基本不等式全题型.docx
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基本不等式全题型.docx
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基本不等式全题型
题型1基本不等式正用a+b≥2ab
1
;函数f(x)=x+x(x∈R)值域为
1
例1:
(1)函数f(X)=X+x(x>0)值域为
1
⑵函数f(X)=X2+带的值域为
1
•X=2,∙f(x)(X>0)值域为[2,+∞);X
当x∈R时,f(x)值域为(一8,—2]U[2,+∞);
χ2+l
⑵X2+土=(X2+1)+Xr^-1≥2
X+1X+1
1
χ2+1-=1,当且仅当X=0时等号成立.
答案:
(1)[2,+∞)(-∞,-2]U[2,
4
4.(2013•镇江期中)若x>1,则X+x—■
+∞)
(2)[1,+∞)
的最小值为
444
解析:
X+X^=X-1+□+1≥4+1=5∙当且仅当X-1=口,即X=3时等号成立.答案:
4
[例1]
(1)已知XV0,贝Uf(x)=2+一+X的最大值为
X
(1)VXV0,∙∙∙-X>0,∙∙∙f(x)=2+X+X=2—I
—-+(—x)≥24=4,当且仅当一X=
X
=—2时等号成立.∙∙f(X)=2—J一一X+—X≤2—4=—2,∙f(X)的最大值为一2.
例:
当X>0时,则
解析:
(1)Vx>0,
2x
f(x)=■的最大值为.
X+1
2x221
∙f(X)=亍=Wf=1,当且仅当X=-,!
卩X=1时取等号.
X+112X
X+-
X
X2+2
3.函数y=X-^(X
>1)的最小值是
解析:
Vx>1,∙∙∙X-1>0.∙y=X^=/一2x+ix+2=X一2x+1+?
1x-1+3=X-21x-+3
X—1X—1X—1X—1
X-1
=X—
1+丄+2≥2
X—1
33
_1+2=23+2.当且仅当X—1=X—1,即X=1+.3时,取等号.
答案:
23+2
10.已知x>0,
1
a为大于2x的常数,求y=a—rX的最小值.
G1
解:
y=a—;+2
a—2xa
a≥2
1—2=√2—∣.当且仅当X=
aJ2时取等号.故y=~~—X的最小值为2—f.
2a—2x,2
号.
题型2基本不等式反用.ab≤
a+b
2
例:
(1)函数f(x)=x(1—x)(0 ; (2) 函数f(X)=x(1—2x)0 解析: (1)V0 卞+ I-X 2 2=1, ∙f(X)值域为∣0,^. 72x+1-2x ∙f(X)值域为;0,1∫ 答案: (1)0,1 ⑵3,8) 3.(教材习题改编)已知0 11 3x=3—3x,即X=2时等号成立.答案: 2 1193 解析: 由χ(3-3X)=35(3-3X)≤3×4=4,当且仅当 3.函数y=X寸1—χ2的最大值为. 2H2 4.已知0 113 A∙3B∙2c∙4 解析■/0 2 DE O31 2=.当X=1—X,即X=h寸取等号•答案B 42 10.已知x>0,a为大于2x的常数,求函数y=x(a—2x)的最大值; 11;2x+a—2x 解: tx>0,a>2x,∙∙∙y=x(a—2x)=^×2x(a-2x)≤^×2 12 2aa 2=,当且仅当X=: 时取等号,故函数 84 解析: X1—X2=X2[—X2≤x+一2_X—= ⑵令x—3=t,则X=t+3,且t>0.∙∙∙f(x)=亠 2-: {t+;! +1 t t∙t+3=5. 1 =t+1+3≥2 2 的最大值为—. 8 技巧总结: 当式子不具备“定值”条件时,常通过“添项”达到目的;形如 ex2+dx+fy=ax+b (a≠0,c≠0)的函数, 般可通过配凑或变量替换等价变形化为y=t+P(P为常数)型函数,要注意t的取值范围; 4 例: 设χ>-,求函数y=x+市+6的最小值; 即X=1时,取等号••••当X=1时,函数y的最小值是9. 1. 若x>0,y>0,且x+y=18,则Xy的最大值是 解析由于x>0,y>0,则X+y≥2Xy,所以xy≤ +Xy 5.已知X,y∈R,且满足3+4=1,贝UXy的最大值为 XV∕xyXV 解析∙∙∙x>0,y>0且1=3+4≥212,∙Xy≤3•当且仅当3=4时取等号.答案3 6. (2013•大连期中)已知X,y为正实数,且满足4x+3y=12,则Xy的最大值为 2.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为. 解析: τm>0,n>0,∙m+n≥2,mr=18.当且仅当m=n=9时,等号成立.答案: 18 25 5.已知x>0,y>0,IgX+Igy=1,贝UZ=x+-的最小值为 XV 解析: 由已知条件Igx+Igy=1,可得Xy=10.贝UX+V≥2XV=2,故l'∣+Vm^=2,当且仅当2y=5x时取等号.