平行与垂直教学课件.docx
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平行与垂直教学课件.docx
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平行与垂直教学课件
平行与垂直-教学课件
1.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,试在DD1确定一点P,使得直线BD1∥平面PAC,并证明你的结论.2.如图,三棱柱111ABCABC中,侧棱于底面垂直,90ABC=,12ABBCBB===,M,N分别是AB,1AC的中点.
(1)求证:
MN∥平面11BCCB;
(2)求证:
MN平面11ABC.3.如图,在三棱柱111CBAABC中,1AA底面ABC,且ABC为等边三角形,61==ABAA,D为AC的中点.
(1)求证:
直线//1AB平面DBC1;
(2)求三棱锥DBCC1的体积.4.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E,F,G分别为线段BC,PB,AD的中点.
(1)证明EF∥平面PAC.
(2)证明平面PCG∥平面AEF.(3)在线段BD上找一点H,使得FH∥平面PCG,并说明理由.NFECBAPGD5.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,M,N分别为A1B,B1C1的中点(Ⅰ)求证:
MN∥平面A1ACC1(Ⅱ)已知A1A=AB=2,BC=,CAB=90,求三棱锥C1﹣ABA1的体积.6.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱与底面垂直,BAC=90,AB=AA1,点M,N分别为A1B和B1C1的中点.
(1)证明:
A1M平面MAC;
(2)证明:
MN∥平面A1ACC1.7.如图所示,从左到右依次为:
一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,该多面体的正视图,该多面体的侧视图(单位:
cm)
(1)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
(2)在所给直观图中连结BC,证明:
BC∥平面EFG.8.在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,PA面ABCD,PA=,E,F分别为BC,PA的中点.
(1)求证:
BF∥面PDE
(2)求点C到面PDE的距离.9.如图,平面四边形ABCD与BDEF均为菱形,DAB=DBF=60,且FA=FC.
(1)求证:
AC平面BDEF;
(2)求证:
FC∥平面EAD.10.已知平行四边形ABCD(如图1),AB=4,AD=2,DAB=60,E为AB的中点,把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置,使得A1C=4,F是线段A1C的中点(如图2).
(1)求证:
BF∥面A1DE;
(2)求证:
面A1DE面DEBC;(3)求二面角A1﹣DC﹣E的正切值.11.已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示,E是侧棱PC上的动点.(Ⅰ)求四棱锥P﹣ABCD的体积.(Ⅱ)若点E为PC的中点,ACBD=O,求证:
EO∥平面PAD;(Ⅲ)是否不论点E在何位置,都有BDAE?
证明你的结论.12.如图,已知PB矩形ABCD所在的平面,E,F分别是BC,PD的中点,PAB=45,AB=1,BC=2.
(1)求证:
EF∥平面PAB;
(2)求证:
平面PED平面PAD;(3)求三棱锥E﹣PAD的体积.13.直三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示.
(1)求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积;
(2)若点D为棱AB的中点,求证:
AC1∥平面CDB1.14.如图所示,在直角梯形ABCD中,∥ABCD,BCD=90,BC=CD=2,AF=BF,∥ECFD,FD底面ABCD,M是AB的中点.
(1)求证:
平面CFM平面BDF;
(2)点N在CE上,EC=2,FD=3,当CN为何值时,∥MN平面BEF.15.如图,在三棱椎P﹣ABC中,D,E,F分别是棱PC、AC、AB的中点,且PA面ABC.
(1)求证:
PA∥面DEF;
(2)求证:
面BDE面ABC.16.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,D1D=DC=4,AD=2,E为D1C的中点.
(1)求三棱锥D1﹣ADE的体积.
(2)AC边上是否存在一点M,使得D1A∥平面MDE?
若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.17.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB=AC,E,F,H分别是A1C1,BC,AC的中点.
(1)求证:
平面C1HF∥平面ABE.
(2)求证:
平面AEF平面B1BCC1.18.如图:
已知四棱锥P﹣ABCD中,PD平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中点,求证:
(1)PC∥平面EBD.
(2)平面PBC平面PCD.19.(12分)已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD为正方形,侧面PAD为直角三角形,且PA=PD,面PAD面ABCD,E、F分别为AB、PD的中点.(Ⅰ)求证:
∥EF面PBC;(Ⅱ)求证:
AP面PCD.20.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(1)证明BC1∥平面A1CD
(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三菱锥C﹣A1DE的体积.21.如图,已知AF平面ABCD,四边形ABEF为矩形,四边形ABCD为直角梯形,DAB=90,AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4.
