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机械振动与机械波
戴氏教育开发部物理专题三
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机械振动与机械波
一、专题概述:
机械振动内容简单,学生掌握好两种典型模型单摆和弹簧镇子。
机械波的传播特点,机械波的三大关系(波长、波速、周期的关系;空间距离和时间的关系;波形图、质点振动方向和波的传播方向间的关系)是考查重点,高考多以选择题出现,且每年必考,这部分复习以小题型为主。
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二、基本知识点,方法技巧总结
基本知识点
(一)简谐运动
物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比,并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动,叫简谐运动。
表达式为:
F=-kx
(1)理解要点
①简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。
也就是说,在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。
②回复力是一种效果力。
是振动物体在沿振动方向上所受的合力。
③“平衡位置”不等于“平衡状态”。
平衡位置是指回复力为零的位置,物体在该位置所受的合外力不一定为零。
(如单摆摆到最低点时,沿振动方向的合力为零,但在指向悬点方向上的合力却不等于零,所以并不处于平衡状态)
④F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。
凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件;反之,只要沿振动方向的合力满足该条件,那么该振动一定是简谐运动。
(2)几个重要的物理量间的关系
要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻(或某一位置)的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。
①由定义知:
F∝x,方向相反。
②由牛顿第二定律知:
F∝a,方向相同。
③由以上两条可知:
a∝x,方向相反。
④v和x、F、a之间的关系最复杂:
当v、a同向(即v、F同向,也就是v、x反向)时v一定增大;当v、a反向(即v、F反向,也就是v、x同向)时,v一定减小。
(3)从总体上描述简谐运动的物理量
振动的最大特点是往复性或者说是周期性。
因此振动物体在空间的运动有一定的范围,用振幅A来描述;在时间上则用周期T来描述完成一次全振动所须的时间。
①振幅A是描述振动强弱的物理量。
(一定要将振幅跟位移相区别,在简谐运动的振动过程中,振幅是不变的而位移是时刻在改变的)
②周期T是描述振动快慢的物理量。
(频率f=1/T也是描述振动快慢的物理量)周期由振动系统本身的因素决定,叫固有周期。
任何简谐运动都有共同的周期公式:
(其中m是振动物体的质量,k是回复力系数,即简谐运动的判定式F=-kx中的比例系数,对于弹簧振子k就是弹簧的劲度,对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了)。
(二)典型的简谐运动
1.弹簧振子
①周期
,与振幅无关,只由振子质量和弹簧的劲度决定。
②可以证明,竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动,周期公式也是
。
这个结论可以直接使用。
③在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力;在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的
2.单摆。
①单摆振动的回复力是重力的切向分力,不能说成是重力和拉力的合力。
在平衡位置振子所受回复力是零,但合力是向心力,指向悬点,不为零。
②当单摆的摆角很小时(小于5°)时,单摆的周期
,与摆球质量m、振幅A都无关。
其中l为摆长,表示从悬点到摆球质心的距离,要区分摆长和摆线长。
③小球在光滑圆弧上的往复滚动,和单摆完全等同。
只要摆角足够小,这个振动就是简谐运动。
这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。
④摆钟问题。
单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。
在计算摆钟类的问题时,利用以下方法比较简单:
在一定时间内,摆钟走过的格子数n与频率f成正比(n可以是分钟数,也可以是秒数、小时数……),再由频率公式可以得到:
合力。
(三)简谐运动的图象
1.简谐运动的图象:
以横轴表示时间t,以纵轴表示位移x,建立坐标系,画出的简谐运动的位移——时间图象都是正弦或余弦曲线.
2.振动图象的含义:
振动图象表示了振动物体的位移随时间变化的规律.
