高考数学逆袭专题二数列.docx
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高考数学逆袭专题二数列
专题二 数 列
第1讲 等差数列、等比数列
[全国卷3年考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2019
等差数列的基本运算·T9
等差(比)数列的证明及通项公式的求法·T19
等比数列的基本运算·T5
等比数列的证明·T21
(2)①
等差数列的基本运算·T14
2018
等差数列基本量的计算·T4
等差数列基本量的计算、和的最值问题·T17
等比数列基本量的计算·T17
2017
等差数列的通项公式、前n项和公式·T4
等比数列的概念、前n项和公式、数学文化·T3
等差数列的前n项和公式、通项公式·T9
等比数列的通项公式·T14
等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本概念、基本运算的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查;对等差、等比数列性质的考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和的最大、最小值等问题,属中低档题.
[例1]
(1)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8nD.Sn=
n2-2n
(2)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,S3=
,则S4=________.
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=3.
①若a3+b3=7,求{bn}的通项公式;
②若T3=13,求Sn.
1.(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=( )
A.16 B.8
C.4D.2
2.(2019·沈阳市质量监测
(一))已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=12,S5=90,则等差数列{an}的公差d=( )
A.2B.
C.3D.4
3.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
[例2]
(1)(2019·贵阳模拟)等差数列{an}中,a2与a4是方程x2-4x+3=0的两个根,则a1+a2+a3+a4+a5=( )
A.6B.8
C.10D.12
(2)在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,则
的值为( )
A.-
B.-
C.
D.-
或
(3)在等差数列{an}中,已知a1=13,3a2=11a6,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为________.
1.(2019·蓉城名校第一次联考)若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=20,a4=6,则a2的值为( )
A.0B.1
C.2D.3
2.(2019·江西八所重点中学联考)已知数列{an}是等比数列,若ma6·a7=a
-2a4·a9,且公比q∈(
,2),则实数m的取值范围是( )
A.(2,6)B.(2,5)
C.(3,6)D.(3,5)
3.已知函数f(x)是R上的单调递增函数且为奇函数,数列{an}是等差数列,a3>0,则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值( )
A.恒为正数
B.恒为负数
C.恒为0
D.可以为正数也可以为负数
4.已知数列{an}满足an=
若对于任意的n∈N*都有an>an+1,则实数λ的取值范围是________.
等差(比)数列的判断与证明
[例3] (2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)证明:
{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
1.(2019·广州市调研测试)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a3=7,an=2an-1+a2-2(n≥2).
(1)证明:
数列{an+1}为等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式,并判断n,an,Sn是否成等差数列?
2.设Sn为数列{an}的前n项和,对任意的n∈N*,都有Sn=2-an,数列{bn}满足b1=2a1,bn=
(n≥2,n∈N*).
(1)求证:
数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)判断数列
是等差数列还是等比数列,并求数列{bn}的通项公式.
【课后通关练习】
A组
一、选择题
1.(2019·成都高三摸底考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4=
,S10=15,则a7=( )
A.
B.1
C.
D.2
2.(2019·福州市质量检测)已知数列{an}中,a3=2,a7=1.若数列
为等差数列,则a9=( )
A.
B.
C.
D.-
3.等比数列{an}的各项均为正实数,其前n项和为Sn.若a3=4,a2a6=64,则S5=( )
A.32B.31
C.64D.63
4.若等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6>S7>S5,则满足SnSn+1<0的正整数n的值为( )
A.10B.11
C.12D.13
5.(2019·江西临川期末)已知正项等比数列{an}满足a5·a6·a7=1,且f(x)=
若f(a1)+f(a2)+…+f(a10)=a1,则a1的值为( )
A.
B.e
C.2eD.1+e
6.(2019·石家庄市模拟
(一))已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1+Sn=
(n∈N*),若a10 A.9B.10 C.11D.12 二、填空题 7.(2019·长春市质量监测 (二))等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,a2+a3=10,S6=54,则该数列的公差d为________. 8.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=________. 9.(2019·山西太原期中改编)已知集合P={x|x=2n,n∈N*},Q={x|x=2n-1,n∈N*},将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an},记Sn为数列{an}的前n项和,则a29=________,使得Sn<1000成立的n的最大值为________. 三、解答题 10.(2019·北京高考)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值. 11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*). (1)求a1,a2,a3的值; (2)设bn=an+3,证明: 数列{bn}为等比数列,并求通项公式an. 12.(2019·武汉调研)已知等差数列{an}前三项的和为-9,前三项的积为-15. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若{an}为递增数列,求数列{|an|}的前n项和Sn. B组 1.(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{an}满足an+1-3an=3n(n∈N*)且a1=1. (1)设bn= ,证明: 数列{bn}为等差数列; (2)设cn= ,求数列{cn}的前n项和Sn. 2.(2019·昆明检测)已知数列{an}是等比数列,公比q<1,前n项和为Sn,若a2=2,S3=7. (1)求{an}的通项公式; (2)设m∈Z,若Sn 3.(2019·广州市综合检测 (一))已知{an}是等差数列,且lga1=0,lga4=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若a1,ak,a6是等比数列{bn}的前3项,求k的值及数列{an+bn}的前n项和. 