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、例题
(图1)
C
A
B
D
E
F
例1、如图1,平行四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F.求证:
∠BAE=∠DCF.
O
A
B
C
D
E
F
(图2)
例2、如图2,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F.求证:
BE=CF.
例3、已知:
如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点E、F分别在AB、CD上,且BE=2EA,CF=2FD.求证:
∠BEC=∠CFB.
A
B
C
D
图3
E
F
例4、如图6,E、F分别是平行四边形ABCD的AD、BC边上的点,且AE=CF.
A
D
B
C
E
F
(图6)
M
N
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)若M、N分别是BE、DF的中点,连结MF、EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论.
例5、如图7的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F.,求证:
四边形AFCE是菱形.
图7
A
B
C
D
E
F
O
例6、如图8,四边形ABCD是平行四边形,O是它的中心,E、F是对角线AC上的点.
(1)如果,则△DEC≌△BFA(请你填上一个能使结论成立的一个条件);
(2)证明你的结论.
图8
B
C
D
A
E
F
A
B
C
D
图9
E
G
O
F
例7、如图9,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC和BD相交于点O,E是BC边上一个动点(点E不与B、C两点重合),EF∥BD交AC于点F,EG∥AC交BD于点C.
(1)求证:
四边形EFOG的周长等于2OB;
(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC”改为另一种四边形,其他条件不变,使得结论,“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立,并将改编后的题目画出图形,写出已知、求证、不必证明.
备用图
(1)
备用图
(2)
图13
例8、有一块梯形形状的土地,现要平均分给两个农户种植(即将梯形的面积两等分),试设计两种方案(平分方案画在备用图13
(1)、
(2)上),并给予合理的解释.
四、练习
一、选择题
1.下列命题正确的是()
(A)、一组对边相等,另一组对边平行的四边形一定是平行四边形(B)、对角线相等的四边形一定是矩形
(C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形(D)、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
2.已知平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,则AC的取值范围为()
A.6 3.两个全等的三角形(不等边)可拼成不同的平形四边形的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4.延长平形四边形ABCD的一边AB到E,使BE=BD,连结DE交BC于F,若∠DAB=120°,∠CFE=135°,AB=1,则AC的长为()(A)1 (B)1.2 (C) (D)1.5 5.若菱形ABCD中,AE垂直平分BC于E,AE=1cm,则BD的长是() (A)1cm (B)2cm (C)3cm (D)4cm 6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形,那么这个四边形的对角线( ) (A)互相垂直 (B)相等 (C)互相平分 (D)互相垂直且相等 7.如图,等腰△ABC中,D是BC边上的一点,DE∥AC,DF∥AB,AB=5那么四边形AFDE的周长是 () (A)5(B)10 (C)15 (D)20 (第7题)(第8题)(第9题)(第10题) 8.如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是(). (A)3cm(B)4cm(C)5cm(D)6cm 9.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AC将梯形分成两个三角形,其中△ACD是周长为18cm的等边三角形,则该梯形的中位线的长是(). (A)9cm(B)12cm(c)cm(D)18cm 10.如图,在周长为20cm的□ABCD中,AB≠AD,AC、BD相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为( ) (A)4cm(B)6cm(C)8cm(D)10cm A B C D E F 图2 R P D C B A E F 第12题图 11.如图2,四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF.若CD=6,则AF等于( ) (A) (B) (C) (D)8 12.如图,已知四边形ABCD中,R、P分别是BC、CD上的点,E、F分别是 AP、RP的中点,当点P在CD上从C向D移动而点R不动时,那么下列结论 成立的是() A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小 C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P 13.在梯形ABCD中,AD//BC,对角线AC⊥BD,且,BD=12cm,则梯形中位线的长等于() 黄 蓝 紫 橙 红 绿 A G E D H C F B 第14题 A.7.5cm B.7cm C.6.5cm D.6cm 14.国家级历史文化名城——金华,风光秀丽,花木葱茏.某广场上一个形状是 平行四边形的花坛(如图),分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花. 如果有,,那么下列说法中错误的是() A.红花、绿花种植面积一定相等B.紫花、橙花种植面积一定相等 C.红花、蓝花种植面积一定相等D.蓝花、黄花种植面积一定相等 二、填空题 1.如果四边形四个内角之比1: 2: 3: 4,则这四边形为____形。 2.若正方形的对角线长为2cm,则正方形的面积为___。 3.若矩形一个内角的平分线,把另一边分为4cm,5cm两部分,则这个矩形周长是___ 4.已知: 平行四边形ABCD的周长是30cm,对角线AC,BD相交于点O,△AOB的周长比△BOC的周长长5cm,则这个平行四边形的各边长为_____。 5.