高斯小学奥数五年级上册含答案质数与合数.docx
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高斯小学奥数五年级上册含答案质数与合数
第三讲质数与合数
什么是质数?
每一个数都能写成若干个数相乘的形式,考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身的形式,所以不考虑1作为乘数的情况:
,
,
……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式,我们把这样的数称为合数.而像2,3,7……这些不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数,我们称之为质数.如果说得形象一点,质数就是“拆不开”的数,合数就是拆得开的数.
严格说来,质数就是只能被1和自身整除的数;合数是除了1和它本身之外,还能被其它数整除的数.注意,1既不是质数也不是合数.
我们先来看一个关于质数的小问题,提高大家对质数的熟悉程度:
请写出所有颠倒个位十位之后还是质数的两位质数.
_____________________________________________(填写在横线上)
相信对100以内的质数比较熟悉的同学,做这个题目会很轻松.质数是我们后面学习的基础,因此同学们一定要牢牢记住常见的质数.请同学们在下面的横线上写出100以内的所有质数:
同学们还可以这样做:
从大到小写出100以内的质数.如果你能一个不少地写出来,说明你对100以内的质数确实掌握得很牢固了^_^.
当然,同学们写出的这些质数只是质数大军中的冰山一角.在100以上还有无穷多个质数,比如接着100的就有四个质数:
101,103,107,109.
【分析】1~56以内的质数有哪些?
把它们列出来,然后依次找出对应的汉字,这句话就出来了.
自然数N是一个两位数,它是一个质数,而且N的个位数字与十位数字都是质数,这样的自然数有多少个?
【分析】对于第1问,依次枚举即可,可知这两个不同的质数一定都是奇数.那么后两问中的质数可以都是奇数吗?
如果三个互不相同的质数相加,和为52,这三个质数可能是多少?
通过前面的学习,我们对质数已经有了基本了解.下面我们来学习这一讲中最重要的内容:
分解质因数.分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式.如:
,
,
.同学们请注意:
分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好,每个数分解质因数的形式是唯一的.
分解质因数的方法一般是短除法,如下图所示,我们将30分解质因数,在计算的过程中要善用各种特殊数的整除特性.
100在分解质因数时也可以写成:
;280在分解质因数时也可以写成
.这种写法更简洁更方便,其中位于质因数右上角,表示质因数个数的数叫作指数,如:
这里280的分解式中5和7的指数都是1,写的时候可以省略.
如何确定一个大数是不是质数呢?
我们要判断197是不是质数,难道需要一一验算197以内的所有质数吗?
同学们不用担心,数学家们早就为我们准备了简单的方法,只需要试很少的几个就能判断.例如我们要判断197是否为质数,只需要验算15以内的质数就足够了!
因为
比197大.类似的,如果我们要判断2011是不是质数,只需要验算45以内的质数,因为
比2011大.有了这个方法,同学们以后判断一个大数是不是质数就非常方便了.
「分析」将一个数分解质因数,可以从最小的质数开始,一个一个去试商,写成短除的形式.
请把下面的数分解质因数:
(1)373;
(2)12660.
在整数问题中,有一类特殊的问题,专求乘积末尾连续0的个数.解决这类问题的方法同样是质因数分解.下面我们来看一个例题.
【分析】乘积的末尾要出现一个0,只需要乘数中凑出一个10,那么能凑出来几个10,末尾就有多少个连续的0.注意到
,我们只需要计算这个算式中含有的质因数2和5的个数就可以了.
算式
的计算结果的末尾有多少个连续的0?
分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法,大家一定要能熟练的将一个数分解质因数,这应该作为一项基本的能力来培养.下面我们来看看如何利用分解质因数来解决实际的问题.
「分析」39270是三个自然数的乘积,于是先将39270分解质因数,再对这些质因数进行适当的组合,凑出题目中的三个连续自然数.由于连续自然数相互之间比较接近,所以凑的时候也必须尽量接近.
【分析】完全平方数是两个相同数的乘积,那么分解后它的每个质因数的次数都是偶数.而
,它不是一个平方数.它最小再乘上多少,结果就是平方数了?
通过上面例题的讲解,相信大家能体会到分解质因数的好处.它就像手术刀一样,把整数解剖开来,让我们把整数的组成结构看得一清二楚.很多看似复杂的问题,如果从分解质因数的角度来看,就会变得非常简单.
作业
1.
(1)如果两个不同的质数相加等于39,那么这两个质数的乘积是多少?
(2)三个互不相同的质数相加,和为30,这三个质数的乘积是多少?
(32)
2.自然数49,87,101,103,121中,哪些是质数?
3.请把下面的数分解质因数:
(1)240;
(2)1080.
4.三个连续自然数的乘积为336,则这三个数的和是多少?
5.算式
的计算结果的末尾有多少个连续的0?
第三讲质数与合数
例题1.答案:
少年朋友亲切联欢一九九七相聚中山
详解:
1~56中的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53共16个.
例题2.答案:
(1)69、133;
(2)46;(3)434
详解:
(1)26可以拆成3与23的和,或者7与19的和;
(2)25只能拆成2和23的和;(3)三个数的和是偶数,可以是三个偶数,或者一偶两奇.考虑到质数中只有2是偶数,可知一定是一偶两奇,且偶数是2.另外两个奇数是7和31.
例题3.答案:
(1)
;
(2)
;(3)
;(4)
.
例题4.答案:
24
详解:
末尾0的个数与算式结果所含质因数2和5的个数有关,结果中质因数的个数又与乘数中质因数的个数有关.因为2的个数要比5的个数多,所以0的个数等于5的个数.乘数中5的倍数有20个,25的倍数有4个,所以质因数5的个数有
个.末尾有24个连续的0.
例题5.答案:
102
详解:
.考虑其中最大的质因数17,三个自然数中一定有17的倍数.如果是17,那么一定有16或18.这不可能.如果是34,另外两个数是33和35,正好满足.
.
例题6.答案:
160
详解:
完全平方数的每个质因数的次数一定是偶数.而
,至少要再乘上
才是一个平方数.题目要求是三位数,即
是一个平方数.可知空格上也要填入一个平方数,最小要填16.要乘的三位数最小是160.
练习1.答案:
23、37、53、73
简答:
一位数中的质数只有2、3、5、7.而N的个位数字只能是3和7,分类枚举即可.
练习2.答案:
2、3、47或者2、7、43或者2、13、37或者2、19、31
简答:
三个质数一定是一偶两奇,偶数是2.
练习3.答案:
(1)质数;
(2)
.
练习4.答案:
7
简答:
1~30中5的倍数有6个,25的倍数有1个,所以其中有7个5.计算结果的末尾有7个连续的0.
作业1.答案:
(1)74;
(2)230或374
简答:
(1)
,乘积为74.
(2)
,乘积为230或374.
作业2.答案:
101,103.
作业3.答案:
(1);
(2).
作业4.答案:
21
简答:
,和为21.
作业5.答案:
8个
简答:
看含有因子5的个数,是5的倍数的数有7个,是25的倍数的数有1个,共8个.
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- 小学 奥数五 年级 上册 答案 质数 合数
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