几何概型练习题.docx
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几何概型练习题.docx
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几何概型练习题
几何概型练习题
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥A1-ABC内的概率是()
A.16mB.20mC.8mD.10m
5.一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当某人到达路
口时,看见的是红灯的概率是;看见的不是黄灯的概率是.
6.取一根长度为4m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段都不少于1m的概率是.
7.点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧的长度小于1的概
率_
8.已知如图所示的矩形,长为12,宽为5,在矩形内随机地投掷1000粒黄豆,落在阴影部分的黄豆
为600粒,则可以估计出阴影部分的面积为
9.点P在边长为1的正方形ABCD内运动,则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率为.
10.利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1<0”发生的概率
为.
11.一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行,某时刻该蚂蚁
距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为.
12.在一个球内挖去一个几何体,其三视图如图.在球内任取一点P,则点
落在剩余几何体上的概率为.
13.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段
AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为.
10毫升,含有麦锈病种子的概率
14.在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出
;从中随机取出30毫升,含有麦锈病种子的概率是
3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体
的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为
1
16.在区间[,]上随机取一个数x,cosx的值介于0至2之间的概率为
222
17.如图所示,设M是半径为R的圆周上一个定点,在圆周上等可能地任取一点N,
连接MN,则弦MN的长超过2R的概率为.
18.如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇
形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是.
19.已知正三棱锥S-ABC的底边长为4,高为3,在三棱锥内任取一点P,使得
1
VP-ABC<2VS-ABC的概率是
120.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M,求使四棱锥M-ABCD的体积小于
6的概率.
21.
(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点,过该点作垂直于直径的弦,其长度超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少
(2)在半径为1的圆内任取一点,以该点为中点作弦,问其长超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少(3)在半径为1的圆周上任取两点,连成一条弦,其长超过该圆内接正三角形边长3的概率是多少
23.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求方程有实根的概率.
24.设AB=6,在线段AB上任取两点(端点A,B除外),将线段AB分成了三条线段,
(1)若分成的三条
(2)若分成的三条线段的长度均为
A1-ABC内的概率是(
线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率;
正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率.
答案:
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥
1
A.3
11
B.C.D
62
1
.4
[答案]
B
[解析]
体积型几何概型问题.
VA1-ABC1
P==.
P=VABC-DA1B1C1D1=6
2.如图,在一个边长为a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底边分别为3a与2a,高为
32
b.向该矩形内随机地投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为()
故所投的点落在梯形内部的概率为
5
ab
S梯形125
P===.
S矩形ab12
3.(2013~2014·山东济南模拟)在区间[0,1]内任取两个数,则这两个数的平方和也在[0,1]内的
概率是()
[答案]A
1
[0,1]内的点在4单位圆内(如阴影部分所示),故所求概率为
1
π
4π
4.某人从甲地去乙地共走了500m,途中要过一条宽为xm的河流,他不小心把一件物品丢在途
=20(m).
二、填空题
5.一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当某人到达路
口时看见的是红灯的概率是.
解析以时间的长短进行度量,故P=30=2.
755
答案2
5
6.取一根长度为4m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段都不少于1m的概率是.
2解析把绳子4等分,当剪断点位于中间两部分时,两段绳子都不少于1m,故所求概率为P==
4
2解析如图可设与的长度等于1,则由几何概型可知其整体事件是其周长3,则其概率是3.
3答案23
8.已知如图所示的矩形,长为12,宽为5,在矩形内随机地投掷1000粒黄豆,落在阴影部分的黄豆为600粒,则可以估计出阴影部分的面积为.
600S
解析设所求的面积为S,由题意,得1000=5×12,则S=36.
答案36
9.(2014·长沙联考)点P在边长为1的正方形ABCD内运动,则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率
为.
解析如图,满足|PA|≤1的点P在如图所示阴影部分运动,则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的
12
×π×12
4=π
1×1=4
π
答案
4
10.(2013·福建)利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1<0”发生的概率为
[答案]2
[解析]如图所示,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,
则△ABC的周长为3+4+5=12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A,
DE+FG+MN3+2+11
则P(A)=BC+CA+AB=12=2.
12.在一个球内挖去一个几何体,其三视图如图.
在球内任取一点P,则点P落在剩余几何体上的概率为
[答案]
53
125
[解析]
由三视图可知,该几何体是球与圆柱的组合体,球半径R=5,圆柱底面半径r=4,高h
=6,故球体积V=43πR=5030,圆柱体积V1=πr·h=96π,
33
13.(2012·辽宁卷改编)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,
CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为.