又XVYXy込y丿 Xy=10,即X=2,y=5时等号成立.答案: 2 ab (2012•天津高考)已知log2a+log2b≥1,贝U3+9的最小值为. a+2b 解析: 由log2a+l0g2b≥l得log2(ab)≥1,即卩ab≥2,∙3a+9b=3a+32b≥2×3二(当且仅当3a=32b,即Pa=2b时取等号).∙∙∙a+2b≥2.2ab≥4(当且仅当a=2b时取等号),∙3a+9b≥2×32=18.即当a=2b时,3a+9b有最小值18. 11 3.设X,y∈Ra>1,b>1,若ax=by=3,a+b=23,则一+-的最大值为( Xy A.2B.IC.1D.1 解析 由a=b=3,得: X=loga3,y=logb3, 11 由a>1,b>1知x>0,y>0,一+一=log3a+log3b=log3ab≤log Xy 2=1,当且仅当a=b=3时“=”成立,贝U的最大值为1.答案C VXy 6.(2011•湖南)设X,y∈R,且Xy≠0,则1X2+十)」占+4y21的最小值为. dy丿ι∙χ 解析1X2+~}l~+4y2=5+丿・+4x2y2≥5+2∖~h∙4x2y2=9,当且仅当χ2y2=1时“=”成立.答案9 ∖.yPxJXyVxy2 例: 若正数X,y满足x+3y=5xy,求Xy的最小值. 1212 解: ∙∙∙x>0,y>0,则5xy=X+3y≥2.x∙3y,∙Xy≥亦,当且仅当X=3y时取等号.∙Xy的最小值为亦. 即(xy)2—22Xy—6≥0, ∙(Xy—32)∙(Xy+2)≥0∙ 又τxy>0,∙Xy≥32,即Xy≥18. ∙Xy的最小值为18. 例: 已知x>0,y>0,X+2y+2xy=8,贝Ux+2y的最小值是 9 C.2 A.3 B.4 () 11 解析依题意,得(X+1)(2y+1)=9, ∙∙∙(x+1)+(2y+1)≥2 即X+2y≥4. x+1=2y+1, 当且仅当η ∣X+2y+2xy=8, ∙x+2y的最小值是4. 3.若X,y∈(0,+∞),x+2y+Xy=30. X+12y+1 X=2,即’ y=1 时等号成立. (1)求Xy的取值范围; (2)求x+y的取值范围. 解: 由X+2y+Xy=30,(2+x)y=30—X, 则2+x≠0,y=30■二X>0,0VXV30. 2+X 2 —X+30x (I)Xy=卞 2 —X—2x+32x+64—64 x+2 =—X—旱+32 x+2 =—丨χ+2 +-+r+34≤18,当且仅当 X+2 X=6时取等号, 因此Xy的取值范围是(0,18]. 30—X32 ⑵X+y=x+3+X=x+X+2—1 =x+2+x+2—3≥8√2—3,当且仅当J X十2 X=欝2,时,y=4农—1 等号成立,又X+y=x+2+X+吕一3v30,因此X +y的取值范围是[82—3,30). 例: 已知 解析: ••• 216 a>b>0,则a+b—a—b的最小值是 jb+a-b2a I2丿— a>b>0,∙∙∙b(a—b)≤ 4' 当且仅当 a=2b时等号成立. 16216264 ≥a+p=a+飞aa 4 264 ≥2.'aa2=16, 当且仅当a=22时等号成立. __16 •••当a=22,b=2时,a2+齐k取得最小值16∙ 2 &设x,y,Z为正实数,满足X—2y+3z=0,则XZ的最小值是 XZ X+3z 解析: 由已知条件可得y=—, +9z+6 答案: 3 答案: 2 2 1•已知关于X的不等式2x+≥7在X∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为 X—a 22 解析: 因为x>a,所以2x+=2(x—a)++2a≥2 XaXa 33 以a≥3■,即a的最小值为 答案: 2 5.圆X2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax—by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围是 答案A 解析由题可知直线2ax—by+2=0过圆心(—1,2),故可得a+b=1,又因ab≤ 号2=4(a=b时取等号). 故ab的取值范围是 1 ——∞— 典例: (12分)已知a、b均为正实数,且a+b=1,求y=Ja+1⅛+1! 的最小值. 易错分析在求最值时两次使用基本不等式,其中的等号不能同时成立,导致最小值不能取到. 审题视角⑴求函数最值问题,可以考虑利用基本不等式,但是利用基本不等式,必须保证“正、定、等”, 而且还要符合已知条件. (2)可以考虑利用函数的单调性,但要注意变量的取值范围. 规范解答 又f(t)=t÷t在0,4 1331 二当t=4时,f(t)min=—,此时,a=b=2 125 •••当a=b=2时,y有最小值—.