基本不等式全题型docx.docx
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基本不等式全题型docx
题型1基本不等式正用a+b≥2ab
11
例1:
(1)函数f(x)=x+x(x>0)值域为________;函数f(x)=x+x(x∈R)值域为________;
(2)函数f(x)=x2+21的值域为________.
x+1
解析:
(1)
1
≥2
x·
1
x)(x>0)
值域为[2,+∞);
∵x>0,x+
x
=2,∴f(
x
当x∈R时,f(x)值域为(-∞,-2]∪[2,+∞);
(2)x2+2
1
=(x2+1)+
21
-1≥2
x2+1
·
21
-1=1,当且仅当x=0
时等号成立.
x
+
1
x+
1
x+
1
答案:
(1)[2
,+∞)(
-∞,-2]∪[2,+∞)
(2)[1
,+∞)
4.(2013·镇江期中)若x>1,则x+
4
-1的最小值为________.
x
解析:
x+
4
=x-1+
4
+1≥4+1=5.当且仅当x-1=
4
,即x=3时等号成立.答案:
5
x
-
1
x
-1
-
1
x
4
[例1]
(1)
已知x<0,则f(x)=2+x+x的最大值为________.
(1)
x
0
x
0
f(x)
2
4
x
2
4
-x
.
4
x)
44
x
4
x
∵
+
x
+
-
-x
∵-
x
(
-
≥2
=
-x
,即
<,∴-
>,∴
=
=
+
+
=,当且仅当-
=-2时等号成立.∴f(x)=2-
4
+
-x
≤2-4=-2,∴f(x)的最大值为-2.
-x
2x
例:
当x>0时,则f(x)=x2+1的最大值为________.
2x
2
2
1
解析:
(1)∵x>0,∴f(x)=x2+1=
1≤2=1,当且仅当x=x,即x=1时取等号.
x+
x
x2+2
3.函数y=x-1
(x>1)的最小值是________.
解析:
∵
x
>1,∴-1>0.∴
y
=
x2+2
x2-2x+2x+2x2-2x+1+2
x-1+3
x-1
2+2x-1
+3
-
=
=
=
=
x
x-1
x-1
x-1
x-1
x
3
3
3
1+
x
-1+2≥2
x-1
-1+2=2
3+2.当且仅当
x-1=
-1,即x=1+
3时,取等号.答案:
23+2
x
x
1
10.已知x>0,a为大于2x的常数,求y=a-2x-x的最小值.
1a-2x
a
1a
a
a-2
1
a
解:
y=a-2x+
2
-
2≥2
2-2=
2-2.当且仅当x=
2
时取等号.故
y=a-2x-x的最小值为
2-2.
a+b
题型2
基本不等式反用
ab≤2
例:
(1)
函数
f
(
x
)=
(1-
)(0<
x
<1)的值域为__________;
(2)函数
f
(
x
)=(1-2)0 1 的值域为__________. x x x x 2 x+ 1-x 2 1 1 解析: (1) ∵0 x(1-x)≤ 2 =4,∴f(x) 值域为 0, 4. 1 1 1 2+ 1-2 2 1 1 x x 0,8. (2)∵0 x(1-2x)=2×2x(1-2x)≤2· 2 =8,∴f(x) 值域为 1 1 答案: (1) 0,4 (2) 0,8 3.(教材习题改编)已知0 x的值为________. 1 1 9 3 1 1 解析: 由x(3-3x)=3×3x(3-3x)≤3×4=4,当且仅当 3x=3-3x,即x=2时等号成立.答案: 2 3.函数y=x 1-x2的最大值为________. 解析: x 1-x 2 x 2 1-x 2 x2+1-x2 1 = ≤ 2 =2. 4.已知0 x的值为 ( ) x+1-x2 3 1 解析 ∵0 2 =4.当x=1-x,即x=2时取等号.答案 B 10.已知 x >0, a 为大于2 x 的常数,求函数 y =(-2)的最大值; xa x 1 1 2+ a -2 x 2 a 2 a 解: ∵ x >0, a >2 ,∴ y = x ( a a x x -2)=×2( -2)≤× =,当且仅当 =时取等号,故函数 x x 2 x x 2 2 8 4 a2 的最大值为. 8 题型三: 利用基本不等式求最值 t2-4t+1 2.已知t>0,则函数y= t 的最小值为________. 2 t -4+1 1 t =t+t-4≥2-4=-2,且在t=1时取等号.答案 解析 ∵t>0,∴y= t -2 例: 当x>0时,则f(x)= 22x 的最大值为________. x +1 解析: ∵x>0,∴f(x)= 22x = 2≤2=1,当且仅当x=1,即 x=1时取等号. x+1 1 2 x x+x 1 x 2-3+1 求函数f(x)=x-3+x(x>3)的最小值; (2) x 例1: (1) 求函数f(x)= x-3 (x>3)的最小值; 思维突破: (1)“添项”,可通过减 3再加3,利用基本不等式后可出现定值. (2)“拆项”,把函数式变为 y=M+ a 的形式. M (1) ∵ >3,∴ -3>0.∴ ( x )= 1 +(-3)+3≥2 1 ·-3+3=5.当且仅当 1 = -3,即 =4时 x x f x-3 x x- 3 x x-3 x x 取等号,∴f(x)的最小值是5. t+3 2-3t+3 +1 1 1 (2) 令x-3=t,则x=t+3,且t> 0.∴f(x)= t =t +t +3≥2 t·t +3=5. 1 当且仅当t=t ,即t=1 时取等号,此时 x=4,∴当x=4时,f(x) 有最小值为5. 技巧总结: 当式子不具备“定值”条件时,常通过“添项”达到目的;形如 y= cx2+dx+f (a≠0,c≠0)的函数, ax+b p 一般可通过配凑或变量替换等价变形化为y=t+t(p为常数)型函数,要注意t的取值范围; 4 例: 设x>-1,求函数y=x+x+1+6的最小值; 解: ∵x>-1,∴x+1>0.∴y=x+ 4 +6=x+1+ 4 +5≥2 x+1 · 4 +5=9,当且仅当 x+1= 4 , x+ x+ x+ 1 1 x+1 1 即x=1时,取等号.∴当 x=1时,函数y的最小值是9. 1.若x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值是________. 解析 由于x>0,y>0,则x+y≥2xy,所以xy≤x+y 2=81,当且仅当x=y=9时,xy取到最大值 81. 答案 81 2 + x y 5.已知x,y∈R ,且满足3+4=1,则xy的最大值为_______________. x y xy x y 解析 ∵x>0,y>0且1=3+4≥2 12,∴xy≤3.当且仅当3=4时取等号.答案 3 6.(2013·大连期中)已知x,y为正实数,且满足 4x+3y=12,则xy的最大值为________. 4x=3y, x= 3 , 解析: ∵12=4 x +3 y ≥24×3,∴ xy ≤3.当且仅当 即 2 时 xy 取得最大值 3.答案: 3 x y 4x+3y=12, y=2 2.已知 >0,>0,且 =81,则 + n 的最小值为________. m n mn m 解析: ∵m>0,n>0,∴m+n≥2mn=18.当且仅当m=n=9时,等号成立.答案: 18 2 5 5.已知x>0,y>0,lg x+lg y=1,则z=x+y的最小值为________. 解析: 由已知条件lg x +lg y =1,可得 xy =10. 2 5 10 =2,故 2 + 5 min=2,当且仅
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