翻转折叠二次函数相似.docx
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翻转折叠二次函数相似
(2012•杭州)如图,在Rt△ABO中,斜边AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则( )
A.点B到AO的距离为sin54°
B.点B到AO的距离为tan36°
C.点A到OC的距离为sin36°sin54°
D.点A到OC的距离为cos36°sin54°
折叠翻转问题:
1.如图1,正方形纸片ABCD的边长为2,翻折∠B、∠D,使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕(如图2).设AE=x(0<x<2),给出下列判断:
①当x=1时,点P是正方形ABCD的中心;
②当x=
时,EF+GH>AC;
③当0<x<2时,六边形AEFCHG面积的最大值是3;
④当0<x<2时,六边形AEFCHG周长的值不变.
其中正确的选项是( )
A.①③B.①②④C.①③④D.①②③④
2.如图,矩形纸片ABCD,已知AB=2,BC=4,若点E是AD上一动点(与A不重合),其0<AE≤2,沿BE将△ABE翻折,点A落在点P处,连结PC,有下列说法:
①△ABE和△PBE关于直线BE对称;
②线段PC的长有可能小于2;
③四边形ABPE有可能为正方形;
④当△PCD是等腰三角形时,PC=2或
.
其中正确的序号是( )
A.①②B.①③C.①③④D.②③④
3.如图,将矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1,连结AD1、BC1.若∠ACB=30°,AB=1,CC1=x,△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s,则下列结论:
①△A1AD1≌△CC1B;
②当x=1时,四边形ABC1D1是菱形;
③当x=2时,△BDD1为等边三角形;
④s=
(x﹣2)2(0<x<2);
其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
4.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AO=
,BO=1,AB的垂直平分线交AB于点E,交射线BO于点F.点P从点A出发沿射线AO以每秒2
个单位的速度运动,同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动,当点Q到达点B时,点P、Q同时停止运动.设运动的时间为t秒.
(1)当t= 时,PQ∥EF;
(2)若P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′,当线段P′Q′与线段EF有公共点时,t的取值范围是 .
5.如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,矩形OABC在第二象限且A、B、C坐标分别为(﹣3,0)(﹣3,
),(0,
),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′,此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q.
(1)如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴时,旋转角α= ;
(2)在四边形OABC旋转过程中,当0<α≤180°时,存在着这样的点P和点Q,使BP=
BQ,请直接写出点P的坐标 .
6.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,D为AB的中点,∠EDF=90°,DE交AC于点G,DF经过点C.
(1)求∠ADE的度数;
(2)如图2,将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°),旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E1DF1,∠E2DF2,DE1交直线AC于点P,DF1交直线BC于点Q,DE2交直线AC于点M,DF2交直线BC于点N,求
的值;
(3)若图1中∠B=β(60°<β<90°),
(2)中的其余条件不变,判断
的值是否为定值?
如果是,请直接写出这个值(用含β的式子表示);如果不是,请说明理由.
7.已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处
(Ⅰ)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.若△OCP与△PDA的面积比为1:
4,求边CD的长.
(Ⅱ)如图2,在(Ⅰ)的条件下,擦去折痕AO、线段OP,连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当动点M、N在移动的过程中,线段EF的长度是否发生变化?
若变化,说明变化规律.若不变,求出线段EF的长度.
8.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,M为AB的中点.D是射线BC上一个动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接ED,N为ED的中点,连接AN,MN.
(1)如图1,当BD=2时,AN= ,NM与AB的位置关系是 ;
(2)当4<BD<8时,
①依题意补全图2;
②判断
(1)中NM与AB的位置关系是否发生变化,并证明你的结论;
(3)连接ME,在点D运动的过程中,当BD的长为何值时,ME的长最小?
最小值是多少?
请直接写出结果.
9.如图甲,AB⊥BD,CD⊥BD,AP⊥PC,垂足分别为B、P、D,且三个垂足在同一直线上,我们把这样的图形叫“三垂图”.
(1)证明:
AB•CD=PB•PD.
(2)如图乙,也是一个“三垂图”,上述结论成立吗?
请说明理由.
(3)已知抛物线与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点(0,﹣3),顶点为P,如图丙所示,若Q是抛物线上异于A、B、P的点,使得∠QAP=90°,求Q点坐标.
二次函数与相似、四边形问题:
1.平面直角坐标系xOy中,对称轴平行于y轴的抛物线过点A(1,0)、B(3,0)和C(4,6);
(1)求抛物线的表达式;
(2)现将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位,再沿y轴方向平移k个单位,若所得抛物线与x轴交于点D、E(点D在点E的左边),且使△ACD∽△AEC(顶点A、C、D依次对应顶点A、E、C),试求k的值,并注明方向.
2.已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A(﹣3,0)和点B(1,0),与y轴相交于C(0,﹣3m)(m>0),顶点为点D.
(1)求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示);
(2)如图①,当m=2时,点P为第三象限内抛物线上的一个动点,设△APC的面积为S,试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值;
(3)如图②,当m取何值时,以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似?
3.如图,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于点A(﹣1,0)、B(4,0),与y轴正半轴交于点C.
(1)求二次函数的解析式;
(2)证明:
∠ACB=90°;
(3)P为抛物线上一点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,连接OP,若△OPM∽△ABC,求点P的坐标.
4.如图,在矩形ABCD中,AO=10,AB=8,分别以OC、OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,点D(3,10)、E(0,6),抛物线y=ax2+bx+c经过O,D,C三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)一动点P从点E出发,沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似?
(3)点N在抛物线对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使四边形MENC是平行四边形?
若存在,请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
5.如图,已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O,且与直线y=x﹣2交于B,C两点.
(1)求抛物线的顶点A的坐标及点B,C的坐标;
(2)求证:
∠ABC=90°;
(3)在直线BC上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积最大?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
6.如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B两点,(点A在点B的左侧),与直线AC交于点C(2,3),直线AC与抛物线的对称轴l相交于点D,连接BD.
(1)求抛物线的函数表达式,并求出点D的坐标;
(2)如图2,若点M、N同时从点D出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿DA、DB运动,连接MN,将△DMN沿MN翻折,得到△D′MN,判断四边形DMD′N的形状,并说明理由,当运动时间t为何值时,点D′恰好落在x轴上?
(3)在平面内,是否存在点P(异于A点),使得以P、B、D为顶点的三角形与△ABD相似(全等除外)?
若存在,请直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
7.已知:
如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣
x+6与x轴、y轴的交点分别为A、B两点,将∠OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C.
(1)直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)若
(1)中抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若把
(1)中的抛物线向左平移3.5个单位,则图象与x轴交于F、N(点F在点N的左侧)两点,交y轴于E点,则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使点Q到E、N两点的距离之差最大?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
8.如图,二次函数y=ax2﹣
x+2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点A(﹣4,0).
(1)求抛物线与直线AC的函数解析式;
(2)若点D(m,n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点,四边形OCDA的面积为S,求S关于m的函数关系;
(3)若点E为抛物线上任意一点,点F为x轴上任意一点,当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出满足条件的所有点E的坐标.
9.二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B,与y轴交于点C,且A(﹣1,0)、B(4,0)
(1)求此二次函数的表达式
(2)如图1,抛物线的对称轴m与x轴交于点E,CD⊥m,垂足为D,点F(﹣
,0),动点N在线段DE上运动,连接CF、CN、FN,若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似,求点N的坐标
(3)如图2,点M在抛物线上,且点M的横坐标是1,点P为抛物线上一动点,若∠PMA=45°,求点P的坐标.
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