解析设AC=xcm,0
2
答案23
则P(B)=1000
=,即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为
6个表面
15.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体
的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为.
解析由已知条件,可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行,结合几何概型,可得蜜蜂“安131
全飞行”的概率为P=33=27.
答案217
ππ1
16.(2014·淮安模拟)在区间-2,2上随机取一个数x,cosx的值介于0至2之间的概率为
答案13
17.如图所示,设M是半径为R的圆周上一个定点,在圆周上等可能地任取一点N,连接MN,则弦MN
的长超过2R的概率为
解析如图,在圆上过圆心O作与OM垂直的直径CD,则MD=MC=2R,当点N不在半圆
πR1弧上时,MN>2R,故所求的概率P(A)==.
2πR2
答案1218.(2012·湖北卷改编)如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在
扇形OAB内随机取一点,
则此点取自阴影部分的概率是
11π
解析如图,设OA=2,S扇形AOB=π,S△OCD=2×1×1=2,S扇形OCD=4,∴在以OA为直径的半圆中,
ππ1π-1×22
空白部分面积S1=2-24-2=1,所有阴影面积为π-2.故所求概率P=π=1-π.
答案
2
1-
π
解析
三棱锥P-ABC与三棱锥S-ABC的底面相同,
VP-ABC<12VS-ABC就是三棱锥P-ABC的高小于三棱
锥S-ABC的高的一半,过高的中点作一平行底面的截面,这个截面下任取一点都符合题意,设底
面ABC的面积为S,三棱锥S-ABC的高为h,则所求概率为:
P=
1111
3Sh-3×4S×2h
1
13Sh
7
8.
7
答案78
三、解答题
20.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M,求使四棱锥M-ABCD的体积
小于16的概率.
6
[分析]由题目可获取以下主要信息:
①正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M为其内一点;
1
②求四棱锥M-ABCD的体积小于的概率.
解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型.
[解析]如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,设M-ABCD的高为h
11
则×S四边形ABCD×h<,
36
又S四边形ABCD=1,
1
V正方体
12则h<,即点M在正方体的下半部分.故所求概率P=
2V正方体
21.
(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点,过该点作垂直于直径的弦,其长度超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少
(2)在半径为1的圆内任取一点,以该点为中点作弦,问其长超过该圆内接正三角形的边长3的
概率是多少
(3)在半径为1的圆周上任取两点,连成一条弦,其长超过该圆内接正三角形边长3的概率是多
少
[解析]
(1)设事件A=“弦长超过3”,弦长只与它跟圆心的距离有关,11
∵弦垂直于直径,∴当且仅当它与圆心的距离小于2时才能满足条件,由几何概率公式知P(A)=2.
1
(2)设事件B=“弦长超过3”,弦被其中点惟一确定,当且仅当其中点在半径为2的同心圆内时,
1才能满足条件,由几何概率公式知P(B)=4.
(3)设事件C=“弦长超过3”,固定一点A于圆周上,以此点为顶点作内接正三角形ABC,显然
只有当弦的另一端点D落在上时,才有|AD|>|AB|=3,由几何概率公式知P(C)=13.
22.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是从区间[0,3]任取的一个数,
区间[0,2]任取的一个数,求方程有实根的概率.
解设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.
12
3×2-×22
2P(A)=3×2
试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},构成事件A的区域为{(a,
b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},根据条件画出构成的区域(略),可得所求的概率为
2
=3.
23.设AB=6,在线段AB上任取两点(端点A,B除外),将线段AB分成了三条线段,
(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率;
(2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率.
解
(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4;1,2,3;
1
2,2,2,共3种情况,其中只有三条线段长为2,2,2时能构成三角形,故构成三角形的概率为P=3.
(2)设其中两条线段长度分别为x,y,则第三条线段长度为6-x-y,故全部试验结果所构成的区域为
所表示的平面区域为△OAB.
若三条线段x,y,6-x-y能构成三角形,
x+y>6-x-y,
则还要满足x+6-x-y>y,
y+6-x-y>x,
x+y>3,
即为y<3,
x<3,
所表示的平面区域为△DEF,
由几何概型知,所求概率为
S△DEF1P==.
S△AOB4
1.
2.
答案12
7.点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧的长度小于1的概
率为.
1
[答案]3[分析]解不等式,求出a的取值范围,算出此范围与所给区间的比值即可.
1
[解析]由题意,得0 率为13. 11.一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的三个 顶点的距离均超过1的概率为. 1 ABC
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