3.图象的用途:
从图象中可以知道:
①任一个时刻质点的位移②振幅A.③周期T
速度方向:
由图线随时间的延伸就可以直接看出
加速度:
加速度与位移的大小成正比,而方向总与位移方向相反.只要从振动图象中认清位移(大小和方向)随时间变化的规律,加速度随时间变化的情况就迎刃而解了
4.关于振动图象的讨论
①简谐运动的图象不是振动质点的轨迹.做简谐运动质点的轨迹是质点往复运动的那一段线段(如弹簧振子)或那一段圆弧(如下一节的单摆).这种往复运动的位移图象。
就是以x轴上纵坐标的数值表示质点对平衡位置的位移。
以t轴横坐标数值表示各个时刻,这样在x—t坐标系内,可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点,即位移随时间分布的情况——振动图象.
②简谐运动的周期性,体现在振动图象上是曲线的重复性.简谐运动是一种复杂的非匀变速运动.但运动的特点具有简单的周期性、重复性、对称性.所以用图象研究要比用方程要直观、简便.简谐运动的图象随时间的增加将逐渐延伸,过去时刻的图形将永远不变,任一时刻图线上过该点切线的斜率数值代表该时刻振子的速度大小。
正负表示速度的方向,正时沿x正向,负时沿x负向.
(五)机械波
1.机械波的产生条件:
①波源(机械振动)②传播振动的介质(相邻质点间存在相互作用力)。
2.机械波的分类
机械波可分为横波和纵波两种。
(1)质点振动方向和波的传播方向垂直的叫横波,如:
绳上波、水面波等。
(2)质点振动方向和波的传播方向平行的叫纵波,如:
弹簧上的疏密波、声波等。
分类
质点的振动方向和波的传播方向关系
形状
举例
横波
垂直
凹凸相间;有波峰、波谷
绳波等
纵波
在同一条直线上
疏密相间;有密部、疏部
弹簧波、声波等
说明:
地震波既有横波,也有纵波。
3.机械波的传播
①在同一种均匀介质中机械波的传播是匀速的。
波速、波长和频率之间满足公式:
v=λf。
②介质质点的运动是在各自的平衡位置附近的简谐运动,是变加速运动,介质质点并不随波迁移。
③机械波转播的是振动形式、能量和信息。
④机械波的频率由波源决定,而传播速度由介质决定。
4.机械波的传播特点(规律):
①前带后,后跟前,运动状态向后传。
即:
各质点都做受迫振动,起振方向由波源来决定;且其振动频率(周期)都等于波源的振动频率(周期),但离波源越远的质点振动越滞后。
②机械波传播的是波源的振动形式和波源提供的能量,而不是质点。
(六)振动图象和波的图象
1.振动图象和波的图象
振动图象和波的图象从图形上看好象没有什么区别,但实际上它们有本质的区别。
①物理意义不同:
振动图象表示同一质点在不同时刻的位移;波的图象表示介质中的各个质点在同一时刻的位移。
②图象的横坐标的单位不同:
振动图象的横坐标表示时间;波的图象的横坐标表示距离。
③从振动图象上可以读出振幅和周期;从波的图象上可以读出振幅和波长。
简谐振动图象与简谐横波图象的列表比较:
简谐振动
简谐横波
图
象
坐
标
横坐标
时间
介质中各质点的平衡位置
纵坐标
质点的振动位移
各质点在同一时刻的振动位移
研究对象
一个质点
介质中的大量质点
物理意义
一个质点在不同时刻的振动位移
介质中各质点在同一时刻的振动位移
随时间的变化
原有图形不变,图线随时间而延伸
原有波形沿波的传播方向平移
运动情况
