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小学数学概念
小学数学概念
第一部分数与代数
一、数的认识
【自然数】表示物体个数的1、2、3、4、5……都是自然数。
①一个物体也没有用0表示,0也是自然数。
②最小的自然数是0,没有最大的自然数,自然数的个数是无限的。
③自然数是整数的一部分,自然数就是正整数加0。
④一个自然数有两个方面的意义:
一是表示物体的个数,称为基数。
如,5朵小花中的“5”是基数;二是表示事物的次序,称为序数。
如,第5个学生中的“5”是序数。
⑤任何非0的自然数都是由若干个“一”组成,所以“一”是自然数的单位。
【奇数、偶数】在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数),不是2的倍数的数叫做奇数。
偶数的个位上一定是0、2、4、6、8;奇数的个位上一定是1、3、5、7、9。
偶数也叫双数,用2n表示;奇数也叫单数,用2n+1表示。
奇数与偶数的运算规律:
偶±奇=奇奇±奇=偶偶±偶=偶
奇×奇=奇偶×奇=偶偶×偶=偶
【因数、倍数】如果a×b=c(a、b、c均为不是0的自然数,即正整数)那么c就是a和b倍数,a和b就是c的因数。
(1)倍数和因数是相互依存的。
例如:
3×6=18,18是3的倍数,18也是6的倍数,3是18的因数,6也是18的因数。
而不能说18是倍数,3、6是因数。
(2)因数和倍数是在非0自然数的范围内讨论的,不能出现分数和小数。
例如:
0.2×3=0.6,0.6是3的倍数,这是错误的。
【2、3、5的倍数的特征】
个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
各个数位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
个位上是0或5的数是5的倍数。
个位上是0的数就是2和5的公倍数。
2和5的最小公倍数是10.
个位上是0,并且各个数位上的数字之和是3的倍数,这个数就是2、3、5的公倍数。
2、3、5的最小公倍数是30.
【质数】如果一个自然数只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(也叫素数)。
最小的质数是2。
在偶数(0除外)中,只有2是质数。
【合数】如果一个自然数除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。
最小的合数是4。
一个合数最少有3个因数。
1既不是质数也不是合数(因为1只有1个因数)
非0自然数按因数的个数可以分为3类:
质数、合数和1。
【质因数】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,
这几个质数都叫做这个合数的质因数。
例如:
6和2都是12的因数,2也是12的质因数,
但6不是12的质因数。
【分解质因数】把一个合数用几个质因数相乘的形式
表示出来,叫做分解质因数。
(1)注意不能出现1:
如6=1×2×3是错误的;6=2×3
(2)注意要写成等式:
如2×2×3是错误的;12=2×2×3
【十进制计数法】每相邻的两个计数单位之间的进率都是十,这样的计数方法就叫做十进制计数法。
小数部分每相邻的两个计数单位之间的进率也是十。
【数位】计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
如个位、十位、百位……
【计数单位】一(个)、十、百、千、万、……亿、
十亿、……是整数的计数单位,小数的小数部分的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一(或0.1、0.01、0.001)……
【数级】从个位起,每4位一级。
个级的数位有:
个位、十位、百位、千位
个级的计数单位有:
一、十、百、千
万级的数位有:
万位、十万位、百位位、千万位
万级的计数单位有:
万、十万、百万、千万
亿级的数位有:
亿位、十亿位、百亿位、千亿位
亿级的计数单位有:
亿、十亿、百亿、千亿
【小数的意义】把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
【小数的性质】小数的末尾添上“0”或去掉“0”,小数的大小不变。
利用小数的性质可以将小数末尾的“0”去掉,把小数化简;也可以根据需要在小数的末尾添上“0”,还可以将整数改写成小数部分是0的小数形式。
【循环小数】一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或者几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数。
【循环节】一个循环小数的小数部分,依次不断地重复出现的数字,叫做这个循环小数的循环节。
【有限小数】小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。
【无限小数】小数部分的位数是无限的小数,叫做无限小数。
循环小数一定是无限小数,但无限小数不一定是循环小数。
【分数的意义】把单位“1”平均分成若干份,这样的一份或几份可以用分数来表示。
分母表示把单位“1”平均分成的份数;
分子是要表示的份数。
【真分数、假分数】根据分子与分母的大小关系可以分为真分数和假分数。
分子比分母小的分数叫做真分数,真分数小于1。
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数,假分数大于1或等于1。
带分数是大于1的假分数的另一种表示形式,注意带份数一定是整数加真分数。
【分数单位】一个分数的分母是几,它的分数单位就是几分之一;分子是几,它就有几个这样的分数单位。
例如:
的分数单位是,它里面有4个;
再添上6个分数单位就是最小的质数。
【分数基本性质】分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
利用分数的基本性质可以将分数约分或者将几个分数通分。
分数的基本性质与商不变的规律、比的基本性质是相通的。
【倒数】乘积是1的两个数互为倒数。
1的倒数还是1;0没有倒数。
2和()互为倒数;1和()互为倒数;
0.3和()互为倒数;1.25和()互为倒数;
和()互为倒数。
和()互为倒数。
【公因数、最大公因数】几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
公因数的个数是有限的。
例如:
8和10的公因数有1、2;最大公因数是2.
