1、平行与垂直教学课件 平行与垂直-教学课件 1.如图，长方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，试在 DD 1 确定一点 P，使得直线 BD 1 平面 PAC，并证明你的结论. 2.如图，三棱柱1 1 1ABC ABC 中，侧棱于底面垂直， 90 ABC = ，12 AB BC BB = = = ，M ， N 分别是 AB ，1AC 的中点. （1）求证： MN 平面1 1BCC B ； （2）求证： MN 平面1 1ABC . 3. 如图，在三棱柱1 1 1C B A ABC 中， 1AA 底面 ABC ，且 ABC 为等边三角形，61= = AB AA ， D 为 AC 的中点 .
2、 （ 1 ）求证： 直线 /1AB 平面 D BC 1 ； （ 2 ）求三棱锥 D BC C1 的体积 . 4. 如图，四边形 ABCD是平行四边形，点 E ， F ， G 分别为线段 BC ， PB， AD 的中点 （ 1 ）证明 EF 平面 PAC （ 2 ）证明平面 PCG 平面 AEF （ 3 ）在线段 BD上找一点 H ，使得 FH 平面 PCG ，并说明理由 NFECBAPGD 5. 如图，直三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中，M，N 分别为 A 1 B，B 1 C 1 的中点 （）求证： MN平面 A 1 ACC 1 （）已知 A 1 A=AB=2，BC= ，CAB=90，
3、求三棱锥 C 1 ABA 1 的体积 6. 在三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中，侧棱与底面垂直，BAC=90，AB=AA 1 ，点 M，N 分别为 A 1 B 和B 1 C 1 的中点 （1）证明： A 1 M平面 MAC； （2）证明： MN平面 A 1 ACC 1 7. 如图所示，从左到右依次为： 一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，该多面体的正视图，该多面体的侧视图（单位： cm） （1）按照给出的尺寸，求该多面体的体积； （2）在所给直观图中连结 BC，证明： BC平面 EFG 8. 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD=60，PA面 AB
4、CD，PA= ，E，F 分别为 BC，PA 的中点 （1）求证： BF面 PDE （2）求点 C 到面 PDE 的距离 9. 如图，平面四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形，DAB=DBF=60，且 FA=FC （1）求证： AC平面 BDEF； （2）求证： FC平面 EAD 10. 已知平行四边形 ABCD（如图 1），AB=4，AD=2，DAB=60，E 为 AB 的中点，把三角形ADE 沿 DE 折起至 A 1 DE 位置，使得 A 1 C=4，F 是线段 A 1 C 的中点（如图 2） （1）求证： BF面 A 1 DE； （2）求证： 面 A 1 DE面 DEBC； （3）求二
5、面角 A 1 DCE 的正切值 11. 已知一四棱锥 PABCD 的三视图如图所示，E 是侧棱 PC 上的动点 （）求四棱锥 PABCD 的体积 （）若点 E 为 PC 的中点，ACBD=O，求证： EO平面 PAD； （）是否不论点 E 在何位置，都有 BDAE？证明你的结论 12. 如图，已知 PB矩形 ABCD 所在的平面，E，F 分别是 BC，PD 的中点，PAB=45，AB=1，BC=2 （1）求证： EF平面 PAB； （2）求证： 平面 PED平面 PAD； （3）求三棱锥 EPAD 的体积 13. 直三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 的三视图如图所示 （1）求三棱柱 ABC
6、A 1 B 1 C 1 的体积； （2）若点 D 为棱 AB 的中点，求证： AC 1 平面 CDB 1 14. 如图所示，在直角梯形 ABCD 中， AB CD ， BCD=90 ， BC=CD=2 ， AF=BF ， EC FD ， FD 底面 ABCD ， M 是 AB 的中点 （ 1 ）求证： 平面 CFM 平面 BDF ； （ 2 ）点 N 在 CE 上， EC=2 ， FD=3 ，当 CN 为何值时， MN 平面 BEF 15. 如图，在三棱椎 PABC 中，D，E，F 分别是棱 PC、AC、AB 的中点，且 PA面 ABC （1）求证： PA面 DEF； （2）求证： 面 BDE