(1)求证:
AF∥平面BCE;
(2)求证:
AC平面BCE;(3)求三棱锥E﹣BCF的体积.试卷答案1.取1DD中点P,则点P为所求.证明:
连接AC,BD,设AC,BD交于点O.则O为BD中点,连接PO,又P为1DD中点,所以1POBD?
.因为POPAC面,BDPAC面,所以1BD面PAC?
.10分2.
(1)证明:
依题意,11190ABC=,111BBBC,以1B为原点,分别以11AB,11BC,1BB的方向为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系1Bxyz.则由已知,1(000)B,,,1(200)A,,,(022)C,,,(102)M,,,(111)N,,,(002B,,),1(020)C,,,11=(020)BC,,,1(002)BB=,,,(011)MN=,,,11(200)BA=,,,易知1110010
(1)0BAMN=++=,MN∥平面11BCCB.
(2)证明:
连接1BC,由
(1)得,1(022)BC=,,,11(200)AB=,,,(011)NM=,,,设平面11ABC的一个法向量为()nxyz=,,则10nBC=,110nAB=由0yzx==取1z=,得1y=,平面11ABC的一个法向量为(011)n=,,此时,nMN=故MN平面11ABC.3.
(1).证明:
如图所示,连接交于,连接,因为四边形是平行四边形,所以点为的中点,又因为为的中点的中点,所以为的中位线,所以,又平面,平面,所以平面.2.证明:
因为是等边三角形,为的中点,所以,,4.
(1)证明见解析.
(2)证明见解析.(3)所找的H点为AE与BD的交点.
(1)证明:
∵E、F分别是BC,BP中点,12EFPC∥,∵PC平面PAC,EF平面PAC,EF∥平面PAC.
(2)证明:
∵E、G分别是BC、AD中点,AECG∥,∵AE平面PCG,CG平面PCG,AE∥平面PCG,又∵EFPC∥,PC平面PCG,EF平面PCG,EF∥平面PCG,AEEFE=点,AE,EF平面AEF,平面AEF∥平面PEG.(3)设AE,GC与BD分别交于M,N两点,易知F,N分别是BP,BM中点,12FNPM∥,∵PM平面PGC,FN平面PGC,FN∥平面PGC,即N点为所找的H点.5.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.【分析】(Ⅰ)设K是B1C的中点,分别在△AB1C,△B1C1C中利用三角形中位线定理可得MK∥AC,KN∥CC1,再由线面平行的判定可得MN∥平面A1ACC1;(Ⅱ)由已知求得△ABC的面积,然后利用求得答案.【解答】(Ⅰ)证明:
设K是B1C的中点,分别在△AB1C,△B1C1C中利用三角形中位线定理可得:
MK∥AC,KN∥CC1,又MKNK=K,平面MNK∥平面AA1C1C,又MN平面MNK,MN∥平面A1ACC1;(Ⅱ)解:
∵CAB=90,AB=2,BC=,AC=,则S△ABC=1,∵ABC﹣A1B1C1是直棱柱,高为AA1=2,棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为..6.【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.【分析】
(1)证明A1MMA,AMAC,故可得A1M平面MAC;
(2)连结AB1,AC1,由中位线定理得出MN∥AC1,故而MN∥平面A1ACC1.【解答】证明:
(1)由题设知,∵A1A面ABC,AC面ABC,ACA1A,又∵BAC=90,ACAB,∵AA1平面AA1BB1,AB平面AA1BB1,AA1AB=A,AC平面AA1BB1,A1M平面AA1BB1A1MAC.又∵四边形AA1BB1为正方形,M为A1B的中点,A1MMA,∵ACMA=A,AC平面MAC,MA平面MAC,A1M平面MAC
(2)连接AB1,AC1,由题意知,点M,N分别为AB1和B1C1的中点,MN∥AC1.又MN平面A1ACC1,AC1平面A1ACC1,MN∥平面A1ACC1.7.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.【分析】
(1)所求多面体体积V=V长方体﹣V正三棱锥
(2)证明EG∥BC即可.【解答】解析:
(1)所求多面体体积V=V长方体﹣V正三棱锥=446﹣=
(2)证明:
在长方体ABCD﹣ABCD中,连结AD,则AD∥BC.因为E,G分别为AA,AD中点,所以AD∥EG,从而EG∥BC.又BC平面EFG,所以BC∥面EFG.8.【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定.【分析】
(1)取PD中点G,连结GF,由已知得四边形BEGF是平行四边形,从而BF∥EG,由此能证明BF∥面PDE.
