届高考数学文大一轮复习检测11集合及其运算.docx
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届高考数学文大一轮复习检测11集合及其运算
知识点
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集合
1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
简单不等式的解法
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
命题及其关系、充分条件与必要条件
1.理解命题的概念.
2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
2.理解全称量词和存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
第1讲 集合及其运算
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A的所有元素都是集合B的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B,且∃x0∈B,x0∉A
AB或BA
相等
集合A,B的元素完全相同
A⊆B,B⊆A
A=B
空集
不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集
∀x,x∉∅,∅⊆A
∅
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
1.辨明三个易误点
(1)认清元素的属性.解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
(3)防范空集.在解决有关A∩B=∅,A⊆B等集合问题时,往往忽略空集的情况,一定要先考虑∅是否成立,以防漏解.
2.活用几组结论
(1)A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.
(2)A∩A=A,A∩∅=∅.
(3)A∪A=A,A∪∅=A.
(4)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
(5)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅.
(6)若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
1.
已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )
A.A⊆B B.C⊆B
C.D⊆CD.A⊆D
[答案]B
2.已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
C [解析]集合A表示的是圆心在原点的单位圆,集合B表示的是直线y=x,据此画出图象,可得图象有两个交点,即A∩B的元素个数为2.
3.
已知集合A={1,2},集合B满足A∪B={1,2},则满足条件的集合B的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
D [解析]因为A={1,2},B∪A={1,2},
所以B⊆A,故满足条件的集合B的个数为22=4个.
4.
已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁UB=________.
[解析]由题意得∁UB={2,5,8},所以A∩∁UB={2,3,5,6}∩{2,5,8}={2,5}.
[答案]{2,5}
5.
已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2 [解析]由已知可得集合A={x|1 又因为B={x|2 所以(∁RA)∪B={x|x≤1或x>2}. [答案]{x|x≤1或x>2} 集合的含义[学生用书P2] [典例引领] (1)已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)|x≥y,x∈A,y∈A}中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.6D.9 (2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________. (3)已知P={x|2 【解析】 (1)当x=0时,y=0;当x=1时,y=0或y=1;当x=2时,y=0,1,2. 故集合B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合B中有6个元素. (2)由题意得m+2=3或2m2+m=3, 则m=1或m=- , 当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意; 当m=- 时,m+2= , 而2m2+m=3,故m=- . (3)因为P中恰有3个元素, 所以P={3,4,5}, 故k的取值范围为5 【答案】 (1)C (2)- (3)(5,6] 与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性. [通关练习] 1.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( ) A.1B.3 C.5D.9 C [解析]因为A={0,1,2},所以B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.故集合B中有5个元素. 2.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( ) A. B. C.0D.0或 D [解析]当a=0时,显然成立;当a≠0时,Δ=(-3)2-8a=0,即a= . 3.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}= ,则b-a=______. [解析]因为{1,a+b,a}= ,a≠0,所以a+b=0,则 =-1,所以a=-1,b=1.所以b-a=2. [答案]2 集合的基本关系[学生用书P3] [典例引领] (1)(2017·郑州模拟)已知集合A={x|y= ,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( ) A.AB B.BA C.A⊆BD.B=A (2)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1B.2 C.3D.4 (3)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________. 【解析】 (1)由题意知A={x|y= ,x∈R}, 所以A={x|-1≤x≤1}. 所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1}, 所以BA,故选B. (2)由x2-3x+2=0得x=1或x=2, 所以A={1,2}. 由题意知B={1,2,3,4},所以满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (3)因为B⊆A, 所以①若B=∅, 则2m-1 ②若B≠∅,则 解得2≤m≤3. 