质点做简谐运动
波在介质中匀速传播;介质中各质点做简谐振动
2.描述波的物理量——波速、周期、波长:
①波速v:
运动状态或波形在介质中传播的速率;同一种波的波速由介质决定。
注:
在横波中,某一波峰(波谷)在单位时间内传播的距离等于波速。
②周期T:
即质点的振动周期;由波源决定。
③波长λ:
在波动中,振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离。
注:
在横波中,两个相邻波峰(波谷)之间的距离为一个波长。
结论:
(1)波在一个周期内传播的距离恰好为波长。
由此:
①v=λ/T=λf;λ=vT.②波长由波源和介质决定。
(2)质点振动nT(波传播nλ)时,波形不变。
(3)相隔波长整数倍的两质点,振动状态总相同;相隔半波长奇数倍的两质点,振动状态总相反。
3.波的图象的画法
波的图象中,波的图形、波的传播方向、某一介质质点的瞬时速度方向,这三者中已知任意两者,可以判定另一个。
(口诀为“上坡下,下坡上”;或者“右上右、左上左))
4.波的传播是匀速的
在一个周期内,波形匀速向前推进一个波长。
n个周期波形向前推进n个波长(n可以是任意正数)。
因此在计算中既可以使用v=λf,也可以使用v=s/t,后者往往更方便。
5.介质质点的运动是简谐运动(是一种变加速运动)
任何一个介质质点在一个周期内经过的路程都是4A,在半个周期内经过的路程都是2A,但在四分之一个周期内经过的路程就不一定是A了。
6.起振方向
介质中每个质点开始振动的方向都和振源开始振动的方向相同。
7.波动图象的应用:
(1)从图象上直接读出振幅、波长、任一质点在该时刻的振动位移。
(2)波动方向<==>振动方向。
方法:
选择对应的半周,再由波动方向与振动方向“头头相对、尾尾相对”来判断。
如图:
(3)两个时刻的波形问题:
设质点的振动时间(波的传播时间)为t,波传播的距离为x。
则:
t=nT+△t即有x=nλ+△x(△x=v△t)且质点振动nT(波传播nλ)时,波形不变。
①根据某时刻的波形,画另一时刻的波形。
方法1:
波形平移法:
当波传播距离x=nλ+△x时,波形平移△x即可。
方法2:
特殊质点振动法:
当波传播时间t=nT+△t时,根据振动方向判断相邻特殊点(峰点,谷点,平衡点)振动△t后的位置进而确定波形。
②根据两时刻的波形,求某些物理量(周期、波速、传播方向等)
三:
例题精讲
【例1】有一弹簧振子做简谐运动,则()
A.加速度最大时,速度最大B.速度最大时,位移最大
C.位移最大时,回复力最大D.回复力最大时,加速度最大
解析:
振子加速度最大时,处在最大位移处,此时振子的速度为零,由F=-kx知道,此时振子所受回复力最大,所以选项A错,C、D对.振子速度最大时,是经过平衡位置时,此时位移为零,所以选项B错.故正确选项为C、D
点评:
分析振动过程中各物理量如何变化时,一定要以位移为桥梁理清各物理量间的关系:
位移增大时,回复力、加速度、势能均增大,速度、动量、动能均减小;位移减小时,回复力、加速度、势能均减小,速度、动量、动能均增大.各矢量均在其值为零时改变方向,如速度、动量均在最大位移处改变方向,位移、回复力、加速度均在平衡位置改变方向.
【例2】已知单摆摆长为L,悬点正下方3L/4处有一个钉子。
让摆球做小角度摆动,其周期将是多大?