【公倍数、最小公倍数】几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。
其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
公倍数的个数是无限的。
只有最小的公倍数,没有最大的公倍数。
例如:
8和10的公倍数有40、80……最小公倍数是40.
【互质数】公因数只有1的两个数,叫做互质数。
【最简分数】如果一个数的分子和分母的公因数只有1,这样的分数叫做最简分数。
计算的结果一般都要约分成最简分数。
相邻的两个自然数一定互质;
2和所有的奇数互质;
1和所有的非0自然数互质;
两个质数之间一定互质;
【百分数】表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
分数与百分数的关系:
(1)分数既可以表示一个数量,也可以表示两个数的比;而百分数只表示一个数占另一个数的百分比,不能表示具体的数量。
(2)分数后面可以加单位,而百分数后不能带单位。
【整数】像…-3、-2、-1、0、1、2、3、…这样的数统称整数。
整数是由正整数、0和负整数组成的。
0既不是正整数也不是负整数。
正整数都大于0,负整数都小于0。
整数的个数是无限的。
没有最小的整数,也没有最小的负整数;没有最大的整数,也没有最大的正整数。
最大的负整数是-1,最小的正整数是1。
【正数、负数】像16、2000、38、6.3…这样的数叫做正数。
正数都比0大。
像-5、-100、-5.2…这样的数叫做负数。
负数都比0小。
0既不是正数也不是负数。
正数大于负数。
最小的正整数是1;最大的负整数是-1.
正数和负数都没有最大的和最小的。
-1和-3之间的负整数只有-2,但是负数有无数个。
二、数的运算
【加法】把两个数合并成一个数的运算。
【减法】已知两个数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
【乘法】求几个相同加数的和的简便运算。
【除法】已知两个因数的积与其中的一个因数,求另一个因数的运算。
加、减、乘、除统称四则运算。
【加法交换律】两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,这叫做加法交换律。
字母表示:
a+b=b+a
【加法结合律】三个数相加,先把前两个数相加,再同第三个数相加;或先把后两个数相加,再同第一个数相加,它们的和不变。
这叫做加法结合律。
字母表示:
(a+b)+c=a+(b+c)
减法的运算性质:
a-b-c=a-(b+c)
同级运算带号搬家:
a+b-c=a-c+ba×b÷c=a÷c×b
【乘法交换律】两个数相乘,交换因数的位置,乘积不变。
这叫做乘法交换律。
字母表示:
a×b=b×a
【乘法结合律】三个数相乘,先把前两者相乘,再同第三个数相乘;或者先把后两个数相乘,再同第一个数相乘,它们的积不变,这叫做乘法结合律。
字母表示:
(a×b)×c=a×(b×c)
【乘法分配律】两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。
这叫做乘法分配率。
字母表示:
(a+b)×c=a×c+b×c
除法的运算性质:
a÷b÷c=a÷(b×c)
【整数加法计算法则】相同数位对齐,从个位加起,哪一位上的数相加满十就向前一位进一。
【整数减法计算法则】相同数位对齐,从个位减起,哪一位上的数不够减就从前一位退一当作十再减。
【小数加、减法计算法则】先把小数点对齐(也就是把相同数位上的数对齐),再按照整数加、减法的法则进行计算,最后在得数里对齐横线上的小数点,点上小数点。
(得数的小数部分末尾有0,一般要把0去掉。
)
【分数加、减法计算法则】同分母分数相加减,分母不变,只把分子相加减;异分母分数相加减,先通分,然后按同分母分数加、减法的法则进行计算。
【整数乘法计算法则】
(1)把两个因数的数位对齐;
(2)从个位起,依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数,乘到哪一位,乘得的积的末位就要和第二个因数的哪一位对齐;
(3)把几次乘得的积加起来。
整数末尾有0的乘法:
