相交线与平行线全章导学案.docx
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相交线与平行线全章导学案
课题:
5.1.1相交线
学习目标:
1、了解两条直线相交所构成的角,理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质。
2、理解对顶角性质的推导过程,并会用这个性质进行简单的计算。
3、通过辨别对顶角与邻补角,培养识图的能力。
学习重点:
邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质。
学习难点:
在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角。
学具准备:
剪刀、量角器
学习过程:
一、学前准备
1、预习疑难:
。
2、
填空:
①两个角的和是,这样的两个角叫做互为补角,即其中一个角是另一个角的补角。
②同角或的补角。
二、探索与思考
(一)邻补角、对顶角
1、观察思考:
剪刀剪开纸张的过程,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角度也相应。
我们把剪刀的构成抽象为两条直线,就是我们要研究的两条相交直线所成的角的问题。
2、探索活动:
①任意画两条相交直线,在形成的四个角(∠1,∠2,∠3,∠4)中,两两相配共能组成对角。
分别是。
②分别测量一下各个角的度数,是否发现规律?
你能否把他们分类?
完成教材中2页表格。
③再画两条相交直线比较。
图1
3、归纳:
邻补角、对顶角定义
邻补角。
两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点的两个角是
对顶角。
4、总结:
①两条直线相交所构成的四个角中,邻补角有对。
对顶角有对。
②对顶角形成的前提条件是两条直线相交。
5、对应练习:
①下列各图中,哪个图有对顶角?
BBBA
CDCDCD
AA
BBB(A)
CDCACD
AD
(二)邻补角、对顶角的性质
1、邻补角的性质:
邻补角。
注意:
邻补角是互补的一种特殊的情况,数量上,位置上有一条。
2、对顶角的性质:
完成推理过程
如图,∵∠1+∠2=,∠2+∠3=。
(邻补角定义)
∴∠1=180°-,∠3=180°-(等式性质)
∴∠1=∠3(等量代换)
或者∵∠1与∠2互补,∠3与∠2互补(邻补角定义),
∴∠l=∠3(同角的补角相等).
由上面推理可知,对顶角的性质:
对顶角。
三、应用
(一)例如图,已知直线a、b相交。
∠1=40°,求∠2、∠3、∠4的度数
解:
∠3=∠1=40°()。
∠2=180°-∠1=180°-40°=140°()。
∠4=∠2=140°()。
你还有别的思路吗?
试着写出来
(二)练一练:
教材3页练习(在书上完成)
四、自我检测:
(一)选择题:
1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有()毛
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图1所示,三条直线AB,CD,EF相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF等于()
A.150°B.180°C.210°D.120°
(1)
(2)(3)(4)(5)
3.下列说法正确的有()
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图2所示,直线AB和CD相交于点O,若∠AOD与∠BOC的和为236°,则∠AOC的度数为()A.62°B.118°C.72°D.59°
(二)填空题:
1.如图3所示,AB与CD相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角___.
2.如图3所示,若∠1=25°,则∠2=_______,∠3=______,∠4=_______.
3.如图4所示,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠AOD的对顶角是_____,∠AOC的邻补角是_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______.
4.如图5所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1-∠2=70,则∠BOD=_____,∠2=____.