7、面 ABC 16. 如图，长方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，D 1 D=DC=4，AD=2，E 为 D 1 C 的中点 （1）求三棱锥 D 1 ADE 的体积 （2）AC 边上是否存在一点 M，使得 D 1 A平面 MDE？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由 17. 如图，在三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中，侧棱垂直于底面，AB=AC，E，F，H 分别是 A 1 C 1 ，BC，AC的中点 （1）求证： 平面 C 1 HF平面 ABE （2）求证： 平面 AEF平面 B 1 BCC 1 18. 如图： 已知四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ABC
8、D 是正方形，E 是 PA 的中点，求证： （1）PC平面 EBD （2）平面 PBC平面 PCD 19. （ 12 分）已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD 为直角三角形，且PA=PD ，面 PAD 面 ABCD ， E 、 F 分别为 AB 、 PD 的中点 （ ）求证： EF 面 PBC ； （ ）求证： AP 面 PCD 20. 如图，直三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中，D，E 分别是 AB，BB 1 的中点 （1）证明 BC 1 平面 A 1 CD （2）设 AA 1 =AC=CB=2，AB=2 ，求三菱锥 CA 1 DE 的体积 21. 如图，
9、已知 AF平面 ABCD，四边形 ABEF 为矩形，四边形 ABCD 为直角梯形，DAB=90，ABCD，AD=AF=CD=2，AB=4 （1）求证： AF平面 BCE； （2）求证： AC平面 BCE； （3）求三棱锥 EBCF 的体积 试卷答案 1. 取1DD中点 P ,则点 P 为所求. 证明： 连接 AC,BD ，设 AC,BD 交于点 O .则 O 为 BD 中点，连接 PO ,又 P 为1DD 中点，所以1PO BD ? .因为 PO PAC 面 , BD PAC 面 ,所以1BD 面PAC ? .10 分 2. （1）证明： 依题意，1 1 190 ABC = ，1 1 1BB
10、BC ，以1B 为原点，分别以1 1AB ，1 1BC ，1B B 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系1B xyz . 则由已知，1 (00 0) B ， ， ，1 ( 20 0) A ， ， ， (0 2 2) C ， ， ， ( 1 0 2) M ， ， ，( 1 1 1) N ， ， ， (0 0 2 B ， ， ） ，1 (02 0) C ， ， ， 1 1 =(02 0) BC ， ， ，1(0 0 2) B B = ， ， ， (0 1 1) MN = ， ， ，1 1( 2 0 0) B A = ， ， ， 易知1 11 0 0 1 0 ( 1)
11、0 B A MN = + + = ， MN 平面1 1BCC B . （2）证明： 连接1BC ，由（1）得，1(0 2 2) BC = ， ， ，1 1(2 0 0) AB = ， ， ，(0 1 1) NM = ， ， ， 设平面1 1ABC 的一个法向量为 ( ) n x y z = ， ， 则10 n BC = ，1 10 n AB = 由0y zx= = 取 1 z = ，得 1 y = ， 平面1 1ABC 的一个法向量为 (0 1 1) n = ， ， 此时，n MN = 故MN 平面1 1ABC . 3. （1）.证明:如图所示, 连接 交 于 ,连接 , 因为四边形 是平行四
12、边形,所以点 为 的中点, 又因为 为 的中点的中点, 所以 为 的中位线,所以 , 又 平面 , 平面 , 所 以 平 面 . 2.证明:因为 是等边三角形, 为 的中点, 所以 , , 4. （1）证明见解析 （2）证明见解析 （ 3 ）所找的H 点为 AE 与BD的交点 （1）证明： E 、F 分别是 BC ，BP中点， 12EF PC， PC 平面 PAC ， EF 平面 PAC ， EF 平面 PAC （2）证明： E 、 G 分别是 BC 、 AD 中点， AE CG ， AE 平面 PCG ， CG 平面 PCG ， AE 平面 PCG ， 又 EF PC ， PC 平面 PCG
13、 ， EF 平面 PCG ， EF 平面 PCG ， AE EF E = 点， AE ，EF 平面 AEF ， 平面 AEF 平面 PEG （ 3 ）设 AE ， GC 与BD分别交于M ， N 两点， 易知F ， N 分别是BP，BM 中点， 12FN PM， PM 平面 PGC ， FN 平面 PGC ， FN 平面 PGC ， 即 N 点为所找的H 点 5. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】（）设 K 是 B 1 C 的中点，分别在AB 1 C，B 1 C 1 C 中利用三角形中位线定理可得MKAC，KNCC 1 ，再由线面平行的判定可得 MN平面 A 1