解析:
该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动,周期分别为
和
,因此该摆的周期为:
【例3】固定圆弧轨道弧AB所含度数小于5°,末端切线水平。
两个相同的小球a、b分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑,比较它们到达轨道底端所用的时间和动能:
ta__tb,Ea__2Eb。
解析:
两小球的运动都可看作简谐运动的一部分,时间都等于四分之一周期,而周期与振幅无关,所以ta=tb;从图中可以看出b小球的下落高度小于a小球下落高度的一半,所以Ea>2Eb。
低点,因此周期应该约是T=1.2s。
因此答案③④错误。
本题应选C。
【例4】劲度系数为20N/cm的弹簧振子,它的振动图象如图所示,在图中A点对应的时刻
A.振子所受的弹力大小为0.5N,方向指向x轴的负方向
B.振子的速度方向指向x轴的正方向
C.在0~4s内振子作了1.75次全振动
D。
在0~4s内振子通过的路程为0.35cm,位移为0
解析:
由图可知A在t轴上方,位移x=0.25cm,所以弹力F=-kx=-5N,即弹力大小为5N,方向指向x轴负方向,选项A不正确;由图可知过A点作图线的切线,该切线与x轴的正方向的夹角小于90°,切线斜率为正值,即振子的速度方向指向x轴的正方向,选项B正确.由图可看出,t=0、t=4s时刻振子的位移都是最大,且都在t轴的上方,在0~4s内完成两次全振动,选项C错误.由于t=0时刻和t=4s时刻振子都在最大位移处,所以在0~4s内振子的位移为零,又由于振幅为0.5cm,在0~4s内振子完成了2次全振动,所以在这段时间内振子通过的路程为2×4×0.50cm=4cm,故选项D错误.
综上所述,该题的正确选项为B.
【例5】摆长为L的单摆做简谐振动,若从某时刻开始计时,(取作t=0),当振动至
时,摆球具有负向最大速度,则单摆的振动图象是图中的( )
解析:
从t=0时经过
时间,这段时间为
,经过
摆球具有负向最大速度,说明摆球在平衡位置,在给出的四个图象中,经过
具有最大速度的有C、D两图,而具有负向最大速度的只有D。
所以选项D正确。
【例6】在均匀介质中有一个振源S,它以50HZ的频率上下振动,该振动以40m/s的速度沿弹性绳向左、右两边传播。
开始时刻S的速度方向向下,试画出在t=0.03s时刻的波形。
解析:
从开始计时到t=0.03s经历了1.5个周期,波分别向左、右传播1.5个波长,该时刻波源S的速度方向向上,所以波形如右图所示。
【例7】如图是一列向右传播的简谐横波在某时刻的波形图。
已知波速v=0.5m/s,画出该时刻7s前及7s后的瞬时波形图。
解析:
λ=2m,v=0.5m/s,T=
=4s.所以⑴波在7s内传播
的距离为x=vt=3.5m=1
λ⑵质点振动时间为1
T。
方法1波形平移法:
现有波形向右平移
λ可得7s后的波形;
现有波形向左平移
λ可得7s前的波形。
由上得到图中7s后的瞬时波形图(粗实线)和7s前的瞬时波形图(虚线)。
方法2特殊质点振动法:
根据波动方向和振动方向的关系,确定两个特殊点(如平衡点和峰点)在3T/4前和3T/4后的位置进而确定波形。
请读者试着自行分析画出波形。
【例8】如图实线是某时刻的波形图象,虚线是经过0.2s
时的波形图象。
求:
①波传播的可能距离②可能的周期(频率)
③可能的波速④若波速是35m/s,求波的传播方向
⑤若0.2s小于一个周期时,传播的距离、周期(频率)、波速。
解析:
①题中没给出波的传播方向,所以有两种可能:
向左传播或向右传播。
向左传播时,传播的距离为x=nλ+3λ/4=(4n+3)m(n=0、1、2…)
向右传播时,传播的距离为x=nλ+λ/4=(4n+1)m(n=0、1、2…)
②向左传播时,传播的时间为t=nT+3T/4得:
T=4t/(4n+3)=0.8/(4n+3)(n=0、1、2…)
向右传播时,传播的时间为t=nT+T/4得:
T=4t/(4n+1)=0.8/(4n+1)(n=0、1、2…)
③计算波速,有两种方法。
v=x/t或v=λ/T
向左传播时,v=x/t=(4n+3)/0.2=(20n+15)m/s.或v=λ/T=4(4n+3)/0.8=(20n+15)m/s.(n=0、1、2…)
向右传播时,v=x/t=(4n+1)/0.2=(20n+5)m/s.或v=λ/T=4(4n+1)/0.8=(20n+5)m/s.(n=0、1、2…)
④若波速是35m/s,则波在0.2s内传播的距离为x=vt=35×0.2m=7m=1
λ,所以波向左传播。
⑤若0.2s小于一个周期,说明波在0.2s内传播的距离小于一个波长。
则:
向左传播时,传播的距离x=3λ/4=3m;传播的时间t=3T/4得:
周期T=0.267s;波速v=15m/s.向右传播时,传播的距离为λ/4=1m;传播的时间t=T/4得:
周期T=0.8s;波速v=5m/s.