5、已知∠1与∠2是对顶角,∠1与∠3互为补角,则∠2+∠3=。
课题:
5.1.2垂线
学习目标:
1.理解垂线、垂线段的概念,会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
2.掌握点到直线的距离的概念,并会度量点到直线的距离。
3.掌握垂线的性质,并会利用所学知识进行简单的推理。
学习重点:
垂线的定义及性质。
学习难点:
垂线的画法
学具准备:
相交线模型,三角尺,量角器
学习过程:
一、学前准备
1、预习疑难:
。
2、填空:
①如果∠α与∠β互为余角,∠α=37°,那么∠β=。
②已知∠1与∠2互为余角,∠1与∠3互为余角,那么∠2与∠3的关系是。
二、探索与思考
(一)垂线的定义
1、观察思考:
转动相交线模型,观察两条直线所成的夹角的变化。
当夹角变化
到°时,就是我们今天要研究的两条直线垂直。
2、定义:
两条直线相交所成的四个角中,有一个角是时,这两条直线就互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的,它们的交点叫做。
3、符号表示:
①如果直线AB、CD互相垂直,记作AB⊥CD,垂足为O。
②由两条直线垂直,可知四个角为直角。
记为∵AB⊥CD(已知)
∴∠AOD=90°(垂直定义)
由两条直线交角为直角,可知两条直线互相垂直。
记为∵∠AOD=90°(已知)
∴AB⊥CD(垂直定义)
4、总结:
①垂直是相交。
是相交的一种特殊情况。
②垂直是一种相互关系,即a⊥b,同时b⊥a
③当提到线段与线段,线段与射线,射线与射线,射线与直线的垂直情况时,是指它们所在的直线互相垂直。
5、生活中的垂直关系:
日常生活中,两条直线互相垂直很常见,你能举出几个例子吗?
(二)垂线的性质一
1、垂线的画法有两种:
利用或者。
2、探究:
完成教材4页探究问题。
3、垂线性质:
。
4、对应练习:
教材5页练习1、2(在书上完成)
(三)垂线的性质二
1、思考:
在灌溉时,要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短?
2、探究:
上面思考问题可以转化为数学问题:
“已知直线l和直线外一点P,连接点P到直线l上各点O,A1,A2,A3…,其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段)。
请你比较线段PO,PA1,PA2,PA3…的长短,哪一条最短?
结论:
。
简记为:
。
3、
A●B●
对应练习:
①修一条公路将村庄A、B与公路MN连接起来,怎样修
才能使所修的公路最短?
画出线路图,并说明理由。
②教材6页练习
(四)点到直线的距离:
1、定义:
直线外一点到这条直线的,叫做点到直线的距离。
2、注意:
定义中说的是“垂线段的长度”,而不是“垂线段”。
因为,距离是一个数量,而“垂线段”是指一个具体的几何图形。
3、对应练习:
如图,∠BCA=90°,CD⊥AB,垂足为D,则下列结论中正确的个数为()
①AC与BC互相垂直;②CD与BC互相垂直;③点B到AC的垂线段是线段AC;④点C到AB的距离是线段CD;⑤线段AC的长度是点A到BC的距离;⑥线段AC是点A到BC的距离。
A.2B.3C.4D.5
三、自我检测:
(一)选择题:
1.如图1所示,下列说法不正确的是()毛
A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段AC
C.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段
(1)
(2)
2.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有()
A.2条B.3条C.4条D.5条
3.下列说法正确的有()
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是()
A.大于acmB.小于bcmC.大于acm或小于bcmD.大于bcm且小于acm
5.到直线L的距离等于2cm的点有()
A.0个B.1个;C.无数个D.无法确定
6.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到 直线m的距离为()
A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm
(二)填空题:
1、如图4所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°.
2、如图5,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么点C到AB的距离是_______,点A到BC的距离是________,点B到CD的距离是_____,A、B两点的距离是_________.
(4)(5)(6)(7)(8)
3、如图6,在线段AB、AC、AD、AE、AF中AD最短.小明说垂线段最短,因此线段AD的长是点A到BF的距离,对小明的说法,你认为_________________.
4、如图7,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.
5、如图8,直线AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE与直线AB的位置关系是_________.
五、拓展延伸
1、已知,如图,∠AOD为钝角,OC⊥OA,OB⊥OD
求证:
∠AOB=∠COD
证明:
∵OC⊥OA,OB⊥OD()
∴∠AOB+∠1=,
∠COD+∠1=90°(垂直的定义)
∴∠AOB=∠COD()
变式训练:
如图OC⊥OA,OB⊥OD,O为垂足,若∠BOC=35°,则∠AOD=________.
2、已知:
如图,直线AB,射线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD与OE的位置关系.
3、课本中水渠该怎么挖?
