初三数学上册第二十四章圆学生用书doc第二节.docx
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初三数学上册第二十四章圆学生用书doc第二节
第二十四章圆
24.1圆的概念及性质重点复习
一、复习知识:
(一)内接四边形对角互补。
(二)在同圆或者等圆中同弧或者等弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
(三)弦、弧、圆心角、圆周角,一一对应的关系。
(四)垂径定理——垂直平分;求弦长当中的运用。
二、复习练习题:
1、(2005•滨州)如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BCD=110°,则∠BOD=140度.
2、(2010•扬州)如图,AB为⊙O直径,点C、D在⊙O上,已知∠BOC=70°,AD∥OC,
则∠AOD=40度.
分析:
首先由AD∥OC可以得到∠BOC=∠DAO,又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO,由此即可求出
∠AOD的度数.
3、(2012•南通)如图,⊙O中,∠AOB=46°,则∠ACB=度.
4、如图是一条高速公路隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,圆的半径OA=5米,高CD=8米,则路面宽AB=.
24.2点、直线、圆和圆的位置关系
本节掌握:
理清点、直线、圆之间的关系并能在具体问题中熟练运用
24.2.1点和圆的位置关系
教学目标:
掌握点和圆的三种位置关系,并能在具体题目中运用;掌握外接圆的运用
知识点:
1、判定:
点到圆心的距离d与半径r比较判断点与圆的位置关系①d=r点P在圆上②d>r点P在圆外③d 2、不在同一直线上的三个点确定一个圆。 (证明,可运用直线与圆的位置关系进行反证) 3、三角形外接圆的定义: 过三角形的三个顶点的圆为外接圆。 外心: 三条边的垂直平分线的交点。 例题讲解: 例1、(2009•聊城)已知矩形ABCD的边AB=6,AD=8.如果以点A为圆心作⊙A,使B,C,D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点,那么⊙A的半径r的取值范围是( ) A.6<r<10 B.8<r<10 C.6<r≤8 D.8<r≤10 解析: 四边形ABCD是矩形,则△ABC是直角三角形.根据勾股定理得到: AC=10,B,C,D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点,由题意可知一定是B在圆内,则半径r>6,一定是点C在圆外,则半径r<10,所以6<r<10. 例2、(2007•湖州)如图,在Rt△ABC中∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作⊙O,设线段CD的中点为P,则点P与⊙O的位置关系是( ) A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法确定 分析: 本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d,再根据点与圆心的距离与半径的大小关系,即当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内,即可求解. 例3、(2012•广元)平面上有⊙O及一点P,P到⊙O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则⊙O的半径为4或2cm. 分析: 解答此题应进行分类讨论,点P可能位于圆的内部,也可能位于圆的外部. 例4、在矩形ABCD中,BC=6,CD=8,以A为圆心画圆,且点D在⊙A内,点B在⊙A外,则⊙A半径r的取值范围是6<r<8 分析: 根据矩形的性质和点的位置可得半径应在AB和BC之间. 随堂练习: 一、选择题: 1、(2007•白银)一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为( ) A.16cm或6cm B.3cm或8cm C.3cm D.8cm 2、(2006•舟山)我们知道,“两点之间线段最短”,“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”.在此基础上,人们定义了点与点的距离,点到直线的距离.类似地,如图,若P是⊙O外一点,直线PO交⊙O于A,B两点,PC切⊙O于点C,则点P到⊙O的距离应定义为( ) A.线段PO的长度 B.线段PA的长度 C.线段PB的长度 D.线段PC的长度 3、(2001•济南)如图,直线AB经过⊙O的圆心,与⊙O相交于A、B两点,点C在⊙O上,且∠AOC=30度.点E是直线AB上的一个动点(与点O不重合),直线EC交⊙O于D,则使DE=DO的点E共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4、(2010•攀枝花)如图所示.△ABC内接于⊙O,若∠OAB=28°,则∠C的大小是( ) 二、填空题: 1、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM是中线,以C为圆心,以 cm长为半径画圆,则点M与⊙C的位置关系是 2、如图,有一个弓形的暗礁区,弓形所含的圆周角∠C=50度.船在航行时,为保证不进入暗礁区,则船到两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是 3、 如图所示,在矩形ABCD的顶点A处拴了一只小羊,在B、C、D处各有一筐青草,要使小羊至少能吃到一筐子里的草,且至少有一个筐子里的草吃不到.如果AB=5,BC=12,则拴羊绳的长l的取值范围是 4、在平面直角坐标系中,以原点O为圆心,半径为2的⊙O,则占A(1, )与⊙O的位置关系是 5、(2007•淄博)如图所示,△ABC是⊙O的内接三角形,AD⊥BC于D点,且AC=5,DC=3,AB= ,则⊙O的直径等于. 