可以先把0前面的数相乘,然后看各因数的末尾一共有几个0,就在乘得的积的末尾添几个0。
【整数除法计算法则】
(1)从被除数的最高位除起,先看除数有几位,再用除数试除被除数的前几位,如果前几位比除数小,就多取一位再除;
(2)除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面;(3)如果哪一位不够商1,就在哪一位的上面写0。
(每次除后余下的数必须比除数小)
【小数乘法计算法则】先按整数乘法的法则计算,再看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。
得数的小数部分末尾有0,一般要把0去掉。
【小数除法计算法则】
除数是整数时,按照整数除法的法则进行计算,商的小数点要与被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面补0,再继续除。
除数是小数时,先看除数中有几位小数,就把除数和被除数的小数点同时向右移动几位,数位不够时用0补足;然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
【分数的乘法计算法则】分数乘分数,把分子相乘的积作为分子,把分母相乘的积作为分母。
分数乘整数,用分子乘整数的积作分子,分母不变。
能约分的要约成最简分数。
【分数除法计算法则】除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。
【积的变化规律】在乘法里,一个因数不变,另一个因数乘(或除以)一个数(0除外),积也乘(或除以)相同的数。
【积不变的规律】在乘法里,一个因数乘几,另一个因数除以相同的数(0除外),积不变。
【商不变的规律】在除法里,被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
【分数的基本性质】分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
【比的基本性质】比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
三、常见的量
【24时记时法与普通记时法】记时法有两种:
一种是国家有关部门采用的从0时~24时连续计时的24时记时法;
一种是从夜里0时~中午12时为一段,从中午12时~夜里24(0)时为一段的普通记时法。
下午1时就是13时;晚上11时就是23时。
下午1时和晚上11时是普通计时法;
13时和23时是24时计时法。
【平年、闰年】公历年份是4的倍数的一般都是闰年,但公历年份是整百数的,必须是400的倍数才是闰年。
如2000年是闰年,2096年是闰年,
但2100年不是闰年,要到2104才是闰年,也就是说通常是四年一闰。
一般年份除以4,整百年份除以400。
平年2月28天,全年365天;
闰年2月29天,全年366天。
【各月的天数】
一年中大月(31天)有7个月:
1、3、5、7、8、10、12月。
小月(30天)有4个月:
4、6、9、11月。
2月既不是大月,也不是小月。
平年2月28天,闰年2月29天。
平年全年365天,闰年全年366天。
【时间单位】
1时=60分1分=60秒
1日=24时1年=12个月1年=365(或366)天
1世纪=100年
【长度单位】相邻长度单位的进率一般是10.
1千米=1000米1米=10分米
1分米=10厘米1厘米=10毫米
1米=100厘米1千米=100000厘米
1千米也叫1公里,1公里有2里。
1公里=1000米1里=500米
【面积单位】相邻面积单位的进率一般是100.
1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米
1平方米=10000平方厘米
【体积单位】相邻体积单位的进率一般是1000.
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方米=1000000立方厘米
【容积单位】相邻容积单位的进率一般是1000.
1升=1000毫升
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
【质量单位】相邻质量单位的进率一般是1000.