由①、②可得,符合题意的实数m的取值范围为m≤3. 【答案】 (1)B (2)D (3)(-∞,3] 1.在本例(3)中,若A⊆B,如何求解? [解]若A⊆B, 则 即 所以m的取值范围为∅. 2.若将本例(3)中的集合A改为A={x|x<-2或x>5},如何求解? [解]因为B⊆A, 所以①当B=∅时, 即2m-1 ②当B≠∅时, 或 解得 或 即m>4. 综上可知,实数m的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞). [通关练习] 1.设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则( ) A.P⊆QB.Q⊆P C.∁RP⊆QD.Q⊆∁RP C [解析]因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},所以∁RP={y|y>1},所以∁RP⊆Q,选C. 2.已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A⊆B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________. [解析]由log2x≤2,得0 而B=(-∞,a),由于A⊆B,如图所示, 则a>4,即c=4. [答案]4 集合的基本运算(高频考点)[学生用书P4] 集合的基本运算是历年高考的热点,每年必考,常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题,主要以选择题的形式出现.试题多为低档题. 高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度: (1)求集合间的交、并、补运算; (2)已知集合的运算结果求集合; (3)已知集合的运算结果求参数的值(范围). [典例引领] (1)(2016·高考全国卷甲)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=( ) A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2} C.{1,2,3}D.{1,2} (2)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( ) A.5B.4 C.3D.2 (3)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁UP)∪Q=( ) A.{1}B.{3,5} C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5} 【解析】 (1)易知B={x|-3<x<3},又A={1,2,3},所以A∩B={1,2}. (2)集合A中元素满足x=3n+2,n∈N,即被3除余2,而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D. (3)因为U={1,2,3,4,5,6},P={1,3,5}, 所以∁UP={2,4,6}, 因为Q={1,2,4}, 所以(∁UP)∪Q={1,2,4,6}. 【答案】 (1)D (2)D (3)C 集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解; (2)连续型数集的运算,常借助数轴求解; (3)已知集合的运算结果求集合,常借助数轴或Venn图求解; (4)根据集合运算结果求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解. [题点通关] 角度一 求集合间的交、并、补运算 1.(2016·高考全国卷丙)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=( ) A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞) D [解析]集合S=(-∞,2]∪[3,+∞),结合数轴,可得S∩T=(0,2]∪[3,+∞). 角度二 已知集合的运算结果求集合 2.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合M={1,4},N={2,3},则集合{5,6}等于( ) A.M∪NB.M∩N C.(∁UM)∪(∁UN)D.(∁UM)∩(∁UN) D [解析]因为M∪N={1,2,3,4},排除A;M∩N=∅,排除B;(∁UM)∪(∁UN)=∁U(M∩N)={1,2,3,4,5,6},排除C;(∁UM)∩(∁UN)=∁U(M∪N)={5,6},D正确,故选D. 角度三 已知集合的运算结果求参数的值(范围) 3.设全集S={1,2,3,4},且A={x∈S|x2-5x+m=0},若∁SA={2,3},则m=________. [解析]因为S={1,2,3,4},∁SA={2,3},所以A={1,4},即1,4是方程x2-5x+m=0的两根,由根与系数的关系可得m=1×4=4. [答案]4 [学生用书P4]) ——集合中的创新问题 与集合有关的创新题是近几年高考命题的一个新趋势,试题通过给出新的数学概念或新的运算法则,在新的情境下完成关于集合的相关问题,考查学生的知识迁移能力.题型多为选择题或填空题,属于能力题. (1)对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么k是A的一个“孤立元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个. (2)设数集M={x|m≤x≤m+ },N={x|n- ≤x≤n},且M,N都是集合U={x|0≤x≤1}的子集,定义b-a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”,则集合M∩N的长度的最小值为________. 【解析】 (1)依题意可知,“孤立元”必须是没有与k相邻的元素,因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素.因此,符合题意的集合是{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共6个. (2)在数轴上表示出集合M与N, 可知当m=0且n=1或n- =0且m+ =1时,M∩N的“长度”最小. 当m=0且n=1时,M∩N={x| ≤x≤ }, 长度为 - = ; 当n= 且m= 时,M∩N={x| ≤x≤ }, 长度为 - = . 综上,M∩N的长度的最小值为 . 【答案】 (1)6 (2) 解决集合创新型问题的方法 (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在. (2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质. 1.设U={1,2,3},M,N是U的子集,若M∩N={1,3},则称(M,N)为一个“理想配集”,则符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M,N)与(N,M)不同)为________. [解析]符合条件的理想配集有①M={1,3},N={1,3};②M={1,3},N={1,2,3};③M={1,2,3},N={1,3}.