中考数学复习《数学思想方法》.docx
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中考数学复习《数学思想方法》
数学思想方法
(整体思想、转化思想、分类讨论思想)
一、中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质,是沟通基础知识与能力的桥梁,是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,更是提高解题能力根本之所在.因此,在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法,培养用数学思想方法解决问题的意识.
二、解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓,是读书由厚到薄的升华,在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯,中考常用到的数学思想方法有:
整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等.在中考复习备考阶段,教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法,掌握了它的实质,就可以把所学的知识融会贯通,解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲
考点一:
整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部的联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的,按常规不容易求某一个(或多个)未知量时,可打破常规,根据题目的结构特征,把一组数或一个代数式看作一个整体,从而使问题得到解决。
例1若a-2b=3,则2a-4b-5=1
.
对应训练
1.已知实数a,b满足a+b=2,a-b=5,则(a+b)3•(a-b)3的值是1000
.
考点二:
转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题。
转化的内涵非常丰富,已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2如图,圆柱形容器中,高为1.2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3
m(容器厚度忽略不计).
对应训练
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,连结DE,则DE的最小值为4.8
.
考点三:
分类讨论思想
在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
分类的原则:
(1)分类中的每一部分是相互独立的;
(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.
例3某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案,印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要.两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的关系如图所示:
(1)填空:
甲种收费的函数关系式是y1=0.1x+6,
.
乙种收费的函数关系式是y2=0.12x,
.
(2)该校某年级每次需印制100~450(含100和450)份学案,选择哪种印刷方式较合算?
对应训练
3.某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召,准备用不超过105700元购进40台电脑,其中A型电脑每台进价2500元,B型电脑每台进价2800元,A型每台售价3000元,B型每台售价3200元,预计销售额不低于123200元.设A型电脑购进x台、商场的总利润为y(元).
(1)请你设计出进货方案;
(2)求出总利润y(元)与购进A型电脑x(台)的函数关系式,并利用关系式说明哪种方案的利润最大,最大利润是多少元?
(3)商场准备拿出
(2)中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台,另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶.在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案.
.
四、中考真题演练
一、选择题
1.若a+b=3,a-b=7,则ab=( )
A.-10B.-40C.10D.40
2.(2013•黄冈) 已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形,则其底面圆的面积为( )
A.πB.4πC.π或4πD.2π或4π
3.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有▱ADCE中,DE最小的值是( )
A.2B.3C.4D.5
4.CD是⊙O的一条弦,作直径AB,使AB⊥CD,垂足为E,若AB=10,CD=8,则BE的长是( )
A.8B.2C.2或8D.3或7
5.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为( )
A.2
cmB.4
cmC.2
cm或4
cmD.2cm或4
cm
6.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是( )
A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°
7.等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为( )
A.12B.15C.12或15D.18
8.如图,将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′,点B经过的路径为弧BB′,若∠BAC=60°,AC=1,则图中阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.π
二、填空题
9.若a2−b2=
,a−b=
,则a+b的值为.
10.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为5
.
11.已知⊙O1与⊙O2相切,两圆半径分别为3和5,则圆心距O1O2的值是8或2
.
12.如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3
,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线PQ的最小值为.
13.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是.
14.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为.
15.在平面直角坐标系中,已知点A(-
,0),B(
,0),点C在坐标轴上,且AC+BC=6,写出满足条件的所有点C的坐标(0,2),(0,-2),(-3,0),(3,0)
.
16.直角三角形两直角边长是3cm和4cm,以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是π
cm2.(结果保留π)
17.在平面直角坐标系中,O是原点,A是x轴上的点,将射线OA绕点O旋转,使点A与双曲线y=
上的点B重合,若点B的纵坐标是1,则点A的横坐标是2或-2
.
18.如图,三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积的和是(结果保留π).
19.如图,在平面直角坐标系中,直线l经过原点O,且与x轴正半轴的夹角为30°,点M在x轴上,⊙M半径为2,⊙M与直线l相交于A,B两点,若△ABM为等腰直角三角形,则点M的坐标为,0)
.
20.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为(2,4)或(3,4)或(8,4)
.
21.在平面直角坐标系中,已知点A(4,0)、B(-6,0),点C是y轴上的一个动点,当∠BCA=45°时,点C的坐标为(0,12)或(0,-12)
.
22.如图,⊙O的半径为4cm,直线l与⊙O相交于A、B两点,AB=4
cm,P为直线l上一动点,以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点.设PO=dcm,则d的范围是d>5cm或2cm≤d<3cm
.
23.一块矩形木板,它的右上角有一个圆洞,现设想将它改造成火锅餐桌桌面,要求木板大小不变,且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上.木工师傅想了一个巧妙的办法,他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据(单位:
cm),从点N沿折线NF-FM(NF∥BC,FM∥AB)切割,如图1所示.图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图(不重叠,无缝隙,不记损耗),则CN,AM的长分别是18cm、31cm
.
24.如图,已知直线y=x+4与两坐���轴分别交于A、B两点,⊙C的圆心坐标为 (2,O),半径为2,若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值和最大值分别是.
25.已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值=5
.