[12分] 温馨提醒 (1)这类题目考生总感到比较容易下手•但是解这类题目却又常常出错. (2)利用基本不等式求最值, 一定要注意应用条件: 即一正、二定、三相等•否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错•(3)本题出 错的原因前面已分析,关键是忽略了等号成立的条件 方法与技巧 1•基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的 大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点. 2•恒等变形: 为了利用基本不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形.比如: 11 (1)当x>2时,x÷—-=(X-2)÷—■÷2≥2÷2=4. X—2X—2 81 (2)0 失误与防范 1•使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. 2.在运用重要不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的 条件. 3•连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 题型四: 利用基本不等式整体换元 例2: 若正数a,b满足ab=a÷b÷3,求ab及a÷b的取值范围. 思维突破: 本题主要考查均值不等式在求最值时的运用,并体现了换元法、构造法等重要思想∙自主解答: 方法一: 由ab=a+b+3≥2∕ab+3, 即ab—2ab-3≥0.即(Iab-3)(ab+1)≥0. °∙°∙jab≥O,∙°∙-∙,.∣ab+1≥1. 故ab-3≥0,∙ab≥9. a+b2 丁 当且仅当a=b=3时取等号. 又∙.∙ab≤―2-,∙ab=a+b+3≤ 当且仅当a=b=3时取等号. 即(a+b)2-4(a+b)-12≥0, (a+b—6)(a+b+2)≥0. a+b+2>0,有a+b—6≥0,即卩a+b≥6. ∙a+b的取值范围是[6,+∞). a+3 万法二: 由ab=a+b+3,则b=尸. 4a44 ab=a+尸=a+4+尸=a-1+尸+5 ≥2a-a-1+5=9, 当且仅当a=b=3时取等号. ∙ab的取值范围是[9,+∞). a+3 由ab=a+b+3,得b=- a-1 a+344 a+b=a+尸=a+1+百=(a-I)+O-! +2 2b. a .a b =3+2b+a≥3+2ab =3+22. 当且仅当a=b=3时取等号. 易错点评: 多次利用基本不等式解题,没有考虑等号能否同时成立。 在解题过程中先后两次用到了重要不等式,第一次等号成立的条件是“当且仅当条件是“当且仅当1=b时”;这显然不可能同时成立,因此等号取不到. a=2b ;而第二次等号成立的 4.(2012 24A.? •浙江)若正数X,y满足X+3y=5xy,则3x+4y的最小值是() 28 B.28 C.5 D.6 91 解析: •••-+y=1, •••当X=12,y=4时,χ+y有最小值为16. .∙∙x+y=(x+y)• 16xy 答案 解析 ∙∙∙x>0,y>0,由x+3y=5xy得芻+X.丿=1∙ 1,∙13> ∙∙∙3x+4y=5(3x+4y)-+X 13x12y =+4+9+I 3x12y yX ∙3X+4y的最小值为 19 5. ), 5yX 1313x12y131 =—++A-+-×2 55yX55 =5(当且仅当X=2y时取等号 11.(2013•泉州模拟)正数x,y满足-+=1. Xy (1)求Xy的最小值; (2)求x+2y的最小值. 19H919 解: ⑴由1=x+-A2∖∕x•—得XyA36,当且仅当X=y,即y=9x=18时取等号,故Xy的最小值为36. (2)由题意可得X+2y=(X+2y)'-+9=19+勿+9xA19+2气∕2y•岂=19+&J2,当且仅当空=姿,即卩9χ2XyXyXyXy =2y2时取等号,故X+2y的最小值为19+62. 3.函数y=Ioga(χ+3)—1(a>0,且a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx÷ny+1=0上,其中mn均大于 12 0,^+-的最小值为() 'mn A.2B.4C.8D.16 答案C 解析点A—2,—1),所以2m÷n=1. 12/12、n4m11 所以m+n=(2m+n)為+n=4+m+^nA8,当且仅当n=2m即m=4,n=2时等号 成立. 一14一一 [典例](2011•重庆高考)已知a>0,b>0,a+b=2,贝Uy=^+£的最小值是. a+b [尝试解题]∙∙∙a+b=2,∙—厂=1. 