4.已知数列{an}是等差数列,满足a2=5,a4=13,数列{bn}的前n项和是Tn,且Tn+bn=3. (1)求数列{an}及数列{bn}的通项公式; (2)设cn=an·bn,求数列{cn}中的最大项. 第2讲 数列通项与求和 [全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 2019 等比数列的求和·T14 递推公式的应用·T19 等差数列的前n项和·T14 2018 an与Sn关系的应用·T14 等差数列前n项和的最值问题·T17 2017 等差数列的基本运算、数列求和·T17 等比数列的通项公式、an与Sn的关系·T17 等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点.若以解答题的形式考查,常与解三角形问题交替考查且多出现在第17(或18)题的位置,难度中等,2020年高考此内容难度有可能加大,应引起关注.若以客观题考查,难度中等的题目较多,有时也出现在第12、16题的位置,难度偏大. 考点一an与Sn关系的应用 [例1] (1)(2019·成都第一次诊断性检测)设Sn为数列{an}的前n项和,且a1=4,an+1=Sn,n∈N*,则a5=________. (2)(2019·武汉市调研测试)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=3Sn-1+2n-3(n≥2),a1=-1,则a4=________. 1.已知数列{an}满足a1=1,an+1-2an=2n(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=________. 2.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=3an-2an-1(n≥2,n∈N*).设bn=an+1-an. (1)证明: 数列{bn}是等比数列; (2)设cn= ,求数列{cn}的前n项和Sn. 考点二数列求和 题型一 裂项相消求和 [例2] (2019·安徽五校联盟第二次质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn. 题型二 错位相减求和 [例3] (2019·福建五校第二次联考)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)令cn= ,求数列{cn}的前n项和Tn. 题型三 分组转化求和 [例4] 已知等差数列{an}的首项为a,公差为d,n∈N*,且不等式ax2-3x+2<0的解集为(1,d). (1)求数列{an}的通项公式an; (2)若bn=3 +an-1,n∈N*,求数列{bn}的前n项和Tn. 1.(2019·福建五校第二次联考)在数列{an}中,a1= , = ,n∈N*,且bn= .记Pn=b1×b2×…×bn,Sn=b1+b2+…+bn,则3n+1Pn+Sn=________. 2.已知数列{an}满足: a1=1,an+1= an+ . (1)设bn= ,求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和Sn. 3. 设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为其前n项和,已知S3=7,a1+3,3a2,a3+4构成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=an+lnan,求数列{bn}的前n项和Tn. 【课后专项练习】 A组 一、选择题 1.已知数列{an}满足 = ,且a2=2,则a4等于( ) A.- B.23 C.12D.11 2.数列{an}中,a1=2,a2=3,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),那么a2019=( ) A.1B.-2 C.3D.-3 3.(2019·广东省六校第一次联考)数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,bn=(-1)nan(n∈N*),则数列{bn}的前50项和为( ) A.49B.50 C.99D.100 4.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和是Sn,a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,且a4+a5=-20,则 的最大值为( ) A. B.1 C. D.2 5.若数列{an}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则 + +…+ + =( ) A. B. C. D. 6.已知数列{an}满足a1=1,an+1= (n∈N*),若bn+1=(n-λ) (n∈N*),b1=-λ,且数列{bn}是递增数列,则实数λ的取值范围为( ) A.(2,+∞)B.(-∞,2) C.(3,+∞)D.(-∞,3) 二、填空题 7.(2019·安徽合肥一模改编)设等差数列{an}满足a2=5,a6+a8=30,则an=________,数列 的前n项和为________. 8.设数列{an}满足a1=5,且对任意正整数n,总有(an+1+3)(an+3)=4an+4成立,则数列{an}的前2020项的和为________. 9.(2019·蓉城名校第一次联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,若an+ Sn=2,则a12=________. 三、解答题 10.(2019·江西七校第一次联考)数列{an}满足a1=1, =an+1(n∈N*). (1)求证: 数列{a }是等差数列,并求出{an}的通项公式; (2)若bn= ,求数列{bn}的前n项和. 11.(2019·唐山模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn= . (1)求an; (2)若bn=(n-1)an,且数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn. 12.(2019·河北省九校第二次联考)已知数列{an}为等比数列,首项a1=4,数列{bn}满足bn=log2an,且b1+b2+b3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令cn= +an,求数列{cn}的前n项和Sn. B组 1.(2019·江西八所重点中学联考)设数列{an}满足a1=1,an+1= (n∈N*). (1)求证: 数列 是等差数列; (2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn. 2.(2019·福建省质量检查)数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-n. (1)求证: 数列{an+1}是等比数列,并求an; (2)若数列{bn}为等差数列,且b3=a2,b7=a3,求数列{anbn}的前n项和. 3.(2019·郑州市第二次质量预测)数列{an}满足: + +…+ =n2+n,n∈N*. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn= ,数列{bn}的前n项和为Sn,求满足Sn> 的最小正整数n. 4.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=16.数列{bn}满足b1=2,b2=5,且{bn-an}是等差数列. (1)分别求{an},{bn}的通项公式; (2)记数列 的前n项和为Sn,求证: Sn< . 5.(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn= . (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由; (3)求{an}的通项公式. (2019·郑州市第二次质量预测)已知数列{an}中,a1=1,an>0,前n项和为Sn,若an= + (n∈N*,且n≥2). (1)求数列{an}的通项公式; (2)记cn=an·2 ,求数列{cn}的前n项和Tn.
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