14、ACC 1 ； （）由已知求得ABC 的面积，然后利用 求得答案 【解答】（）证明： 设 K 是 B 1 C 的中点，分别在AB 1 C，B 1 C 1 C 中利用三角形中位线定理可得： MKAC，KNCC 1 ， 又 MKNK=K，平面 MNK平面 AA 1 C 1 C， 又 MN 平面 MNK，MN平面 A 1 ACC 1 ； （）解： CAB=90，AB=2，BC= ， AC= ，则 S ABC =1， ABCA 1 B 1 C 1 是直棱柱，高为 AA 1 =2， 棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 的体积为 6. 【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】（1）证明
15、 A 1 MMA，AMAC，故可得 A 1 M平面 MAC； （2）连结 AB 1 ，AC 1 ，由中位线定理得出 MNAC 1 ，故而 MN平面 A 1 ACC 1 【解答】证明： （1）由题设知，A 1 A面 ABC，AC 面 ABC，ACA 1 A， 又BAC=90，ACAB， AA 1 平面 AA 1 BB 1 ，AB 平面 AA 1 BB 1 ，AA 1 AB=A， AC平面 AA 1 BB 1 ，A 1 M 平面 AA 1 BB 1 A 1 MAC 又四边形 AA 1 BB 1 为正方形，M 为 A 1 B 的中点，A 1 MMA， ACMA=A，AC 平面 MAC，MA 平面 M
16、AC，A 1 M平面 MAC （2）连接 AB 1 ，AC 1 ，由题意知，点 M，N 分别为 AB 1 和 B 1 C 1 的中点，MNAC 1 又 MN 平面 A 1 ACC 1 ，AC 1 平面 A 1 ACC 1 ，MN平面 A 1 ACC 1 7. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】（1）所求多面体体积 V=V 长方体 V 正三棱锥 （2）证明 EGBC即可 【解答】解析： （1）所求多面体体积 V=V 长方体 V 正三棱锥 =446= （2）证明： 在长方体 ABCDABCD中， 连结 AD，则 ADBC因为 E，G 分别 为 AA，AD中点，所以 AD
17、EG， 从而 EGBC又 BC 平面 EFG，所以 BC面 EFG 8. 【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定 【分析】（1）取 PD 中点 G，连结 GF，由已知得四边形 BEGF 是平行四边形，从而 BFEG，由此能证明 BF面 PDE （2）以 A 为原点，AD 为 x 轴，在平面 ABCD 中过 A 作 AD 的垂线为 y 轴，以 AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点 C 到面 PDE 的距离 【解答】（1）证明： 取 PD 中点 G，连结 GF， E，F 分别为 BC，PA 的中点，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， GF 平行且等于 BE，四
18、边形 BEGF 是平行四边形， BFEG， BF 平面 PDE，EG 平面 PDE， BF面 PDE （2）解： 以 A 为原点，AD 为 x 轴，在平面 ABCD 中过 A 作 AD 的垂线为 y 轴，以 AP 为 z轴，建立空间直角坐标系， 则 P（0，0， ），D（2，0，0），E（2， ，0），C（3， ，0）， =（2，0， ）， =（2， ， ）， =（3， ， ）， 设平面 PDE 的法向量 =（x，y，z）， 则 ，取 z=2，得 =（ ）， 点 C 到面 PDE 的距离： d= = 9. 【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】（1）设 AC 与 BD 相
19、交于点 O，连接 FO，推导出 ACBD，ACFO，由此能证明 AC平面 BDEF （2）推导出 BC平面 EAD，BF平面 EAD，从而平面 BFC平面 EAD，由此能证明 FC平面 EAD 【解答】证明： （1）设 AC 与 BD 相交于点 O，连接 FO， 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD， 又 O 为 AC 中点，且 FA=FC，所以 ACFO， 因为 FOBD=O，所以 AC平面 BDEF （2）因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， 所以 BCAD，所以 BC平面 EAD， 又 BFDE，所以 BF平面 EAD， 所以平面 BFC平面 EAD， 又 FC 平面