三、综合题: 1、如图,已知△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心作⊙C,半径为r. (1)当r取什么值时,点A、B在⊙C外. (2)当r在什么范围时,点A在⊙C内,点B在⊙C外. 2、(2012•台州)已知,如图1,△ABC中,BA=BC,D是平面内不与A、B、C重合的任意一点,∠ABC=∠DBE,BD=BE. (1)求证: △ABD≌△CBE; (2)如图2,当点D是△ABC的外接圆圆心时,请判断四边形BDCE的形状,并证明你的结论. 分析: (1)由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,即∠ABD=∠CBE,根据SAS定理可知△ABD≌△CBE; (2)由 (1)可知,△ABD≌△CBE,故CE=AD,根据点D是△ABC外接圆圆心可知DA=DB=DC,再由BD=BE可判断出BD=BE=CE=CD,故可得出四边形BDCE是菱形. 24.2.2直线与圆的位置关系 教学目标: 掌握直线与圆的三种位置关系;掌握切线长定理;掌握内切圆的运用 知识点: 1、判定: 依据圆心到直线的距离d与半径r做比较进行判断: ①d=r直线l与圆O相切②d>r直线l与圆O相离③d 2、以直线与圆的交点个数为逻辑线索分为: (1)直线与圆没有交点——相离 (2)直线与圆有且只有一个交点——相切 (3)直线与圆有两个交点——相交。 3、切线为: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线。 ——圆的切线垂直与过切点的半径。 4、切线长: 过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长为切线长。 5、切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,这两条的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 6、三角形内切圆: 与三角形三条边都相切的圆为内切圆。 内心: 三角形三条角平分线的交点。 例题讲解: 例1、(2012•无锡)已知⊙O的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2,则直线l与⊙O的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交 分析: 根据直线与圆的位置关系来判定.判断直线和圆的位置关系: ①直线l和⊙O相交⇔d<r;②直线l和⊙O相切⇔d=r;③直线l和⊙O相离⇔d>r.分OP垂直于直线l,OP不垂直直线l两种情况讨论. 例2、(2012•西藏)如图,AB切⊙O于点B,延长AO交⊙O于点C,连接BC.若∠A=40°,则∠C=( ) A.20° B.25° C.40° D.50° 分析: 根据切线的性质判定∠ABO=90°,然后在直角△ABO中利用直角三角形的性质求得∠AOB=50°;最后根据圆周角定理来求∠C的度数. 例3、(2003•大连)如图,P是⊙O外一点,PA、PB分别和⊙O切于A、B,C是弧AB上任意一点,过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E,若△PDE的周长为12,则PA长为 分析: 根据切线长定理,可将△PDE的周长转化为两条切线长的和,已知了△PDE的周长,即可求出切线的长. 例4、(2009•张家界)如图,⊙O是△ABC的内切圆,与边BC,CA,AB的切点分别为D,E,F,若∠A=70°,则∠EDF=度. 分析: 根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理,得∠EOF=110°.再根据圆周角定理可得出∠EDF=55°. 6 随堂练习: 一、选择题: 1、(2009•资阳)如图,已知Rt△ABC的直角边AC=24,斜边AB=25,一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动,且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切,当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是( ) 2、如图,线段AB是⊙O的直径,⊙O交线段BC于D,且D是BC中点,DE⊥AC于E,连接AD,则下列结论正确的个数是() ①CE•CA=CD•CB;②∠EDA=∠B;③OA=1/2AC;④DE是⊙O的切线;⑤AD2=AE•AB. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 分析: 由DE与AC垂直,得到三角形CDE为直角三角形,而由AB为圆的直径,根据直径所对的圆周角为90°,得到AD与BC垂直,又D为BC中点,进而得到AD垂直平分BC,根据线段垂直平分线的性质得到AC与AB相等,故三角形ABC不是直角三角形,所以三角形CDE与ABC不相似,CE•CA与CD•CB不相等,选项①错误;由O为AB中点,得到AO为AB的一半,故AO为AC的一半,选项③正确;由OD为三角形ABC的中位线,根据三角形的中位线定理得到OD与AC平行,由AC与DE垂直得到OD与DE垂直,即∠ODE为90°,故DE为圆O的切线,选项④正确;由两对对应角相等得到三角形ADE与三角形ACD相似,根据对应边成比例得到选项⑤正确,从而得到所有正确选项的个数. 3、(2008•上海)如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是( ) \\ 4、(2011•西藏)如图.