26.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,正三角形OEF绕点O旋转.在旋转过程中,当AE=BF时,∠AOE的大小是15°或165°
.
三、解答题
27.某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果,菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务.小张种植每亩蔬菜的工资y(元)与种植面积m(亩)之间的函数如图①所示,小李种植水果所得报酬z(元)与种植面积n(亩)之间函数关系如图②所示.
(1)如果种植蔬菜20亩,则小张种植每亩蔬菜的工资是140
元,小张应得的工资总额是2800
元,此时,小李种植水果10
亩,小李应得的报酬是1500
元;
(2)当10<n≤30时,求z与n之间的函数关系式;
(3)设农庄支付给小张和小李的总费用为w(元),当10<m≤30时,求w与m之间的函数关系式.
28.已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A,B(点A,B在原点O两侧),与y轴相交于点C,且点A,C在一次函数y2=
x+n的图象上,线段AB长为16,线段OC长为8,当y1随着x的增大而减小时,求自变量x的取值范围.
29.为了维护海洋权益,新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度.如图,一艘海监船位于灯塔P的南偏东45°方向,距离灯塔100海里的A处,沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.
(1)在这段时间内,海监船与灯塔P的最近距离是多少?
(结果用根号表示)
(2)在这段时间内,海监船航行了多少海里?
(参数数据:
≈1.414,
≈1.732,
2.449.结果精确到0.1海里)
30.如图,C岛位于我南海A港口北偏东60方向,距A港口60
海里处,我海监船从A港口出发,自西向东航行至B处时,接上级命令赶赴C岛执行任务,此时C岛在B处北偏西45°方向上,海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进,则从B处到达C岛需要多少小时?
31.如图①,AB是半圆O的直径,以OA为直径作半圆C,P是半圆C上的一个动点(P与点A,O不重合),AP的延长线交半圆O于点D,其中OA=4.
(1)判断线段AP与PD的大小关系,并说明理由;
(2)连接OD,当OD与半圆C相切时,求
的长;
(3)过点D作DE⊥AB,垂足为E(如图②),设AP=x,OE=y,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.
专题六数学思想方法
(二)
(方程思想、函数思想、数形结合思想)
一、中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质,是沟通基础知识与能力的桥梁,是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,更是提高解题能力根本之所在.因此,在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法,培养用数学思想方法解决问题的意识.
二、解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓,是读书由厚到薄的升华,在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯,中考常用到的数学思想方法有:
整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等.在中考复习备考阶段,教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法,掌握了它的实质,就可以把所学的知识融会贯通,解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲
考点四:
方程思想
从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系,转化为方程或方程组的数学模型,从而使问题得到解决的思维方法,这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例4如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC,CE.
(1)求证:
∠B=∠D;
(2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.
对应训练
4.2013年3月,某煤矿发生瓦斯爆炸,该地救援队立即赶赴现场进行救援,救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象.已知A、B两点相距4米,探测线与地面的夹角分别是30°和45°,试确定生命所在点C的深度.(精确到0.1米,参考数据:
≈1.41,
≈1.73)
考点五:
函数思想
函数思想是用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。
所谓函数思想的运用,就是对于一个实际问题或数学问题,构建一个相应的函数,从而更快更好地解决问题。
构造函数是函数思想的重要体现,运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。
例5某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区(方案定后,每天的运量不变).
(1)从运输开始,每天运输的货物吨数n(单位:
吨)与运输时间t(单位:
天)之间有怎样的函数关系式?
(2)因地震,到灾区的道路受阻,实际每天比原计划少运20%,则推迟1天完成任务,求原计划完成任务的天数.
对应训练
5.某地计划用120-180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程,工程需要运送的土石方总量为360万米3.
(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位:
天)与平均每天的工作量x(单位:
万米3)之间的函数关系式,并给出自变量x的取值范围;
(2)由于工程进度的需要,实际平均每天运送土石比原计划多5000米3,工期比原计划减少了24天,原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3?
考点六:
数形结合思想
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决。
例6如图,在直角坐标系中,O是原点,已知A(4,3),P是坐标轴上的一点,若以O,A,P三点组成的三角形为等腰三角形,则满足条件的点P共有6
个,写出其中一个点P的坐标是(5,0)
.
对应训练
6.如图,函数y1=
与y2=k2x的图象相交于点A(1,2)和点B,当y1<y2时,自变量x的取值范围是( )
A.x>1B.-1<x<0
C.-1<x<0或x>1D.x<-1或0<x<1
四、中考真题训练
一、选择题
1.下面四个几何体中,主视图是圆的几何体是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图所示的几何图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
3.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,当y>0时,x的取值范围是( )
A.x<0B.x>0C.x<2D.x>2
5.已知⊙O的半径是6,点O到直线l的距离为5,则直线l与⊙O的位置关系是( )
A.相离B.相切C.相交D.无法判断
6.(2013•鞍山)已知:
如图,OA,OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C在⊙O上,则∠ACB的度数为( )
A.45°B.35°C.25°D.20°
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0B.a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0
C.a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0D.a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0
8.如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进4m,测得仰角为60°,已知小敏同学身高(AB)为1.6m,则这棵树的高度为( )(结果精确到0.1m,
≈1.73).