在图上画出来.如果图中比例尺为1:
100000,水渠大约要挖多长?
4、如图,分别画出点A、B、C到BC、AC、AB的垂线段,再量出A到BC、点B到AC、点C到AB的距离.
5、如图,直线AB,CD相交于O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°,求∠BOE和∠AOC的度数。
课题:
5.1.3同位角、内错角、同旁内角
学习目标:
1、理解同位角、内错角、同旁内角的意义。
2、会熟练地识别图中的同位角、内错角、同旁内角。
3、培养学生分析、抽象、归纳能力,培养学生的识图能力
学习重点:
同位角、内错角、同旁内角的识别。
学习难点:
较复杂图形中同位角、内错角、同旁内角的识别。
学习过程:
一、学前准备
1、预习疑难:
。
2、直线AB、CD相交于O小于平角的角有几个?
有几对对顶角?
有几对邻补角?
二、探索与思考
如图,直线AB、CD与EF相交(或两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)构成个角。
我们来研究其中没有公共顶点的两个角的关系。
(一)同位角
1、定义:
如图1,∠1和∠5,分别在直线AB、CD的,
在直线EF的。
具有这种位置关系的一对角
叫做同位角。
2、请你找出图中还有哪几对角构成同位角。
3、两条直线被第三条直线所截构成的八个角中,共有对同位角。
(二)内错角
(1)
1、定义:
如图2,∠3和∠5,分别在直线AB、CD的,
在直线EF的。
具有这种位置关系的一对角
叫做内错角。
2、请你找出图中还有哪几对角构成内错角。
3、两条直线被第三条直线所截构成的八个角中,共有对内错角
(三)同旁内角
1、定义:
如图2,∠3和∠6,分别在直线AB、CD的,
在直线EF的。
具有这种位置关系的一对角
叫做同旁内角。
(2)
2、请你找出图中还有哪几对角构成同旁内角。
3、两条直线被第三条直线所截构成的八个角中,共有对同旁内角
(四)总结:
(1)以上三对角都有一边公共,是第三条直线(截线).
(2)识别“第三条直线(两个角一边所在的同一直线)”是关键.
三、应用
(一)例如图,直线DE、BC被直线AB所截,
(1)∠l与∠2,∠1与∠3,∠1与∠4各是什么关系的角?
(2)如果∠1=∠4,那么∠1和∠2相等吗?
∠1和∠3互补吗?
为什么?
(二)变式训练:
找出图中所有的同位角、内错角、同旁内角。
(三)归纳:
四、学习体会:
1、本节课你有哪些收获?
你还有哪些疑惑?
2、预习时的疑难解决了吗?
五、自我检测:
1说出下列各对角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的什么角?
(1)∠1与∠2,∠1与∠3,∠3与∠4,∠2与∠4
(2)∠5与∠8,∠5与∠7,∠6与∠7,∠6与∠8
(3)∠9与∠10,∠11与∠12,∠9与∠11,∠10与∠12,∠B与∠13
2、如图(3),直线、被所截,∠1与∠2是内错角,
直线、被所截,∠1与∠B是同位角;
直线、被所截,∠3和∠B是同位角。
3、如右图所示:
(1)∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6是直线、
被第三条直线所截而成的。
(2)∠2的同位角是,∠1的同位角是。
(3)∠3的内错角是,∠4的内错角是。
(4)∠6的同旁内角是,∠5的同旁内角是,
(5)∠4与∠A是同旁内角吗?
为什么?
课题:
5.2.1平行线
学习目标:
1.理解平行线的意义,了解同一平面内两条直线的两种位置关系;
2.理解并掌握平行公理及其推论的内容;
3.会根据几何语句画图,会用直尺和三角板画平行线;
4.了解在实践中总结出来的基本事实的作用和意义,并初步感受公理化思想。
学习重点:
探索和掌握平行公理及其推论.
学习难点:
对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质
学具准备:
分别将木条a、b与木条c钉在一起,做成学具,直尺,三角板
学习过程:
一、学前准备
1、预习疑难:
。
2
、①两条直线相交有个交点。
②平面内两条直线的位置关系除相交外,还有哪些呢?