1吨=1000千克1千克=1000克
1千克也叫1公斤,1公斤有2斤。
1公斤=1000克1斤=500克
四、式与方程
【等式】表示相等关系的式子叫做等式。
【方程】含有未知数的等式叫做方程。
【方程的解】使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
【解方程】求方程的解的过程,叫做解方程。
【等式的性质】
(1)等式的两边同时加上或减去同一个数,等式仍成立。
(2)等式的两边同时乘或除以相同的数(0除外),等式仍成立。
五、比和比例
【比】两个数相除又叫两个数的比。
【比的前项、后项、比值】在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商叫做比值。
比值是一个具体的数,可以用整数、分数或小数表示。
【比的基本性质】比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
【比例】表示两个比相等的式子叫做比例。
如,3:
5=6:
10。
【比例的项】在比例中,组成比例的四个数叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的內项。
【比例的基本性质】在比例里,两个内项的积等于两个外项的积。
如在上面的比例中3×10=5×6。
【解比例】求比例中的未知项,叫做解比例。
【正比例和反比例】两种相关联的量,有的成比例,有的不成比例。
如果两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,当这两种量中相对应的两个数的比值一定时,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
当这两种量中相对应的两个数的乘积一定时,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。
一、图形的认识
【直线】直线没有端点,可以向两端无限延伸,长度无法测量。
过一点可以画无数条直线,过两点只能画一条直线。
【射线】射线只有一个端点,可以向一端无限延伸,长度无法测量。
从一点出发可以画无数条射线。
【线段】线段有两个端点,长度可以测量。
两点间的所有连线中,线段最短。
【角】从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。
这个点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
(1)角有1个顶点2条边。
(2)角的大小与两边张开的大小有关,与两边的长短无关。
(3)角的分类:
锐角(小于90°)、钝角(大于90°且小于180°)、直角(90°)、平角(180°)、周角(360°)
1周角=2平角=4直角
【三角形】由三条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连)叫做三角形。
三角形有3个顶点、3条边、3个角。
三角形的分类:
按照角来分:
直角三角形、锐角三角形、钝角三角形
(一个三角形中至少有2个锐角)
按照边来分:
等腰三角形、等边三角形
三角形任意两边之和大于第三条边。
三角形内角和180°。
三角形具有稳定性。
【四边形】由四条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连)叫做四边形。
【平行四边形】两组对边分别平行的四边形。
【长方形】对边平行且相等,四个角都是直角的四边形。
【正方形】四条边都相等,四个角都是直角的四边形。
【梯形】只有一组对边平行的四边形。
长方形和正方形都是特殊的平行四边形。
平行四边形和梯形都是特殊的四边形。
四边形具有不稳定性,容易变形。
【圆】当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时,它的另一端点所画出的一条封闭曲线就是圆。
【圆心】圆中心的一点叫做圆心。
【半径】连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
【直径】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
【扇形】由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形。
一个圆只有1个圆心,有无数条直径和半径。
在同圆或等圆中,直径的长度是半径的2倍。
【长方体】长方体是由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形。
在一个长方体中,相对的2个面完全相同,相对的4条棱长度相等。
【正方体】正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。
正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。
长方体和正方体都有6个面、8个顶点、12条棱。
【圆柱】圆柱有三个面,底面是两个相等的圆,侧面是一个曲面,两个底面之间的距离叫做高。
沿圆柱的高将圆柱的侧面展开后是一个长方形。
【圆锥】圆锥有两个面,底面是一个圆形,侧面展开是一个扇形。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
