Gamma函数与Beta函数的关系及应用.docx
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Gamma函数与Beta函数的关系及应用
Gamma函数与Beta函数的关系及应用
关于Γ函数与B函数的关系及应用
问题1:
欧拉函数是什么东西?
如何定义的?
答:
欧拉函数是Γ函数与B函数的统称。
其中若下面的含参变量广义积分收敛,则
分别称为Γ函数与B函数。
即:
Γ(s)=
⎰
+∞
xs-1e-xdx
(1)
B(p,q)=⎰xp-1(1-x)q-1dx
(2)
1
(1)式称为伽马函数,
(2)式称为贝塔函数,二者统称为欧拉函数,Γ函数与B函数实质上是含参变量广义积分表示的两个特殊函数.
问题2:
Γ函数与B函数的定义域是什么?
答:
(一)、Γ函数的定义域:
Γ(s)的定义域为s>0.
事实上,
(1)当s≥1时,x=0不是被积函数的瑕点,因此取p>1都有
x→+∞
limxp(xs-1e-x)=0,由柯西判别法知
(1)的积分是收敛.
(2)当s
Γ(s)=⎰xs-1e-xdx+⎰
x→0
1+∞
1
xs-1e-xdx=I(s)+J(s)
s-1-x
-x
x→0
x(xe)=lime其中J(s)对任何s都是收敛的,又lim++
1-s
=1,所以⎰xs-1dx与
1
⎰⎰
1
01
xedx在x=0点是等价的,当s-1>-1时,⎰xs-1dx是收敛,当s-1≤-1时,
s-1-x
1
xs-1dx是发散.所以当00.
(二)、B函数的定义域:
p>0,q>0。
事实上,
B(p,q)=⎰x
1
p-1
(1-x)dx=⎰x
q-1
120
p-1
(1-x)
q-1
dx+1xp-1(1-x)q-1dx=I+J
2
1
而I,J在各自的区间内只有一个瑕点。
又
x→0
1-pp-1q-1q-1
limxx(1-x)=lim(1-x)=1++
x→0
x∴在x=0,
p-1
x与xp-1(1-x)q-1等价,∴当1-p
p-1
收敛,所以p>0
时,xp-1(1-x)q-1在x=0收敛.
同理q>0时,xp-1(1-x)q-1在x=1时收敛.
综上可知当p>0且q>0时⎰xp-1(1-x)q-1dx收敛,所以B(p,q)的定义域
01
为p>0且q>0。
问题3:
Γ函数有些什么性质?
答:
Γ函数具有如下性质:
(1)Γ函数的连续性
Γ(s)在(0,+∞)上连续,由Γ(s)=I(s)+J(s),只证I(s)与J(s)在(0,+∞)内连
s-1-xa-1-x
续即可.在任意闭区间[a,b](a>0)上对于函数I(s)当1≤x
⎰
+∞
1
xb-1e-xdx收敛由附录中的定理5,知I(s))在[a,b]上一致收敛,对于I(s)当0≤x≤1
s-1-x
时有xe在[a,b;0,1]上连续,所以I(s)在[a,b]连续,所以I(s)在[a,b]上一致收敛,
所以Γ(s)在(0,+∞)上内闭一致收敛,由附录中的定理2,知Γ(s)在(0,+∞)上连续.
(2)Γ函数的的可微性
首先考虑积分
⎰
+∞
+∞∂s-1-x
(xe)dx=⎰(xs-1e-x)lnxdx在任何闭区间[a,b](a>0)
0∂s
上一致收敛.考虑积分
⎰
+∞
+∞1+∞∂s-1-x
(xe)dx=⎰(xs-1e-x)lnxdx=⎰xs-1e-xlnxdx+⎰xs-1e-xlnxdx.
001∂s
当0
s-1-x
elnx≤x
a-1
lnx(0≤x≤1)而积分⎰xa-1lnxdx收敛,故积分
1
⎰
1
xe-xlnxdx当0
s-1-xb-1-x
同样,当s≤b时,xelnx≤xelnx(x≥1)故
s-1
⎰
+∞
1
xs-1e-xlnxdx当s≤b时
一致收敛.因此积分
⎰
+∞
xs-1e-xlnxdx当0
a≤s≤b上具有连续的导函数Γ'(s)且可在积分下求导
Γ'(s)=⎰
+∞
xs-1e-xlnxdx
(3)
由a,b的任意性,可知Γ'(s)在s>0上连续且(3)式对一切s>0皆成立.