二、探索与思考
(一)平行线
1、观察思考:
展示学具,在转动a的过程中,有没有直线a与直线b
不相交的位置呢?
2、定义及表示方法:
在同一平面内,是平行线。
直线a与b平行,记作。
3、对平行线概念的理解:
定义中强调“在同一平面内”,为什么要强调这句话。
在同一平面内,两条直线有几种位置关系?
在空间中,是否存在既不平行又不相交的两条直线?
(提示:
用长方体来说明)
4、总结:
同一平面内两条直线的位置关系有两种:
(1)
(2)。
请你举出一些生活中平行线的例子。
(二)画平行线
1、工具:
直尺、三角板
2、
方法:
一“落”;二“靠”;三“移”;四“画”。
3、请你根据此方法练习画平行线:
已知:
直线a,点B,点C.
(1)过点B画直线a的平行线,能画几条?
(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗?
(三)平行公理及推论
1、思考:
上图中,①过点B画直线a的平行线,能画条;
②过点C画直线a的平行线,能画条;
③你画的直线有什么位置关系?
。
2、平行公理
①公理内容:
。
②比较平行公理和垂线的第一条性质:
共同点:
都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的.
不同点:
平行公理中所过的“一点”要在已知直线外,两垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外.
3、推论:
。
①符号语言:
∵b∥a,c∥a(已知)
∴b∥c(如果两条直线都与第三条直线平行,
那么这两条直线也互相平行)
②探索:
如图,P是直线AB外一点,CD与EF相交于P.若CD与AB平行,则EF与AB平行吗?
为什么?
三、练一练:
教材13页练习(在书上完成)
四、学习体会:
1、本节课你有哪些收获?
你还有哪些疑惑?
2、预习时的疑难解决了吗?
五、自我检测:
(一)选择题:
1.下列命题:
(1)长方形的对边所在的直线平行;
(2)经过一点可作一条直线与已知直线平行;(3)在同一平面内,如果两条直线不平行,那么这两条直线相交;(4)经过一点可作一条直线与已知直线垂直.其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
2、下列推理正确的是()
A、因为a//d,b//c,所以c//dB、因为a//c,b//d,所以c//d
C、因为a//b,a//c,所以b//cD、因为a//b,d//c,所以a//c
3.在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为()
A.0个B.1个C.2个D.3个
4.下列说法正确的有()
①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种;
③若线段AB与CD没有交点,则AB∥CD;④若a∥b,b∥c,则a与c不相交.
A.1个B.2个C.3个D.4个
(二)填空题:
1.在同一平面内,两条直线的位置关系有_________.
2.在同一平面内,一条直线和两条平行线中的一条直线相交,那么这条直线与平行线中的
另一条必__________.
3.同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为________.
4.两条直线相交,交点的个数是________,两条直线平行,交点的个数是_____个.
5、在同一平面内,与已知直线L平行的直线有条,而经过L外一点,与已知直线L平行的直线有且只有条。
6、在同一平面内,直线L1与L2满足下列条件,写出其对应的位置关系:
(1)L1与L2没有公共点,则L1与L2;
(2)L1与L2有且只有一个公共点,则L1与L2;
(3)L1与L2有两个公共点,则L1与L2。
7、在同一平面内,一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角的大小关系是。
8、平面内有a、b、c三条直线,则它们的交点个数可能是个。
9、如图所示,∵AB∥CD(已知),经过点F可画EF∥AB
∴EF∥CD()
六、拓展延伸
1.根据下列要求画图.
(1)如图
(1)所示,过点A画MN∥BC;
(2)如图
(2)所示,过点P画PE∥OA,交OB于点E,过点P画PH∥OB,交OA于点H;
(3)如图(3)所示,过点C画CE∥DA,与AB交于点E,过点C画CF∥DB,与AB延长线交于点F.
(4)如图(4)所示,过点M,N分别画直线AB的平行线,判断所画的两条直线的位置关系.