1+S=(1+4)韵 52ab =2+b+亦 =9当且仅当2a=2a,即b=2a时,等号成立. 149 故y=一+二的最小值为^. ab2 [易错提醒] 解答本题易两次利用基本不等式,如: ∙∙∙a>0,b>0,a+b=2,∙ab≤(a+b)=1. 4 又ab≤1,「•y≥4 1=4. 又y=∖f(1,a)+∖f(4,b)≥2 但它们成立的条件不同,一个是a=b,另一个是b=4a.这显然是不能同时成立的,故不正确 .要利用基本不 使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视 等式求最值,这三个条件缺一不可 在运用基本不等式时,还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件 a,b满足a+b=1,求证: 题型五: 利用基本不等式证明简单不等式例3: 已知正数 (1)ab≤£ (2) a2+b2≥2 11 (3)a+b≥4;(4) (1+1)(1+讣9. 111 1 f(X)=x+X”函数的单调性• (5)a+b+ab≥8; ⑵••• 互≥a±b=1a2+ 222, b2≥1. 2 =4. a -=4b4. ba ab 4. 11111λ, ⑶万去一: 1+b=(a+b)『G 11 、、丄11I--I"一 万法二: a+1=(a+b)E+b=1+a+b+1≥2+ 一一ab/ 方法三: 右+b≥2a∙2≥2^4=4j∙ab≤ 1111 +-=匚+一+二+1≥9. babab (4)1+ 方法一■/a>0,b>0,a+b=1, d1da+beb ∙∙∙1+a=1+^=2+a 1a 同理,1+b=2+b, b=2+ .∙∙1+a1+ a ≥5+4=9. b ∙∙∙1+aj1+b≥9(当且仅当a=b=1时等号成立). =5+2 1 ∙∙∙ab≤4. 1 1+a 111由(5)知,a+b+ab≥8, 1111=1+一+匚+飞≥9 babab 方法 111 1+a+b+ab. 故1+a1+ 11111a+b ⑸a+b+ab=a+b+苛 =21+1 =2a+b, ■/a+b=1,a>0,b>0, 11a+ba+bbec •a+匚=^+-^=2+b+a≥2+2=4,ababba 1111 •a+^+品≥8(当且仅当a=b=2时等号成立)• 【例1】已知x>0,y>0,z>0. IVZ 求证: 一+一 IXX ZX+y≥8 yZ+Z≥8. 思维启迪: 由题意,先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质即可得证. …EyZ2λ∫yZXZ2』XZ 证明■/X>0,y>0,z>0,∙∙∙'+-≥>0,+-≥>0, XXXyyy Xy2xy —+>≥>0, ZZZ •y+Zx+Z ■■X+Xy+y≥8√yZ∙√xz∙√Xy=8 XyZ 当且仅当X=y=Z时等号成立. 探究提高利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况, 证明思路是从已证不等式和问题的已 知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题. 变」: 订临1已知a>o,b>0,c>0,且a+b+C=1. 亠、111 求证: 一+匸+-》9. abc 证明τa>0,b>0,c>0,且a+b+C=1, 111a+b+Ca+b+Ca+b+CbCaCab abcabCaabbCC ab 1 =9,当且仅当a=b=C=3时,取等号. Cb+ 3+2+2+2 题型六: 基本不等式的实际应用 【例3某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度X不得超 过5m房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5800 元,如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用•当侧面的长度为多少时,总造价最低? 思维启迪: 用长度X表示出造价,利用基本不等式求最值即可•还应注意定义域0 是否在定义域内,若不在定义域内,不能用基本不等式求最值,可以考虑单调性. 12 解由题意可得,造价y=3(2X×150+—×400)+5800 =900x+乎+5800(0 则Y=900X+16+5800 16一 ≥900X2、x×-χ+5800=13000(兀), 当且仅当X=16,即卩X=4时取等号. X 故当侧面的长度为4米时,总造价最低. 变心I姝3(2011•北京)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产X件,贝U平均 X 仓储时间为8天,
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