已知: 平行四边形ABCD中,AE⊥BC交CB的延长线于点E,AF⊥CD交CD的延长线于点F,AB+BC+CD+DA=32cm,BC=AB,∠EAF=2∠C,则BE长为___,则∠C___. 6.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别是A(-2,5),B(-3,-1),C(1,-1),在第一象限内找一点D,使四边形ABCD是平行四边形,那么点D的坐标是. 第10题图 D A B C P M N C F D B E A P (第9题) A B C D E F O 图8 7.已知: 如图8,正方形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,E、F分别是边AB、BC上的点,若AE=4cm,DF=3cm,且OE⊥OF,则EF的长为。 (1) (2) 图9 8.如图9 (1)是一个等腰梯形,由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10 (2)所示的一个菱形.对于图10 (1)中的等腰梯形,请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论: . 9.如图,在四边形中,是对角线的中点,分别是的中点,,则的度数是. 10.如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是_____________. 11.如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,四边形ABCD还应满足的一个条件是。 (12题)(13题)(14题) 12、如图所示,O为矩形ABCD的对角线交点,DF平分∠ADC交AC于E,BC于F,∠BDF=15°,则∠COF=______. 13.如图,矩形的对角线和相交于点,过点的直线分别交和于点E、F,,则图中阴影部分的面积为 . 14、如图,矩形的面积为4,顺次连结各边中点得到四边形,再顺次连结四边形四边中点得到四边形,依此类推,求四边形的面积是 。 A D B C F E ⑷ 15、如图⑴已知O是□ABCD的对角线交点,AC=24,BD=38,AD=14,那么△OBC的周长等于_____。 A B D C O ⑵ A B D C E ⑶ A B D C O ⑴ 16、在平行四边形ABCD中,∠C=∠B+∠D,则∠A=___,∠D=___。 17、一个平行四边形的周长为70cm,两边的差是10cm,则平行四边形各边长为____cm。 18、已知菱形的一条对角线长为12cm,面积为30cm2,则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。 19、菱形ABCD中,∠A=60o,对角线BD长为7cm,则此菱形周长_____cm。 20、如果一个正方形的对角线长为,那么它的面积______。 21、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB=60o,AB=8,则矩形对角线的长___。 22、如图3,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE,BC=8,AB=6,AD=5则△CDE周长___。 21、正方形的对称轴有___条 22、如图4,BD是□ABCD的对角线,点E、F在BD上,要使四边形AECF是平行四边形,还需增加的一个条件是______ 23、要从一张长为40cm,宽为20cm的矩形纸片中,剪出长为18cm,宽为12cm的矩形纸片,最多能剪出______张。 三、解答题 1.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB的长。 2.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=2,∠BAD=120°,对角线AC平分∠BCD,求等腰梯形ABCD的周长。 A B C D E F D′ 3.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D′处,折痕为EF. (1)求证: △ABE≌△AD′F; (2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形? 证明你的结论 4.已知: 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD相交于点E, ∠ADB=60°,BD=10,BE∶ED=4∶1,求梯形ABCD的腰长. 5.如图,菱形ABCD,E,F分别是BC,CD上的点,∠B=∠EAF=60°, ∠BAE=18°求∠CEF的度数。 A B C D M N E (第6题) 6.已知: 如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E, (1)求证: 四边形ADCE为矩形; (2)当△ABC满足什么条件时,四边形 ADCE是一个正方形? 并给出证明. 7.如图,四边形ABCD中,一组对边AB=DC=4,另一组对边AD≠BC,对角线BD与边DC互相垂直,M、N、H分别是AD、BC、BD的中点,且∠ABD=30°求: (1)MH的长 (2)MN的长。 8.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥B,BE平分∠ABC,EF∥BC,那么AE=CF吗? 证明你的结论。 9.如图,ABCD是正方形,CE∥BD,BE=BD,BE交DC于点F, 求证: (1)∠BEC=30° (2)DE=DF 10.如图,在正方形ABCD中,P为对角线BD上一点, PE⊥BC,垂足为E,PF⊥CD,垂足为F, 求证: EF=AP 11.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F。 若PE=PF,且AP+AE=CP+CF (1)求证: PA=PC; (2)若AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四边形ABCD的面积. 10.如图所示,已知在□ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,求证: MN∥BC. 11.已知: 如图,E为□ABCD中DC边的延长线上的一点,且CE=DC,连结AE 分别交BC、BD于点F、G,连结AC交BD于O,连结OF.求证: AB=2OF. 12.如图,在矩形ABCD中,AD=8cm,AB=6cm,点A处有一动点E以1cm∕s的速度由点A向点B运动,同时点C处也有一动点F以2cm∕s的速度由点C向点D运动,设运动的时间为x(s),四边形EBFD的面积为y(cm2),求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。 