(2)以A为原点,AD为x轴,在平面ABCD中过A作AD的垂线为y轴,以AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点C到面PDE的距离.【解答】
(1)证明:
取PD中点G,连结GF,∵E,F分别为BC,PA的中点,底面ABCD是边长为2的菱形,GF平行且等于BE,四边形BEGF是平行四边形,BF∥EG,∵BF平面PDE,EG平面PDE,BF∥面PDE.
(2)解:
以A为原点,AD为x轴,在平面ABCD中过A作AD的垂线为y轴,以AP为z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,),D(2,0,0),E(2,,0),C(3,,0),=(2,0,﹣),=(2,,﹣),=(3,,﹣),设平面PDE的法向量=(x,y,z),则,取z=2,得=(),点C到面PDE的距离:
d==.9.【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.【分析】
(1)设AC与BD相交于点O,连接FO,推导出ACBD,ACFO,由此能证明AC平面BDEF.
(2)推导出BC∥平面EAD,BF∥平面EAD,从而平面BFC∥平面EAD,由此能证明FC∥平面EAD.【解答】证明:
(1)设AC与BD相交于点O,连接FO,因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD,又O为AC中点,且FA=FC,所以ACFO,因为FOBD=O,所以AC平面BDEF.
(2)因为四边形ABCD与BDEF均为菱形,所以BC∥AD,所以BC∥平面EAD,又BF∥DE,所以BF∥平面EAD,所以平面BFC∥平面EAD,又FC平面BFC,所以FC∥平面EAD.10.【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.【分析】
(1)取A1D中点G,并连接FG,EG,能够说明四边形BFGE为平行四边形,从而根据线面平行的判定定理即可得出BF∥面A1DE;
(2)先根据已知的边、角值说明△A1DE为等边三角形,然后取DE中点H,连接CH,从而得到A1HDE,根据已知的边角值求出A1H,CH,得出,从而得到A1HCH,从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面A1DE面DEBC;(3)过H作HODC,垂足为O,并连接A1O,容易说明DC面A1HO,从而得出A1OH为二面角A1﹣DC﹣E的平面角,能够求出HO,从而求出tanA1OH,即求出了二面角A1﹣DC﹣E的正切值.【解答】解:
(1)证明:
如图,取DA1的中点G,连FG,GE;F为A1C中点;GF∥DC,且;四边形BFGE是平行四边形;BF∥EG,EG平面A1DE,BF平面A1DE;BF∥平面A1DE;
(2)证明:
如图,取DE的中点H,连接A1H,CH;AB=4,AD=2,DAB=60,E为AB的中点;△DAE为等边三角形,即折叠后△DA1E也为等边三角形;A1HDE,且;在△DHC中,DH=1,DC=4,HDC=60;根据余弦定理,可得:
HC2=1+16﹣4=13,在△A1HC中,,,A1C=4;,即A1HHC,DEHC=H;A1H面DEBC;又A1H面A1DE;面A1DE面DEBC;(3)如上图,过H作HODC于O,连接A1O;A1H面DEBC;A1HDC,A1HHO=H;DC面A1HO;DCA1O,DCHO;A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角;在Rt△A1HO中,,;故tan;所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2.11.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.【分析】(Ⅰ)四棱锥的底面是一个边长是1的正方形,一条侧棱与底面垂直,由这条侧棱长是2知四棱锥的高是2,求四棱锥的体积只要知道底面大小和高,就可以得到结果.(Ⅱ)利用三角形中位线的性质证明OE∥PA,由线面平行的判定定理可证EO∥平面PAD;(Ⅲ)不论点E在何位置,都有BDAE,证明BD平面PAC即可.【解答】(Ⅰ)解:
由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC底面ABCD,且PC=2.VP﹣ABCD=S▱ABCDPC=.(Ⅱ)证明:
∵E、O分别为PC、BD中点EO∥PA,又EO平面PAD,PA平面PAD.EO∥平面PAD.(Ⅲ)不论点E在何位置,都有BDAE,证明如下:
∵ABCD是正方形,BDAC,∵PC底面ABCD且BD平面ABCD,BDPC,又∵ACPC=C,BD平面PAC,∵不论点E在何位置,都有AE平面PAC,不论点E在何位置,都有BDAE.12.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.【分析】
(1)取PA的中点N,连接NB,NF,推导出NFEB是平行四边形,从而EF∥BN,由此能证明EF∥平面PAB.