二、测量
【周长】封闭图形一周的长度。
【面积】物体的表面或封闭图形的大小。
【表面积】物体表面的总面积。
【体积】物体所占空间的大小。
【容积】仓库或容器所能容纳物体的体积叫做容积。
【周长公式】
长方形的周长=(长+宽)×2C=(a+b)×2
长方形的长=周长÷2-宽
长方形的宽=周长÷2-长
正方形的周长=边长×4C=4a
正方形的边长=周长÷4
圆的周长=圆周率×直径C=πd=2πr
【面积公式】
长方形的面积=长×宽S=ab
长方形的长=面积÷宽长方形的宽=面积÷长
正方形的面积=边长×边长S=a2
平行四边形的面积=底×高S=ah
平行四边形的底=面积÷高平行四边形的高=面积÷底
三角形的面积=底×高÷2S=ah÷2
三角形的底=面积×2÷高三角形的高=面积×2÷底
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2S=(a+b)h÷2
圆的面积=圆周率×半径2S=πr2
圆环的面积=(大圆半径2-小圆半径2)πS=(R2-r2)π
【棱长总和公式】
长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4C=(a+b+h)×4
长方体的长=棱长总和÷4-宽-高
正方体的棱长总和=棱长×12C=12a
正方体的棱长=棱长总和÷12
【表面积公式】
长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2S=(ab+ah+bh)×2
正方体的表面积=棱长×棱长×6S=6a2
圆柱的表面积=侧面积+2个底面积
S=ch+2πr2=2πrh+2πr2
【体积公式】
长方体的体积=长×宽×高V=abh
正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a3
圆柱的体积=底面积×高
V=sh=πr2h
圆锥的体积=底面积×高÷3
V=sh÷3=πr2h÷3
三、图形的运动
【平移】在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。
【旋转】在平面内,将一个图形绕一个定点,沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角。
【轴对称图形】如果一个图形沿着一条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
四、图形与位置
【四面八方】上北下南左西右东
东南、东北、西南、西北
【位置的相对性】方向相反、度数和距离不变
如果甲在乙的正东方,那么乙在甲的()
如果甲在乙的东南方,那么乙在甲的()
如果甲在乙的西偏北42°方向上,距离100米,
那么乙在甲的()
如果甲在乙的南偏西25°方向上,距离3千米。
那么乙在甲的()
【用方向和距离描述物体的位置】一是确定观测点,二是方向,三是距离。
【用数对描述物体的位置】用数对描述平面上物体的位置,横排为行,竖排为列。
确定第几列,一般从左向右数;确定第几行,一般从前往后数(方格纸上从下往上数)。
表示列的数在前,表示行的数在后,中间用“,”隔开,再加上小括号。
例如(3,2)表示第3列,第2行。
【比例尺】图上距离与实际距离的比,叫做一幅图的比例尺。
第三部分 统计与概率
【简单数据统计过程】一般要经历四个阶段:
收集数据、整理数据、描述数据、分析数据。
【收集数据】指收集原始数据。
收集数据的方法很多,可以通过调查、测量、实验得到数据,也可以通过查阅书刊、上网查询等方法得到数据。
【整理数据】就是把收集到的原始数据进行整理。
可以分类整理,也可以分段整理。
整理的过程中,可以采用画“正”字或者画“√”的方法进行计数。
【描述数据】就是将整理好的数据展示出来。
可以制成统计表,也可以制成统计图,但要结合具体的问题和具体的内容来选择。
【分析数据】就是解释统计的结果,并能根据统计的结果作出简单的判断和预测。
【条形统计图】通过条形的高低来表示数量的多少的统计图。
它能够清楚地表示数量的多少,有利于数量的比较。
【折线统计图】以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化情况的统计图。
它不仅能表示出数量的多少,还能够反映数量的增减变化情况。
【扇形统计图】用整个圆面积表示总数,用圆内的各个扇形的面积表示各部分占总数的百分数的统计图。
它用单位“1”表示总数,能够清楚的反映出各部分占总数的百分比。
【平均数】是刻画一组数据集中趋势的一个统计量。
平均数的求法是将一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数得到的商。
它的大小和每个数据都有关系,任何数据的变化都会引起平均数的变化。
一组数据的极大或极小数据对平均数影响较大。
【确定现象】有一些现象的结果是可以预知的,包括一定会发生的现象和不可能发生的现象,把这类现象称为确定现象。
通常用“一定”或“不可能”来描述这类现象。
【随机现象】有一些现象的结果是否发生是不能预先确定的,称为随机现象,用“可能”来描述。
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