21,如图16,已知四边形ABCD是平行四边形,∠BCD的平分线CF交边AB于F,∠ADC的平分线DG交边AB于G. (1)线段AF与GB相等吗? 图16 (2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件,使得△EFG为等腰直角三角形,并说明理由. 图17 O F D B E C A · 图18 22,如图17,已知□ABCD中,E为AD的中点,CE的延长线交BA的延长线于点E. (1)试说明线段CD与FA相等的理由; (2)若使∠F=∠BCF,□ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件? 请你补上这个条件,并说明你的理由(不要再增添辅助线). 23,如图,已知平行四边形中,对角线交于点,是延长线上的点,且是等边三角形. (1)求证: 四边形是菱形; (2)若,求证: 四边形是正方形. E C D B A O 24,已知: 如图19,四边形ABCD是菱形,E是BD延长线上一点,F是DB延长线上一点,且DE=BF.请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明一组线段相等即可). (1)连结____________; (2)猜想: ______=______;(3)证明: 25,如图20,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F. (1)试说明OE=OF; O C 图19 D A B E F 图21 E F O C M D A B 图20 E M F C O D B A (2)如图21,若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗? 如果成立,请给出说明理由;如果不成立,请说明理由. 13.如图在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动,动点Q从C开始沿CB向B以3cm/s的速度运动,P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t,t分别为何值时,四边形PQCD为平行四边形,等腰梯形? A B Q C D P 14A P B DD Q C 已知: 如图,在直角梯形ABCD中,∠B=90o,AD∥BC,AD=24cm,BC=26cm,动点P从A点开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动,动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动,P、Q分别从A、C同时出发,当其一点到端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒,t分别为何值时,四边形PQCD是平行四边形? 等腰梯形? .在△ABC中,借助作图工具可以作出中位线EF,沿着中位线EF一刀剪切后,用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼接成平行四边形EBCP,接切线与拼图过程如图所示,依照上述方法,安要求完成下列操作设计,并画出图形说明。 (1)在△ABC中,增加条件,沿着一刀剪切后可以拼成矩形。 (2)在△ABC中,增加条件,沿着一刀剪切后可以拼成菱形。 (3)在△ABC中,增加条件,沿着一刀剪切后可以拼成正方形。 (4)在△ABC(AB≠AC)中,一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形,画出切线与拼图示意图。 15如图把一个正方形割去四分之一,将余下的部分分成3个全等的图形(图甲);将余下的部分分成4个全等的图形(图已)仿照示例,请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分。 (1)分成3个全等的图形(在图一中画出示意图); (2)分成四个全等的图形(在图二中画出示意图); (3)你还能利用所得的4个全等的图形拼成一个平行四边形吗? 若能,画出大致的示意图。 16.如图是王大爷的一块四边形菜地,在A处有一口井,王大爷要想从A处引一条笔直的水渠,且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分.请你为王大爷设计一条引水渠的方案,画出图形,并简要写出作图的主要步骤. 解: 作图步骤: 17. (1)如图25-1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD.求证: EF=BE+FD; (2)如图25-2在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立? 不用证明. (3)如图25-3在四边形ABCD中,AB=AD, ∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明. 18.将边长OA=8,OC=10的矩形放在平面直角坐标系中,顶点O为原点,顶点 C、A分别在轴和y轴上.在、OC边上选取适当的点、F,连接EF,将△EOF沿EF折叠,使点落在边上的点处. 图①图②图③ (1)如图①,当点F与点C重合时,OE的长度为; (2)如图②,当点F与点C不重合时,过点D作DG∥y轴交EF于点,交于点. 求证: EO=DT; (3)在 (2)的条件下,设,写出与之间的函数关系式为,自变量的取值范围是; (4)如图③,将矩形变为平行四边形,放在平面直角坐标系中,且OC=10,OC边上的高等于8,点F与点C不重合,过点D作DG∥y轴交EF于点,交于点,求出这时的坐标与之间的函数关系式(不求自变量的取值范围). 19. (1)如图10-1所示,BD,CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F,G,连结FG,延长AF,AG,与直线BC分别交于点M、N,那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么? 即: FG=(AB+BC+AC)(直接写出结果即可) (2)如图10-2,若BD,CE分别是△ABC的内角平分线;其他条件不变,线段FG与 ΔABC三边之间又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想,并给予证明. (3)如图10-3,若BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,其他条件不变,线段FG与ΔABC三边又有怎样的数量关系? 直接写出你的猜想即可.不需要证明。 20.已知正方形ABCD和等腰Rt按图1放置,使点F在BC上,取DF的中点G,连EG、CG. (1)探索EG、CG的数量关系,并说明理由; (2)将图1中绕B
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