(1)
(2)(3)(4)
2、如图所示,哪些线段是互相平行的?
并用“//”表示出来。
3、如图,长方体ABCD-EFGH,
(1)图中与棱AB平行的棱有哪些?
(2)图中与棱AD平行的棱有哪些?
(3)连接AC、EG,问AC、EG是否平行。
课题:
5.2.2平行线的判定
学习目标:
1、使学生掌握平行线的四种判定方法,并初步运用它们进行简单的推理论证。
2、初步学会简单的论证和推理,认识几何证明的必要性和证明过程的严密性。
学习重点:
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导
学习难点:
定理形成过程中的逻辑推理及其书面表达。
学具准备:
三角板
学习过程:
一、学前准备
1、预习疑难:
。
2、填空:
经过直线外一点,________与这条直线平行.
二、探索与思考
(一)平行线判定方法1:
1、观察思考:
过点P画直线CD∥AB的过程,三角尺起了什么作用?
图中,∠1和∠2什么关系?
2、判定方法1:
应用格式:
。
∵∠1=∠2(已知)
简单说成:
。
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
3、应用:
木工师傅使用角尺画平行线,有什么道理?
(二)平行线判定方法2、3:
1、
思考:
教材14页(试着写出推理过程)
判定方法2:
应用格式:
。
∵∠2=∠3(已知)
简单说成:
。
∴a∥b(内错角相等,两直线平行)
2、将上题中条件改变为∠2+∠4=180°,能得到a∥b吗?
(试着写出推理过程)
判定方法3:
应用格式:
。
∵∠2+∠4=180°(已知)
简单说成:
。
∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行)
(三)数学思想:
教材15页探究。
三、应用
(一)例教材15页
(二)练一练:
教材15页练习1、2、3
(三)总结直线平行的条件
(1)
(2)
方法1:
若a∥b,b∥c,则a∥c。
即两条直线都与第三条直线平行,这两条直线也互相平行。
方法2:
如图1,若∠1=∠3,则a∥c。
即。
方法3:
如图1,若。
方法4:
如图1,若。
方法5:
如图2,若a⊥b,a⊥c,则b∥c。
即在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
四、学习体会:
1、本节课你有哪些收获?
你还有哪些疑惑?
2、预习时的疑难解决了吗?
五、自我检测:
(一)选择题:
1.如图1所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是()毛
A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD
(1)
(2)(3)(4)
2.如图2所示,如果∠D=∠EFC,那么()
A.AD∥BCB.EF∥BCC.AB∥DCD.AD∥EF
3.下列说法错误的是()
A.同位角不一定相等B.内错角都相等
C.同旁内角可能相等D.同旁内角互补,两直线平行
4.(2000.江苏)如图5,直线a,b被直线c所截,现给出下列四个条件:
①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明
a∥b的条件序号为()(5)
A.①②B.①③C.①④D.③④
(二)填空题:
1.如图3,如果∠3=∠7,或______,那么______,理由是__________;
如果∠5=∠3,或________,那么________,理由是______________;
如果∠2+∠5=______或者_______,那么a∥b,理由是__________.
2.如图4,若∠2=∠6,则______∥_______,如果∠3+∠4+∠5+∠6=180°,那么____∥_______,如果∠9=_____,那么AD∥BC;如果∠9=_____,那么AB∥CD.
3.在同一平面内,若直线a,b,c满足a⊥b,a⊥c,则b与c的位置关系是______.
4.如图所示,BE是AB的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.
(1)由∠CBE=∠A可以判断______∥______,根据是_________.
(2)由∠CBE=∠C可以判断______∥______,根据是_________.
六、拓展延伸
1、如图,已知
,
,试问EF是否平行GH,并说明理由。
课题:
5.3.1平行线的性质
学习目标:
1.使学生理解平行线的性质,能初步运用平行线的性质进行有关计算.
2.通过本节课的教学,培养学生的概括能力和“观察-猜想-证明”的科学探索方法,培养学生的辩证思维能力和逻辑思维能力
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