点评:
做此类问题的选择题时,可用答案代入检验法。
(4)根据波的传播特点(运动状态向后传)确定某质点的运动状态问题:
【例9】一列波在介质中向某一方向传播,如图是此波在某一时刻的波形图,且此时振动还只发生在M、N之间,并知此波的周期为T,Q质点速度方向在波形中是向下的。
则:
波源是_____;P质点的起振方向为_________;从波源起振开始计时时,P点已经振动的时间为______。
解析:
由Q点的振动方向可知波向左传播,N是波源。
由M点的起振方向(向上)得P质点的起振方向向上。
振动从N点传播到M点需要1T,传播到P点需要3T/4,所以质点P已经振动的时间为T/4.
【例10】如图是一列向右传播的简谐横波在t=0时刻(开始计时)的波形图,已知在t=1s时,B点第三次达到波峰(在1s内B点有三次达到波峰)。
则:
①周期为________②波速为______;
③D点起振的方向为_________;④在t=____s时刻,此波传到D点;在t=____s和t=___s时D点分别首次达到波峰和波谷;在t=____s和t=___s时D点分别第二次达到波峰和波谷。
解析:
①B点从t=0时刻开始在经过t=2.5T=1s第三次达到波峰,故周期T=0.4s.
②由v=λ/T=10m/s.
③D点的起振方向与介质中各质点的起振方向相同。
在图示时刻,C点恰好开始起振,由波动方向可知C点起振方向向下。
所以,D点起振方向也是向下。
④从图示状态开始计时:
此波传到D点需要的时间等于波从C点传播到D需要的时间,即:
t=(45-4)/10=4.1s;D点首次达到波峰的时间等于A质点的振动状态传到D点需要的时间,即:
t=(45-1)/10=4.4s;D点首次达到波谷的时间等于B质点的振动状态传到D点需要的时间,即:
t=(45-3)/10=4.2s;D点第二次达到波峰的时间等于D点首次达到波峰的时间再加上一个周期,即:
t=4.4s+0.4s=4.8s.D点第二次达到波谷的时间等于D点首次达到波峰的时间再加上一个周期,即:
t=4.2s+0.4s=4.6s.
【例11】已知在t1时刻简谐横波的波形如图中实线所示;在时刻t2该波的波形如图中虚线所示。
t2-t1=0.02s。
求:
(1)该波可能的传播速度。
(2)若已知T (3)若0.01s 解析: (1)如果这列简谐横波是向右传播的,在t2-t1内波形向右匀速传播了 ,所以波速 =100(3n+1)m/s(n=0,1,2,…);同理可得若该波是向左传播的,可能的波速v=100(3n+2)m/s(n=0,1,2,…) (2)P质点速度向上,说明波向左传播,T v=500m/s (3)“Q比R先回到平衡位置”,说明波只能是向右传播的,而0.01s v=400m/s 四.课堂练习 1.已知在单摆a完成10次全振动的时间内,单摆b完成6次全振动,两摆长之差为1.6m.则两单摆摆长la与lb分别为 A.la=2.5m,lb=0.9mB.la=0.9m,lb=2.5m C.la=2.4m,lb=4.0mD.la=4.0m,lb=2.4m 2.一个弹簧振子在AB间作简谐运动,O是平衡位置,以某时刻作为计时零点( )。 经过 周期,振子具有正方向的最大加速度。 那么以下几个振动图中哪一个正确地反映了振子的振动情况? () 3.如下图所示,一个小铁球,用长约10m的细线系牢,另一端固定在O点,小球在C处平衡,第一次把小球由C处向右侧移开约4cm,从静止释放至回到C点所用时间为 ;第二次把小球提到O点,由静止释放,到达C点所用的时间为 ,则() A. > B. = C. < D.