高考全国卷1理科数学试题及答案.docx
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高考全国卷1理科数学试题及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.设
1i
2i
|z|
z
1i
A.0B.
1
2
C.1D.2
2.已知集合
220
Axxx,则eRA
A.x1x2B.x1x2
C.x|x1x|x2D.x|x1x|x2
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经
济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.设Sn为等差数列an的前n项和,若3S3S2S4,a12,则a5
A.12B.10C.10D.12
5.设函数
32
fxxaxax,若f(x)为奇函数,则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为
()
(1)
A.y2xB.yxC.y2xD.yx
6.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB
A.
31
ABACB.
44
13
ABACC.
44
31
ABACD.
44
13
ABAC
44
7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱
表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为
A.217B.25C.3D.2
8.设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为
2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为
2
3
的直线与C交于M,N两点,则FMFN=
A.5B.6C.7D.8
9.已知函数
f(x)
xx
e0
,,
gxfxxa.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是
()()
ln,0,
xx
A.[–1,0)B.[0,+∞)C.[–1,+∞)D.[1,+∞)
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为
直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,
其余部分记为III.在整个图形中随机取一点,此点取自I,II,III的概率分别记为p1,p2,p3,则
A.p1=p2B.p1=p3
C.p2=p3D.p1=p2+p3
11.已知双曲线C:
2
x
3
21
y,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点
分别为M、N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=
A.
3
2
B.3C.23D.4
12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大
值为
A.
33
4
B.
23
3
C.
32
4
D.
3
2
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
x2y20
13.若x,y满足约束条件xy10
,则z3x2y的最大值为_____________.
y0
14.记Sn为数列an的前n项和,若Sn2an1,则S6_____________.
15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________
种.(用数字填写答案)
16.已知函数fx2sinxsin2x,则fx的最小值是_____________.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生
都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
60分。
17.(12分)
在平面四边形ABCD中,ADC90,A45,AB2,BD5.
(1)求cosADB;
(2)若DC22,求BC.
18.(12分)
如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C
到达点P的位置,且PFBF.
(1)证明:
平面PEF平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19.(12分)
设椭圆
2
x
2
C:
y1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
2
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:
OMAOMB.
20.(12分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不
合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余
下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1),且各件产品是否为不合格品相
互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点
p.
0
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以
(1)中确定的
p作为p的值.已知每
0
件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费
用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
21.(12分)
已知函数
1
f(x)xalnx
x
.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点
x1,x2,证明:
fxfx
12
xx
12
a
2
.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4–4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线
C的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐
1
标系,曲线
C的极坐标方程为
2
22cos30.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若
C与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
1
23.[选修4–5:
不等式选讲](10分)
已知f(x)|x1||ax1|.
(1)当a1时,求不等式f(x)1的解集;
(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案:
123456789101112
CBABDABDCABA
13.614.6315.1616.
33
2
17.(12分)
解:
(1)在△ABD中,由正弦定理得
BDAB
sinAsinADB
.
由题设知,
52
sin45sinADB
,所以
sin
2
ADB.
5
由题设知,ADB90,所以
223
cosADB1.
255
(2)由题设及
(1)知,
2
cosBDCsinADB.
5
在△BCD中,由余弦定理得
2222cos
BCBDDCBDDCBDC
2582522
2
5
25.
所以BC5.
18.(12分)
解:
(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF,垂足为H.由
(1)得,PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.
由
(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=3.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.
可得
33
PH,EH.
22
则
3333
H(0,0,0),P(0,0,),D(1,,0),DP(1,,),
2222
3
HP(0,0,)为平面ABFD的法向量.
2
3
设DP与平面ABFD所成角为,则
HPDP
4
sin||
|HP||DP|3
3
4
.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
3
4
.
13.7(12分)
解:
(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.
由已知可得,点A的坐标为
2
(1,)
2
或
2
(1,)
2
.
所以AM的方程为
2
yx2或
2
2
yx2.
2
(2)当l与x轴重合时,OMAOMB0.
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以OMAOMB.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为yk(x1)(k0),
A(x,y),B(x,y),
1122
则
x12,x22,直线MA,MB的斜率之和为
yy
12
kk.
MAMBxx
122
2
由y1kx1k,y2kx2k得
2kxx3k(xx)4k
1212
kk.
MAMB
(x2)(x2)
12
将yk(x1)代入
2
x
2
21
y得
2222
(2k1)x4kx2k20.
所以,
22
4k2k2
xx,xx
1221
2
2
2k12k1
.
则
333
4k4k12k8k4k
2kxx3k(xx)4k0.
12122
2k1
从而kk0,故MA,MB的倾斜角互补,所以OMAOMB.
MAMB
综上,OMAOMB.
13.8(12分)
解:
(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为
2218
f(p)Cp(1p).因此
20
218217217
f(p)C[2p(1p)18p(1p)]2Cp(1p)(110p).
2020
令f(p)0,得p0.1.当p(0,0.1)时,f(p)0;当p(0.1,1)时,f(p)0.
所以f(p)的最大值点为
p00.1.
(2)由
(1)知,p0.1.
(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y:
B(180,0.1),X20225Y,
即X4025Y.
所以EXE(4025Y)4025EY490.
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于EX400,故应该对余下的产品作检验.
13.9(12分)
解:
(1)f(x)的定义域为(0,),
2
1axax1
f(x)1
22
xxx
.
(i)若a2,则f(x)0,当且仅当a2,x1时f(x)0,所以f(x)在(0,)单调递减.
(ii)若a2,令f(x)0得,
24
aa
x或
2
24
aa
x.
2
当
2424
aaaa
x(0,)U(,)时,f(x)0;
22
当
2424
aaaa
x(,)时,f(x)0.所以f(x)在
22
2424
aaaa
(0,),(,)
22
单
调递减,在
2424
aaaa
(,)
22
单调递增.
(2)由
(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a2.
由于f(x)的两个极值点
x1,x2满足
210
xax,所以x1x21,不妨设x1x2,则x21.由于
f(x)f(x)1lnxlnxlnxlnx2lnx
1212122
1a2a2a
1
x
xxxxxxxx
12121212
x
2
2
,
所以
f(x)f(x)
12
xx
12
a
2
等价于
1
x
2
x2lnx0
22
.
设函数
1
g(x)x2lnx
x
,由
(1)知,g(x)在(0,)单调递减,又g
(1)0,从而当x(1,)
时,g(x)0.
所以
1
x
2
x2lnx0
22
,即
f(x)f(x)
12
xx
12
a2
.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
【解析】
(1)由xcos,ysin得
C的直角坐标方程为
2
22
(x1)y4.
(2)由
(1)知C2是圆心为A(1,0),半径为2的圆.
由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为
l,y轴左边的射线为
1
l.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有
2
两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以
|k2|
2
k1
2
,故
4
kk0
3
经检验,当k0时,l1与C2没有公共点;当
4
k时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公
3
共点.
当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以
|k2|
2
k1
2
,故k0或
4
k.
3
经检验,当k0时,l1与C2没有公共点;当
4
k时,l2与C2没有公共点.
3
综上,所求C1的方程为
4
y|x|2.
3
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
2,x1,
【解析】
(1)当a1时,f(x)|x1||x1|,即
f(x)2x,1x1,
2,x1.
故不等式f(x)1的解集为{|1}
xx.
2
(2)当x(0,1)时|x1||ax1|x成立等价于当x(0,1)时|ax1|1成立.
若a0,则当x(0,1)时|ax1|1;
若a0,|ax1|1的解集为
0x
2
a
,所以
2
a
1
,故0a2.
综上,a的取值范围为(0,2].
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