类似的数学归纳法可知,对任何正整数nΓ(n)(s)在s>0上都存在且可在积分号下求导数,得Γ(n)(s)=
⎰
+∞
xs-1e-x(lnx)ndx(s>0).
(3)递推公式Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0)
由此可知,任意s>0,如果n
Γ(s+1)=sΓ(s)=s(s-1)=s(s-1)(s-n)Γ(s-n)(4)
特别地当s为正整数n+1时可写成Γ(n+1)=n(n-1)2Γ
(1)=n!
(4)极值与凸性
因为对一切s>0,Γ(s)=
⎰
+∞
e-xdx=n!
.
⎰
+∞
xedx>0,Γ(s)=⎰
因
为
s-1-x''
+∞
xs-1e-x(lnx)2dx>0
因此Γ(s)的图形位于s轴上方且凸的.又
Γ
(1)=⎰e-xdx
+∞
=1,
Γ
(2)=1Γ
(1)=1,所以,Γ
(1)=Γ
(2)。
因此Γ(s)在s>0上有唯一的一个极小值点x0落在(1,2)之间.
问题4:
Γ函数还有其它的形式吗?
答:
Γ函数的其他形式:
在
(1)式中,令x=py,则有
Γ(s)=⎰(py)e
+∞
s-1-py
pdy=p
2
s
⎰
+∞
ys-1e-pydy(s>0,p>0)(6)
在
(1)式中,令x=y,则有Γ(s)=
⎰
+∞
y
2(s-1)-y2
e
2ydy=2⎰
+∞
y
2s-1-y2
edy。
问题5:
B函数有些什么性质?
答:
B函数具有如下性质:
(1)B函数的连续性
事实上,对任何p≥p0>0,q≥q0>0有x
p-1
(1-x)q-1≦xp0-1(1-x)q0-1,而
⎰
1
xp0-1(1-x)q0-1dx收敛,所以由附录中的定理5,B(p,q)在p0≤p
q0≤q
(2)B函数的可微性
B(p,q)在(0,+∞)×(0,+∞)内可微且存在任意阶连续偏导数.
1∂p-1q-1
x(1-x)]dx=⎰xp-1(1-x)q-1lnxdx考虑积分⎰0∂p0
1
当p≥p0>0,q≥q0>0时,恒有
xp-1(1-x)q-1Inx≤xp0-1(1-x)q0-1Inx,(0
而
⎰
1
xp0-1(1-x)q0-1lnxdx收敛,故积分⎰xp-1(1-x)q-1dx当p≥p0,q≥q0时一致
1
收敛.因此当p≥p0,q≥q0时可在积分下求导,得
B'p(p,q)=⎰xp-1(1-x)q-1lnxdx并且B'p(p,q)是p≥p0,q≥q0上的连续函数.
1
同理Bp(p,q)是域p>0,q>0上的二元函数,且当p>0,q>0可在积分下求导得
'
B'q(p,q)=⎰xp-1(1-x)q-1ln(1-x)dx。
1
∂nB(p,q)
完全类似地用数学归纳法可证在域p>0,q>0上存在连续偏导数,且
∂pi∂qn-i
∂nB(p,q)1p-1q-1in-i
=⎰x(1-x)(ln)(ln(1-x))dx。
in-i0∂p∂q
(3)B函数的对称性B(p,q)=B(q,p)(4)递推公式B(p,q)=
q-1
B(p,q-1)(p>0,q>1)
p+q-1
B(p,q)=
⎰
1
x
p-1
(1-x)
q-1
dx=
⎰
+∞
uup-1
x=()p+q
1+u(1+u)
+∞1
=up-1d(1+u)1-p-q(当p>1时)⎰1-p-q0
+∞1up-2
=(-1)(p-1)⎰p+q+101-p-q(1+u)
p-1+∞up-2p-1==B(p-1,q)p+q-1⎰0p+q-1(1+u)p+q-1
由对称性可证
B(p,q)=
(q-1)(p-1)
B(p-1,q-1)
(p+q-1)(p+q-2)
(n-1)!
(m-1)!
。
(m+n-1)!
特别对正整数m,n,B(m,n)=
问题6:
B函数还有其它的形式吗?
答:
B函数的其他形式:
π
B(p,q)=2⎰2sin2q-1θcos2p-1θdθ(令x=cos2θ)
B(p,q)=⎰
+∞
uup-1
x=()1+u(1+u)p+q
1
,仍把t写成u,则有t
+∞)两段积分,后者作变换u=进而将此积分拆成[0,1],[1,
up-1+uq-1
B(p,q)=⎰。
0(1+u)p+q
1
问题7:
Γ函数与B函数有怎样的关系?
