光顺过渡面的热传导方程大物DTP.docx
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光顺过渡面的热传导方程大物DTP
光顺过渡面的热传导方程——能量优化构造
摘要
首先运用热传导方程、初值条件和带有固定边界的边值条件,建立过渡面的偏微分模型。
再对方程空间的曲面簇,采用关于T的曲面能量表达式作为曲面光滑准则,建立起满足热传导方程的光顺过渡面的优化构造模型,即带有固定边界的光顺过渡面的热传导方程——能量优化构造模型。
此方程的解即为满足连续性和光顺性过渡面。
关键词:
光顺过渡面热传导微分方程
引言:
过渡曲面是指两个或多个曲面之间进行光滑过渡所生成的过渡区域曲面由于过渡曲面自己的特点及造型方法的特殊性,过渡曲面造型最易发生各种可制造性问题,它是复杂曲面可制造性造型的一个瓶颈.
本文使用偏微分方程中的热传导方程,在具有初值条件和带有固定边界的边值条件的情况下,得到过渡面的偏微分方程模型,再利用分离变量法或者数值方法得到模型的解然后,对方程像空间中的曲面簇计算采用关于时间云的曲面能量表达式,依此表达式作为光顺准则,计算求出能量表达式的极小值点,将极值点代入偏微分方程,就得到满足连续性和光顺性要求的过渡面方程.
过渡面的热传导方程构造法
在几何设计中,曲面常常表示为参数曲面,即向量函数X=X(u,v),参数u和v是平面区域几中的点,X是由
到三维空间
的映射X:
。
当参数u、v分别为常数时定义了曲面上的曲线坐标系。
曲面簇表示为X=X(u,v,t),t是族参数。
如果曲面族
X=X(u,v,t)满足偏微分方程
其中
表示以u,v为变量的m阶偏微分算子。
F表示以u,v为自变量的矢值函数,则X=X(u,v,t)称为此偏微分方程的积分曲面族,或者称为此偏微分方程的像空间
(2.1)
其中X(x,y,t),h(x,y,t),f(x,y)都是标量函数,t是时间变量。
为常数。
本文考虑联结两个曲面片的过渡曲面构造问题,即三维空间中已知有两张曲面
它们的右边界曲线和左边界曲线分别为:
要求使用热传导方程式(2.1),其中函数X(u,v,t),h(u,v,t),f(u,v,t),由标量函数推广为向量函数,t是时间变量,
为常数,在两已知曲面之间构造满足连续性和光顺性要求的过渡面
为达到过渡面与已知曲面连续的要求,则需要方程的积分曲面簇在一组相对的边界上,满足适当的边界插值条件,相应的热传导方程为
(2.2)
其中给定的初始曲面和边界曲线彼此要协调,即
为达到过渡面与已知曲面连续的要求,则除了方程中的边界插值条件外,还需要积分曲面簇在相对的边界上,其一阶跨界导矢满足边界插值条件,相应的热传导方程为:
(2.2)
其中给定的初始曲面、边界曲线及边界导向量的协调条件如下,即
如果以上(2.2)或(2.3)有解,
则满足连续性要求的曲面簇就是该方程的像空间.
满足光顺要求的过渡面模型
几何设计中还常常希望所构造的过渡面是光顺的
已知曲面
使用一种典型的曲面光顺准则是所谓的如下曲面能量最小化准则
是描述曲面能量的表达式,其中
是曲面
关于参数u,v的二阶偏导数。
假设(2.2)或(2.3)有解,
则该曲面簇的能量可以表示为时间t的函数
我们给出满足热传导方程的光顺过渡面构造的如下优化模型
应用举例:
已知一球心为(0,0,3)的圆:
初始面为:
求一曲面,将初始面过渡到圆的光顺面。
解答:
构造过渡面:
通过解以上构造的三个方程组,求得各个分量。
具体的解法是用分离变量法,
在根据初始条件,得到最后的解。
令
令
,可求得通解,
即,
再由初始条件可以求得:
解为:
同理可得其他的分量,故过渡面的方程为:
即:
所以,
当t=0.37时,
所以可求得,符合能量最低的光顺过渡面的解。
结论
本文首先使用偏微分方程中的热传导方程,在具有初值条件和带有固定边界的边值条件的情况下,得到过渡面的偏微分方程模型,再利用分离变量法或者数值方法得到模型的解次,对方程像空间中的曲面簇计算其曲面能量,得到曲面能量关于时间的表达式,依此表达式作为光顺准则,当能量表达式取值最小时,代表其曲面最光顺,计算求出在能量最小的时间艺的值最后,将极小值点代入到偏微分方程模型,就得到满足连续性和光顺性要求的过渡面的表达式数值实验也表明这种方法是可行的、有效的本文仅讨论矩形区域上的过渡曲面构造问题,即一对边界均为平面曲线情形,非平面曲线情形尚待进一步研究.
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【5】徐国良,潘青几何偏微分方程和离散曲面设计【计算机辅助设计与图形学学报】
【6】陈发来,陈长松,邓建松·用分片代数曲面构造管道曲面的过渡曲面计算机学报
【7】童伟华,陈发来,冯玉瑜·基于偏微分方程的隐式曲面光顺方法计算机学报
【8】王烈,叶正麟,石茂具有变动边界的过渡面的热传导方程构造法计算机工程与应用,已收录
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