(2)推导出PBAD,PBAB,从而AD平面PAB,进而ADBN,再求出BNPA,从而EF平面PAD,由此能证明平面PED平面PAD.(3)由VE﹣PAD=VP﹣EAD,能求出三棱锥E﹣PAD的体积.【解答】(本小题满分12分)证明:
(1)取PA的中点N,连接NB,NF,又F是PD的中点,NF∥AD,NF=.在矩形ABCD中,E是BC的中点,BE∥AD,BE=.NF∥BE且NF=BE,得NFEB是平行四边形,EF∥BN.∵BN平面PAB,EF平面PAB,EF∥平面PAB
(2)依题意PB平面ABCD,AD,AB平面ABCD,PBAD,PBAB.又ADAB,ABPB=B,AD平面PAB,∵BN平面PAB,ADBN,在Rt△PAB中,PAB=45,N是PA的中点,BNPA,又ADPA=A,BN平面PAD,由
(1)EF∥BN,EF平面PAD,∵EF平面PED,平面PED平面PAD解:
(3)由
(2)知等腰Rt△PAB中,PB=AB=1,且PB是三棱锥P﹣EAD的高.又S△EAD=,三棱锥E﹣PAD的体积VE﹣PAD=VP﹣EAD=S△EADPB=13.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.【分析】
(1)由直三棱柱的三视图求出S△ABC,高BB1,由此能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.
(2)连结B1C,BC1,交于点O,连结OD,则OD∥AC1,由此能证明AC1∥平面CDB1.【解答】解:
(1)由直三棱柱的三视图得:
,高BB1=4,三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABCBB1=34=12.证明:
(2)连结B1C,BC1,交于点O,连结OD,∵点D为棱AB的中点,OD∥AC1,∵OD平面CDB1,AC1平面CDB1.AC1∥平面CDB1.14.【考点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.【分析】
(1)推导出四边形BCDM是正方形,从而BDCM,又DFCM,由此能证明CM平面BDF.
(2)过N作∥NOEF,交EF于O,连结MO,则四边形EFON是平行四边形,连结OE,则四边形BMON是平行四边形,由此能推导出N是CE的中点时,∥MN平面BEF.【解答】证明:
(1)∵FD底面ABCD,FDAD,FDBD∵AF=BF,△≌△ADFBDF,AD=BD,连接DM,则DMAB,∵∥ABCD,BCD=90,四边形BCDM是正方形,BDCM,∵DFCM,CM平面BDF.解:
(2)当CN=1,即N是CE的中点时,∥MN平面BEF.证明如下:
过N作∥NOEF,交ED于O,连结MO,∵∥ECFD,四边形EFON是平行四边形,∵EC=2,FD=3,OF=1,OD=2,连结OE,则∥∥OEDCMB,且OE=DC=MB,四边形BMOE是平行四边形,则∥OMBE,又OMON=O,平面∥OMN平面BEF,∵MN平面OMN,∥MN平面BEF.15.【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.【分析】
(1)由线面平行的判定定理可知,只须证PA与平面DEF内的某一条直线平行即可,由已知及图形可知应选择DE,由三角形的中位线的性质易知:
DE∥PA,从而问题得证;
(2)由面面垂直的判定定理可知,只须证两平中的某一直线与另一个平面垂直即可,注意题中已知了线段的长度,那就要注意利用勾股定理的逆定理来证明直线与直线的垂直;通过观察可知:
应选择证DE垂直平面ABC较好,由
(1)可知:
DEAC,再就只须证DEEF即可;这样就能得到DE平面ABC,又DE平面BDE,从面而有平面BDE平面ABC.【解答】证明:
(1)因为D,E分别为PC,AC的中点,所以DE∥PA.又因为PA平面DEF,DE平面DEF,所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D,E,F分别人棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=PA=3,EF=BC=4.又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以DEF=90.,即DEEF.又PAAC,DE∥PA,所以DEAC.因为ACEF=E,AC平面ABC,EF平面ABC,所以DE平面ABC.又DE平面BDE,所以平面BDE平面ABC.【点评】本题考查线面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.16.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.【分析】
(1)根据公式V=V=SAD计算体积;
(2)取AC中点M,连接EM,DM,则可证明D1A∥平面MDE,从而得出AC的中点为所点.【解答】解:
(1)∵AD平面D1CD,AD是三棱锥A﹣D1
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