A.3.5mB.3.6mC.4.3mD.5.1m
9.如图,⊙O1,⊙O2、相交于A、B两点,两圆半径分别为6cm和8cm,两圆的连心线O1O2的长为10cm,则弦AB的长为( )
A.4.8cmB.9.6cmC.5.6cmD.9.4cm
10.某地资源总量Q一定,该地人均资源享有量
与人口数n的函数关系图象是( )
A.
B.
C.
D.
11.如图,正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E(-1,2),若y1>y2>0,则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图如图所示,若M=a+b-c,N=4a-2b+c,P=2a-b.则M,N,P中,值小于0的数有( )
A.3个B.2个
C.1个D.0个
13.在▱ABCD中,下列结论一定正确的是( )
A.AC⊥BDB.∠A+∠B=180°C.AB=ADD.∠A≠∠C
14.如图,半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点,直径FG在AB上,若BG=
-1,则△ABC的周长为( )
A.4+2
B.6C.2+2
D.4
15.如图,在▱ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,若BG=4
,则△CEF的面积是( )
A.2
B.
C.3
D.4
16.小敏在作⊙O的内接正五边形时,先做了如下几个步骤:
(1)作⊙O的两条互相垂直的直径,再作OA的垂直平分线交OA于点M,如图1;
(2)以M为圆心,BM长为半径作圆弧,交CA于点D,连结BD,如图2.若⊙O的半径为1,则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是( )
A.BD2=
ODB.BD2=
ODC.BD2=
ODD.BD2=
OD
17.给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=
,
①如果
>a>a2,那么0<a<1;
②如果a2>a>
,那么a>1;
③如果
>a2>a,那么-1<a<0;
④如果a2>
>a时,那么a<-1.
则( )
A.正确的命题是①④B.错误的命题是②③④
C.正确的命题是①②D.错误的命题只有③
二、填空题
18.如图,点P(-3,2)处的一只蚂蚁沿水平方向向右爬行了5个单位长度后的坐标为(2,2)
.
19.如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM长为5
米.
20.如图,在平面直角坐标系中,将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后,得到线段AB′,则点B′的坐标为(4,2)
.
21.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),在坐标轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有8
个.
22.四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,且BC=CD=2,AB=3,把梯形ABCD分别绕直线AB,CD旋转一周,所得几何体的表面积分别为S1,S2,则|S1-S2|=4π
(平方单位)
22.4π
23.如图,边长为1的小正方形网格中,⊙O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.
24.如图,如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去
圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高是
3
cm.
25.如图,矩形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,连接DE和BF,分别取DE、BF的中点M、N,连接AM,CN,MN,若AB=2
,BC=2
,则图中阴影部分的面积为.
27.如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,AC=6,折叠该纸片,使点C落在AB边上的D点处,折痕BE与AC交于点E,若AD=BD,则折痕BE的长为4
.
三、解答题
28.如图所示,在△OAB中,点B的坐标是(0,4),点A的坐标是(3,1).
(1)画出△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1
(2)画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2,并求出点A旋转到A2所经过的路径长(结果保留π)
29.甲乙两车分别从A、B两地相向而行,甲车出发1小时后乙车出发,并以各自速度匀速行驶,两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶,如图所示是甲乙两车之间的距离S(千米)与甲车出发时间t(小时)之间的函数图象,其中D点表示甲车到达B地,停止行驶.
(1 )A、B两地的距离560
千米;乙车速度是100km/h
;a表示.
(2)乙出发多长时间后两车相距330千米?
30.在一条笔直的公路上有A、B两地,甲骑自行车从A地到B地;乙骑自行车从B地到A地,到达A地后立即按原路返回,如图是甲、乙两人离B地的距离y(km)与行驶时x(h)之间的函数图象,根据图象解答以下问题:
(1)写出A、B两地直接的距离;
(2)求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
(3)若两人之间保持的距离不超过3km时,能够用无线对讲机保持联系,请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围.
31.如图,在平面直角坐标系中,双曲线
和直线y=kx+b交于A,B两点,点A的坐标为(-3,2),BC⊥y轴于点C,且OC=6BC.
(1)求双曲线和直线的解析式;
(2)直接写出不等式
>kx+b的解集.
32.如图,函数y1=-x+4的图象与函数y2=
(x>0)的图象交于A(a,1)、B(1,b)两点.
(1)求函数y2的表达式;
(2)观察图象,比较当x>0时,y1与y2的大小.
33.小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高.小明说:
“这楼起码20层!
”小华却不以为然:
“20层?
我看没有,数数就知道了!
”小明说:
“有本事,你不用数也能明白!
”小华想了想说:
“没问题!
让我们来量一量吧!
”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点,测量数据如图,其中矩形CDEF表示楼体,AB=150米,CD=10米,∠A=30°,∠B=45°,(A、C、D、B四点在同一直线上)问:
(1)楼高多少米?
(2)若每层楼按3米计算,你支持小明还是小华的观点呢?
请说明理由.(参考数据:
≈1.73,
≈1.41,
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