共3个. [答案]3 2.如果集合A满足若x∈A,则-x∈A,那么就称集合A为“对称集合”.已知集合A={2x,0,x2+x},且A是对称集合,集合B是自然数集,则A∩B=________. [解析]由题意可知-2x=x2+x,所以x=0或x=-3.而当x=0时不符合元素的互异性,所以舍去.当x=-3时,A={-6,0,6},所以A∩B={0,6}. [答案]{0,6} [学生用书P235(独立成册)]) 1.设集合P={x|x2- x≤0},m=30.5,则下列关系正确的是( ) A.mP B.m∈P C.m∉PD.m⊆P C [解析]易知P={x|0≤x≤ },而m=30.5= > ,所以m∉P,故选C. 2.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( ) A.{-1,0}B.{0,1} C.{-1,0,1}D.{0,1,2} A [解析]由题意知B={x|-2 3.已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a=( ) A.1B.0 C.-2D.-3 C [解析]因为A⊆B,所以a+3=1,解得a=-2.故选C. 4.已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( ) A.[-2,-1]B.[-1,2) C.[-1,1]D.[1,2) A [解析]由不等式x2-2x-3≥0解得x≥3或x≤-1,因此集合A={x|x≤-1或x≥3},又集合B={x|-2≤x<2},所以A∩B={x|-2≤x≤-1},故选A. 5.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( ) A.{x|x≥0}B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1}D.{x|0 D [解析]因为A∪B={x|x≤0}∪{x|x≥1}={x|x≤0或x≥1}, 所以∁U(A∪B)={x|0 6.已知全集为整数集Z.若集合A={x|y= ,x∈Z},B={x|x2+2x>0,x∈Z},则A∩(∁ZB)=( ) A.{-2}B.{-1} C.[-2,0]D.{-2,-1,0} D [解析]由题可知,集合A={x|x≤1,x∈Z},B={x|x>0或x<-2,x∈Z},故A∩(∁ZB)={-2,-1,0},故选D. 7.设集合A= ,B={b,a+b,-1},若A∩B={2,-1},则A∪B=( ) A.{2,3}B.{-1,2,5} C.{2,3,5}D.{-1,2,3,5} D [解析]由A∩B={2,-1},可得 或 当 时, 此时B={2,3,-1},所以A∪B={-1,2,3,5};当 时, 此时不符合题意,舍去. 8.设全集U=R,A={x|0 A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2} C.{x|0 B [解析]法一: 题图中阴影部分表示集合(∁UB)∩A,所以(∁UB)∩A={x|x≥1}∩{x|0 法二: 图中空白表示集合B∪∁UA={x|x<1}∪{x|x≤0或x≥2}={x|x<1或x≥2},所以图中阴影部分表示的集合为{x|1≤x<2}. 9.(2017·贵州省七校第一次联考)已知集合A={0,1,2,3,4},B={x|x= ,n∈A},则A∩B的真子集个数为( ) A.5B.6 C.7D.8 C [解析]由题意,得B={0,1, , ,2},所以A∩B={0,1,2},所以A∩B的真子集个数为23-1=7,故选C. 10.已知全集U={x∈Z|0 A.M∩(∁UN)B.∁U(M∩N) C.∁U(M∪N)D.(∁UM)∩N C [解析]由已知得U={1,2,3,4,5,6,7},N={2,6},M∩(∁UN)={2,3,5}∩{1,3,4,5,7}={3,5},M∩N={2},∁U(M∩N)={1,3,4,5,6,7},M∪N={2,3,5,6},∁U(M∪N)={1,4,7},(∁UM)∩N={1,4,6,7}∩{2,6}={6},选C. 11.设集合A={x|y=lg(-x2+x+2)},B={x|x-a>0},若A⊆B,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-1)B.(-∞,-1] C.(-∞,-2)D.(-∞,-2] B [解析]因为集合A={x|y=lg(-x2+x+2)}={x|-1 12.(2017·沈阳模拟)已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0},B={1,3},定义集合A,B之间的运算“*”: A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中的所有元素数字之和为( ) A.15B.16 C.20D.21 D [解析]由x2-2x-3≤0,得(x+1)(x-3)≤0,得A={0,1,2,3}.因为A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},所以A*B中的元素有: 0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,所以A*B={1,2,3,4,5,6},所以A*B中的所有元素数字之和为21. 13.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________. [解析]因为1∉{x|x2-2x+a>0},所以1∈{x|x2-2x+a≤0},即1-2+a≤0,所以a≤1. [答案](-∞,1] 14.设集合I={x|-3 [解析]因为集合I={x|-3 [答案]{1} 15.设集合P={a2,log2a},Q={2a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=________. [解析]因为P∩Q={0},所以0∈P,只能log2a=0,所以a=1,a2=1,又0∈Q,因为2a=21=2≠0,所以b=0,所以,P={0,1},Q={2,0},所以P∪Q={0,1,2}. [答案]{0,1,2} 16.已知A={x|x2-3x+2<0},B={x|1<x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是________. [解析]因为A={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2}⊆B,所以a≥2. [答案][2,+∞) 17.设[x]表示不大于x的最大整数,集合A={x|x2-2[x]=3},B= ,则A∩B=________. [解析]由集合A中的等式x2-2[x]=3变形得x2=2[x]+3,由题意可知x2为整数,而x2-2x-3=0的解为x=-1或x=3,则[-1]=-1,[3]=3,所以x2=2[x]+3=-2+3=1或x2=2×3+3=9,解得x=±1或x=±3,经检验x=1,x=-3不合题意舍去,所以x=-1或x=3,所以A={-1,3}, 由B中不等式变形得2-3<2x<
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