无法判断 4.一个单摆作简谐运动,若使摆球质量变为原来的4倍,而通过平衡位置时的速度变为原来的 ,则() A.频率不变,振幅不变B.频率不变,振幅改变 C.频率改变,振幅不变D.频率改变,振幅改变 5.甲、乙两个单摆的振动图线如图所示。 根据振动图线可以断定() A.甲、乙两单摆摆长之比是4∶9B.甲、乙两单摆振动的频率之比是2∶3 C.甲摆的振动能量大于乙摆的振动能量D.乙摆的振动能量大于甲摆的振动能量 6.在一圆形轨道上运行的人造同步地球卫星中放一只用摆计时的挂钟,这个钟将要() A.变慢B.变快C.停摆不走D.快慢不变 7.(2004年全国理综卷)一列简谐横波沿x轴负方向传播,图1是t=1s时的波形图,图2是波中某振动质元位移随时间变化的振动图线(两图用同一时间起点),则图2可能是图1中哪个质元的振动图线? A.x=0处的质元B.x=1m处的质元 C.x=2m处的质元D.x=3m处的质元 8.图中是观察水面波衍射的实验装置,AC和BD是两块挡板,AB是一个孔,O为波源,图中已画出波源所在区域波的传播情况,每两条相邻波纹(图中曲线)之间距离表示一个波长,则波经过孔之后的传播情况,下列描述正确的是: A.此时能明显观察到波的衍射现象; B.挡板前后波纹间距离相等; C.如果将孔AB扩大,有可能观察不到明显的衍射现象; D.如果孔的大小不变,使波源频率增大,能更明显地观察到衍射现象。 9.(2002年广东、广西卷)一列在竖直方向振动的简谐横波,波长为λ,沿x轴正方向传播.某一时刻,在振动位移向上且大小等于振幅一半的各点中,任取相邻的两点P1、P2,已知P1的x坐标小于P2的x坐标. A.若 < ,则P1向下运动,P2向上运动 B.若 < ,则P1向上运动,P2向下运动 C.若 > ,则P1向上运动,P2向下运动 D.若 > ,则P1向下运动,P2向上运动 10.如图所示,一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点,相距14.0m,b点在a点的右方.当一列简谐横波沿此绳向右传播时,若a点的位移达到正极大时,b点的位移恰为零,且向下运动.经过1.00s后,a点的位移为零,且向下运动,而b点的位移恰达到负极大.则这简谐横波的波速可能等于 A.14m/sB.10m/sC.6m/sD.4.67m/s 11.简谐横波在某时刻的波形图线如图所示,由此图可知 A.若质点a向下运动,则波是从左向右传播的 B.若质点b向上运动,则波是从左向右传播的 C.若波从右向左传播,则质点c向下运动 D.若波从右向左传播,则质点d向上运动 12.如图所示,O是波源,a、b、c、d是波传播方向上各质点的平衡位置,且Oa=ab=bc=cd=3m,开始各质点均静止在平衡位置,t=0时波源O开始向上做简谐运动,振幅是0.1m,波沿Ox方向传播,波长是8m,当O点振动了一段时间后,经过的路程是0.5m,各质点运动的方向是 A.a质点向上B.b质点向上C.c质点向下D.d质点向下 13.如图在xy平面内有一沿x轴正方向传播的简谐横波,波速为1m/s,振幅为4cm,频率为2.5Hz.在t=0时刻,P点位于其平衡位置上方最大位移处,则距P为0.2m的Q点(见图) A.在0.1s时的位移是4cmB.在0.1s时的速
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