点O是△ABC的内心,若∠ACB=70°,则∠A0B=( ) A.140° B.135° C.125° D.110° 二、填空题: 1、2005•枣庄)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆,则O1O2= 2、(2000•重庆)如图,⊙O1和⊙O2外切于点P,内公切线PC与外公切线AB(A、B分别是⊙O1和⊙O2上的切点)相交于点C,已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3和4,则PC的长等于 3、如图,点P为△ABC的内心,延长AP交△ABC的外接圆⊙O于D,过D作DE∥BC,交AC的延长线于E点.①则直线DE与⊙O的位置关系是;②若AB=4,AD=6,CE=3,则DE= . 4、(2012•兰州)如图,已知⊙O是以坐标原点O为圆心,1为半径的圆,∠AOB=45°,点P在x轴上运动,若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点,设P(x,0),则x的取值范围是 三、综合题: 1、(2010•厦门)如图,矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,AE= (1)求 的长; (2)若AD= ,直线MN分别交射线DA、DC于点M、N,∠DMN=60°,将直线MN沿射线DA方向平移,设点D到直线的距离为d,当时1≤d≤4,请判断直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由. 2、(2011•湛江)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AC的中点,过点A,D作⊙O,使圆心O在AB上,⊙O与AB交于点E. (1)若∠A+∠CDB=90°,求证: 直线BD与⊙O相切; (2)若AD: AE=4: 5,BC=6,求⊙O的直径. 分析: (1)连接OD,由∠A=∠ADO,进而证得∠ADO+∠CDB=90°,而证得BD⊥OD; (2)连接DE,由AE是直径,得到∠ADE=90°,然后利用已知条件可以证明DE∥BC,从而得到△ADE∽△ACB,接着利用相似三角形的性质得到AD: AC=DE: BC,又D是AC中点,由此可以求出DE的长度,而AD: AE=4: 5,在直角△ADE中,设AD=4x,AE=5x,那么DE=3x,由此求出x=1即可解决问题. 3、(2011•大庆)如图,Rt△ABC的两直角边AC边长为4,BC边长为3,它的内切圆为⊙0,⊙0与边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F,延长C0交斜边AB于点G. (1)求⊙0的半径长; (2)求线段DG的长. 24.2.3圆与圆的位置关系 教学目标: 掌握圆与圆的五种关系并能运用于题目中; 知识点: 1、圆心距: 两圆心之间的距离。 2、判定: 圆心距d与两半径之和(r1+r2)两半径之差的绝对值(|r1-r2|)进行比较判断①d=r1+r2两圆外切②d=(|r1-r2|)两圆内切③d>r1+r2l两圆外离④(|r1-r2|) 3、同心圆: 圆心距d=0两圆心重合。 4、以两圆交点个数为逻辑线索位置关系分为: ①: 没有交点——外离,内含 ②: 一个交点——外切,内切 ③: 两个交点——相交 例题讲解: 例1、(2012•扬州)已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm,且它们的圆心距为8cm,则⊙O1与⊙O2的位置关系是( ) A.外切 B.相交 C.内切 D.内含 分析: 由⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm,且它们的圆心距为8cm,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系. 例2、(2012•柳州)定圆O的半径是4cm,动圆P的半径是2cm,动圆在直线l上移动,当两圆相切时,OP的值是( ) 分析: 定圆O与动圆P相切时,分两种情况考虑: 内切与外切,当两圆内切时,圆心距OP=R-r;当两圆外切时,圆心距OP=R+r,求出即可. 例3、(2008•旅顺口区)下列图形中,一定能够能得出结论∠2=2∠1的是( ) 分析: (1)根据平角的性质解答; (2)根据三角形内角与外角的关系解答; (3)根据圆心角与圆周角的关系解答; (4)根据等边三角形的性质解答. 随堂练习: 一、选择题: 1、(2004•荆门)如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,AC是⊙O2的切线,AD是⊙O1的切线,若BC=4,BD=9,则AB的长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2、(2006•临汾)如图是用V形架托起两个钢管的横截面示意图.若V形角a=60°,细钢管的外径为20mm,则粗钢管的外径为( ) A.60mmB.50mmC.40mmD.30mm 3、(2011•昭通)已知两圆的半径R,r分别为方程x2-3x+2=0的两根,这两圆的圆心距为3,则这两圆的位置关系是( ) A.外切 B.内切 C.相交 D.外离 二、填空题: 1、(2007•黔东南州)两圆有多种位置关系,图中不存在的位置关系是 分析: 此题要求两个圆的位置关系,两圆的位置关系有5种: ①外离;②外切;③相交;④内切;⑤内含.根据图形观察两个圆之间的交点个数,一个交点两圆相切,两个交点两圆相交,没有交点两圆相离.由此可判断出两圆之间的位置关系. 2、如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图,则其最高点与地面的距离是米. 3、(2010•益阳)如图,分别以A、B为圆心,线段AB的长为半径的两个圆相交于C、D两点,则∠CAD的度数为度. 三、综合题: 1、(2007•南充)如图是某城市一个主题雕塑的平面示意图,它由置放于地面l上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的⊙A构成.点B、C分别是两个半圆的圆心,⊙A分别与两个半圆相切于点E、F,BC长为8米.求EF的长. 相交
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