答:
Γ函数与B函数有下面的关系:
(1)B(p,q)=
Γ(p)Γ(q)
(p>0,q>0)
Γ(p+q)
+∞Γ(p)
事实上,当p>0,q>0时,由(6)有,p=⎰yp-1e-tydy,从而
0t
Γ(p)Γ(q)=⎰xedx⎰
+∞
p-1-x
+∞
yedy=⎰(ty)
+∞0
q-1
-y
+∞
p-1-ty
eydy⎰
+∞
yq-1e-ydy
=⎰t
+∞
p-1
dt⎰
+∞
y
p+q-1-y(1+t)
e
dy=⎰
+∞tp-1p+q-1-(1+t)y
[(1+t)ed(1+t)yp+q⎰0(1+t)
=B(p,q)Γ(p+q),
故有,B(p,q)=
Γ(p)Γ(q)
。
Γ(p+q)
(2)(余元公式)B(p,1-p)=
π
sinπp
1
(α)Γ(α+)﹙α>0﹚
2(3)(倍元公式)
Γ(2α)=
2α-1
问题8:
能否举一些Γ函数与B函数应用的例子?
答:
下面是几个关于Γ函数与B函数应用的例子:
(1)用余元公式计算Γ()的值:
1
2
1=。
解:
Γ()=2
(2)求I=
⎰
π
sinϕα-1dϕ()﹙0<k<1﹚。
1+cosϕ1+kcosϕ
解:
由公式tg
ϕ
2
=
ϕsinϕ
,令t=tg,则
21+cosϕ
2dt1-t2sinϕα-1ϕα-1α-1
dϕ=()=(tg)=t,cosϕ=,
1+t21+t21+cosϕ2
∴I=⎰t
+∞
α-1
+∞12tα-1
dt=2⎰
0(1+k)+(1-k)t21-t21+t2
1+k
1+t2
2α=⎰)
01+kθ1απα-1θ
=tg,则I=⎰tgdθ,
21+k2
2απ
令u=
,I=⎰2tgα-1udu
21+k0
θ
ππ
α-1
2⎰2tg
0udu=2⎰2sin
2-1
2
α
ucos
2-1-2
α
udu=B(,1-)=
22sin2
)1
ααπ
∴I=
1απ
1+ksin2
(3)Γ函数在积分不等式中的应用:
h
n-322
例1已知0≤h
3,证明:
⎰
(1-t)dt≥
.Γ()2
证明:
⎰
π
h
(1-t)
2
n-32
dt=
t=hu
⎰h(1-hu
1
22
)
n-32
du≥h⎰(1-u)
1
2
n-32
du
u=sinθ
=h⎰2cosn-3θcosθdθ=
h1n-1B(,)=222.Γ()2
例2求
lim⎰(1-x)dx=0.
2
n→+∞
1
n
解:
⎰(1-x)
2
1
n
n-1(n+1)-11-1111122
dx=⎰(1-t)t2dt=⎰(1-t)t2dt
2020
⎛1⎫
Γ⎪⋅Γ(n+1)
1⎛1⎫12=B,n+1⎪=⋅
3⎫2⎝2⎛⎭2Γn+⎪2⎭⎝⎛1⎫
Γ⎪⋅n!
12=⋅
1⎫⎛1⎫⎛3⎫31⎛1⎫2⎛
n+⎪n-⎪⋅n-⎪⋅Γ⎪
2⎭⎝2⎭⎝2⎭22⎝2⎭⎝
2n⋅(2n-2)4⋅22n⋅n!
==
2n+12n-15⋅3⋅12n+12n-15⋅3⋅1
令xn=
2n⋅(2n-2)4⋅2(2n+1)(2n-1)5⋅3
,yn=
2n+12n-15⋅3⋅12n+2⋅2n6⋅4
2k2k+1
<,又0
则由于对一切自然数k,有
2
0
1,即0
nn+
1
可知limxn=0,所以
n→∞
lim⎰(1-x)dx=0.
2
n→+∞
1
n
参考文献:
[1]裴礼文数学分析中的典型问题与方法高等教育出版社[2]钱吉林数学分析解题精粹北京高等教育出版社[3]华东师大数学系数学分析北京高等教育出版社[4]东北师大数学系常微分方程北京高等教育出版社[5]周民强实变函数北京高等教育出版社
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- Gamma 函数 Beta 关系 应用