20、BFC，所以 FC平面 EAD 10. 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】（1）取 A 1 D 中点 G，并连接 FG，EG，能够说明四边形 BFGE 为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可得出 BF面 A 1 DE； （2）先根据已知的边、角值说明A 1 DE 为等边三角形，然后取 DE 中点 H，连接 CH，从而得到 A 1 HDE，根据已知的边角值求出 A 1 H，CH，得出 ，从而得到 A 1 HCH，从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面 A 1 DE面 DEBC； （3）过 H 作 HODC，垂足为 O，并连接 A 1
21、O，容易说明 DC面 A 1 HO，从而得出A 1 OH 为二面角 A 1 DCE 的平面角，能够求出 HO，从而求出 tanA 1 OH，即求出了二面角 A 1 DCE的正切值 【解答】解： （1）证明： 如图，取 DA 1 的中点 G，连 FG，GE； F 为 A 1 C 中点； GFDC，且 ； 四边形 BFGE 是平行四边形； BFEG，EG 平面 A 1 DE，BF 平面 A 1 DE； BF平面 A 1 DE； （2）证明： 如图，取 DE 的中点 H，连接 A 1 H，CH； AB=4，AD=2，DAB=60，E 为 AB 的中点； DAE 为等边三角形，即折叠后DA 1 E 也
22、为等边三角形； A 1 HDE，且 ； 在DHC 中，DH=1，DC=4，HDC=60； 根据余弦定理，可得： HC2 =1+164=13，在A1 HC 中， ， ，A 1 C=4； ，即 A 1 HHC，DEHC=H； A 1 H面 DEBC； 又 A 1 H 面 A 1 DE； 面 A 1 DE面 DEBC； （3）如上图，过 H 作 HODC 于 O，连接 A 1 O； A 1 H面 DEBC； A 1 HDC，A 1 HHO=H； DC面 A 1 HO； DCA 1 O，DCHO； A 1 OH 是二面角 A 1 DCE 的平面角； 在 RtA 1 HO 中， ， ； 故 tan ；
23、所以二面角 A 1 DCE 的正切值为 2 11. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】（）四棱锥的底面是一个边长是 1 的正方形，一条侧棱与底面垂直，由这条侧棱长是 2 知四棱锥的高是 2，求四棱锥的体积只要知道底面大小和高，就可以得到结果 （）利用三角形中位线的性质证明 OEPA，由线面平行的判定定理可证 EO平面 PAD； （）不论点 E 在何位置，都有 BDAE，证明 BD平面 PAC 即可 【解答】（）解： 由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形， 侧棱 PC底面 ABCD，且 PC=2 V PABC
24、D = S ABCD PC= （）证明： E、O 分别为 PC、BD 中点 EOPA， 又 EO 平面 PAD，PA 平面 PAD EO平面 PAD （）不论点 E 在何位置，都有 BDAE， 证明如下： ABCD 是正方形， BDAC， PC底面 ABCD 且 BD 平面 ABCD， BDPC， 又ACPC=C， BD平面 PAC， 不论点 E 在何位置，都有 AE 平面 PAC， 不论点 E 在何位置，都有 BDAE 12. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】（1）取 PA 的中点 N，连接 NB，NF，推导出 NFEB 是平行四边形，从而
25、 EFBN，由此能证明 EF平面 PAB （2）推导出 PBAD，PBAB，从而 AD平面 PAB，进而 ADBN，再求出 BNPA，从而 EF平面 PAD，由此能证明平面 PED平面 PAD （3）由 V EPAD =V PEAD ，能求出三棱锥 EPAD 的体积 【解答】（本小题满分 12 分） 证明： （1）取 PA 的中点 N，连接 NB，NF，又 F 是 PD 的中点， NFAD，NF= 在矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点， BEAD，BE= NFBE 且 NF=BE，得 NFEB 是平行四边形， EFBN BN 平面 PAB，EF 平面 PAB， EF平面 PAB （2）依
26、题意 PB平面 ABCD，AD，AB 平面 ABCD， PBAD，PBAB又 ADAB，ABPB=B，AD平面 PAB， BN 平面 PAB，ADBN， 在 RtPAB 中，PAB=45，N 是 PA 的中点，BNPA， 又 ADPA=A，BN平面 PAD，由（1）EFBN，EF平面 PAD， EF 平面 PED，平面 PED平面 PAD 解： （3）由（2）知等腰 RtPAB 中，PB=AB=1，且 PB 是三棱锥 PEAD 的高 又 S EAD = ， 三棱锥 EPAD 的体积 V EPAD =V PEAD = S EAD PB= 13. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判
27、定 【分析】（1）由直三棱柱的三视图求出 S ABC ，高 BB 1 ，由此能求出三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 的体积 （2）连结 B 1 C，BC 1 ，交于点 O，连结 OD，则 ODAC 1 ，由此能证明 AC 1 平面 CDB 1 【解答】解： （1）由直三棱柱的三视图得： ，高 BB 1 =4， 三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 的体积 V=S ABC BB 1 =34=12 证明： （2）连结 B 1 C，BC 1 ，交于点 O，连结 OD， 点 D 为棱 AB 的中点， ODAC 1 ， OD 平面 CDB 1 ，AC 1 平面 CDB 1 AC 1 平面 CDB 1
28、 14. 【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】（1）推导出四边形 BCDM 是正方形，从而 BD CM，又 DF CM，由此能证明 CM 平面 BDF （2）过 N 作 NO EF，交 EF 于 O，连结 MO，则四边形 EFON 是平行四边形，连结OE，则四边形 BMON是平行四边形，由此能推导出 N是 CE的中点时， MN 平面 BEF 【解答】证明： （1） FD 底面 ABCD， FD AD， FD BD AF=BF， ADF BDF， AD=BD， 连接 DM，则 DM AB， AB CD， BCD=90， 四边形 BCDM是正方形， BD CM， DF CM
29、， CM 平面 BDF 解： （2）当 CN=1，即 N是 CE的中点时， MN 平面 BEF 证明如下： 过 N作 NO EF，交 ED于 O，连结 MO， EC FD， 四边形 EFON是平行四边形， EC=2，FD=3， OF=1， OD=2， 连结 OE，则 OE DC MB，且 OE=DC=MB， 四边形 BMOE是平行四边形，则 OM BE，又 OMON=O， 平面 OMN 平面 BEF， MN 平面 OMN， MN 平面 BEF 15. 【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】（1）由线面平行的判定定理可知，只须证 PA 与平面 DEF 内的某一条直线平行即可
30、，由已知及图形可知应选择 DE，由三角形的中位线的性质易知： DEPA，从而问题得证； （2）由面面垂直的判定定理可知，只须证两平中的某一直线与另一个平面垂直即可，注意题中已知了线段的长度，那就要注意利用勾股定理的逆定理来证明直线与直线的垂直；通过观察可知： 应选择证 DE 垂直平面 ABC 较好，由（1）可知： DEAC，再就只须证 DEEF即可；这样就能得到 DE平面 ABC，又 DE 平面 BDE，从面而有平面 BDE平面 ABC 【解答】证明： （1）因为 D，E 分别为 PC，AC 的中点，所以 DEPA 又因为 PA 平面 DEF，DE 平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF （
31、2）因为 D，E，F 分别人棱 PC，AC，AB 的中点，PA=6，BC=8，所以 DEPA，DE= PA=3，EF= BC=4 又因为 DF=5，故 DF2 =DE 2 +EF 2 ，所以DEF=90，即 DEEF又 PAAC，DEPA，所以 DEAC 因为 ACEF=E，AC 平面 ABC，EF 平面 ABC，所以 DE平面 ABC 又 DE 平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC 【点评】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 16. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】（1）根据公式 V =V = S AD 计算体积； （2）取 AC 中点 M，连接 EM，DM，则可证明 D 1 A平面 MDE，从而得出 AC 的中点为所点 【解答】解： （1）AD平面 D 1 CD， AD 是三棱锥 AD 1
