人教版数学七年级上册单元教案第三章《一元一次方程》.docx
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人教版数学七年级上册单元教案第三章《一元一次方程》
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
01 教学目标
1.能根据题意用字母表示未知数,然后分析出等量关系,再根据等量关系列出方程.
2.理解方程、一元一次方程的定义及解的概念.
3.掌握检验某个数值是不是方程的解的方法.
02 预习反馈
阅读教材P78~80,完成下列内容.
1.含有未知数的等式叫方程.
2.只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.
3.解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.
4.判断下列各题是不是一元一次方程,是打“√”,不是打“×”.
(1)x+3=4;(√)
(2)42x+13=6-y;(×)
(3)
=6;(×)
(4)2x-8>-10.(×)
5.根据下面实际问题中的数量关系,设未知数列出方程:
(1)练习本每本0.8元,小明拿了10元钱买了若干本,还找回4.4元.问:
小明买了几本练习本?
解:
设小明买了x本,列方程得:
0.8x=10-4.4.
(2)长方形的周长为24cm,长比宽多2cm,求长和宽分别是多少.
解:
设长为xcm,则宽为(x-2)cm,依题意得方程:
2(x+x-2)=24.
03 名校讲坛
例1 (教材补充例题)下列方程是一元一次方程的是(B)
A.x2+x=5B.x+
=4C.x+y=7D.
=2
【点拨】 一元一次方程的四个组成要素:
(1)含有一个未知数;
(2)未知数的次数是1;
(3)是方程;
(4)等号两边都是整式.
【跟踪训练1】 (《名校课堂》3.1.1习题)已知式子:
①3-4=-1;②2x-5y;③1+2x=0;④6x+4y=2;⑤3x2-2x+1=0,其中是等式的有①③④⑤,是方程的有③④⑤.
例2 (教材补充例题)检验下列方程后面括号内的数是不是方程的解.
(1)3x-1=2(x+1)-4;(x=-1)
(2)
=3(x-2).(x=
)
解:
(1)把x=-1代入方程,左边=-3-1=-4,
右边=2(-1+1)-4=-4,
则左边=右边.
故x=-1是方程的解.
(2)把x=
代入方程,左边=
=
=-1,
右边=3(
-2)=-5,
左边≠右边,
则x=
不是方程的解.
【点拨】 判断一个数是不是某个方程的解的方法:
根据方程的解的定义,只要用这个数代替方程中的未知数,看方程左右两边的值是否相等即可,如果左边=右边,那么这个数就是方程的解;否则,这个数就不是方程的解.
【跟踪训练2】 (《名校课堂》3.1.1习题)检验下列各题括号内的值是否为相应方程的解:
(1)2x-3=5(x-3){x=6,x=4};
解:
x=6不是方程的解,
x=4是方程的解.
(2)4x+5=8x-3{x=3,x=2}.
解:
x=3不是方程的解,
x=2是方程的解.
例3 (教材P79例1)根据下列问题,设未知数并列出方程:
(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少?
(2)一台计算机已使用1700h,预计每月使用150h,经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h?
(3)某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人,这个学校有多少学生?
解:
(1)设正方形的边长为xcm.
列方程 4x=24.
(2)设x月后这台计算机的使用时间达到2450h,那么在x月里这台计算机使用了150xh.
列方程 1700+150x=2450.
(3)设这个学校的学生数为x,那么女生数为0.52x,男生数为(1-0.52)x.
列方程 0.52x-(1-0.52)x=80.
【点拨】 设未知数,找等量关系,用方程表示简单实际问题中的相等关系.
【跟踪训练3】 (《名校课堂》3.1.1习题)根据题意列出方程:
(1)《文摘报》每份0.5元,《信息报》每份0.4元,小刚用7元钱买了两种报纸共15份,他买的两种报纸各多少份?
(2)水上公园某一天共售出门票128张,收入912元,门票价格为成人每张10元,学生可享受六折优惠.这一天出售的成人票与学生票各多少张?
解:
(1)设买《文摘报》x份,则买《信息报》(15-x)份,根据题意列方程,得
0.5x+0.4(15-x)=7.
(2)设出售成人票x张,则出售学生票(128-x)张,根据题意列方程,得
10x+60%×10×(128-x)=912.
04 巩固训练
1.下列方程的解为x=2的是(C)
A.5-x=2B.3x-1=4-2x
C.3-(x-1)=2x-2D.x-4=5x-2
2.在2+1=3,4+x=1,y2-2y=3x,x2-2x+1中,一元一次方程有(A)
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.“一个数比它的相反数大-4”,若设这个数是x,则可列出关于x的方程为(B)
A.x=-x+4B.x=-x+(-4)
C.x=-x-(-4)D.x-(-x)=4
4.小丁今年5岁,妈妈今年30岁,几年后,妈妈的年龄是小丁的2倍?
设x年后,妈妈的年龄是小丁的2倍,则x年后小丁的年龄为(x+5)岁,妈妈的年龄为(x+30)岁.根据题意列出方程为2(x+5)=(x+30).
05 课堂小结
1.方程及一元一次方程的定义.
2.如何列方程,什么是方程的解.
3.1.2 等式的性质
01 教学目标
1.了解等式的两条性质.
2.会用等式的性质解简单的一元一次方程.
02 预习反馈
阅读教材P81~82,完成下列内容.
1.等式的性质1:
等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.如果a=b,那么a±c=b±c.
2.等式的性质2:
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么
=
.
3.已知a=b,请用“=”或“≠”填空:
(1)3a=3b;
(2)
=
;(3)-5a=-5b.
4.利用等式的性质解下列方程:
(1)x-9=6;
(2)-0.2x=10.
解:
(1)x=15.
(2)x=-50.
03 名校讲坛
例1 (教材补充例题)
(1)若m+2n=p+2n,则m=p,依据等式的性质1等式两边都减去2n;
(2)若2a=2b,则a=b,根据等式的性质2,等式两边都除以2.
【点拨】 利用等式的性质对等式进行恒等变形的“三点注意”:
(1)等式性质1和等式性质2是等式恒等变形的重要依据;
(2)利用等式的性质1,等式的两边必须同加或同减一个数(或式子);
(3)利用等式的性质2,等式两边必须同乘或同除以一个不为0的数.
【跟踪训练1】 (《名校课堂》3.1.2习题)说出下列各等式变形的依据:
(1)由x-5=0,得x=5;
解:
根据等式的性质1,等式两边同时加5.
(2)由-
=10,得y=-30;
解:
根据等式的性质2,等式两边同时乘-3.
(3)由2=x-3,得-x=-3-2.
解:
根据等式的性质1,等式两边同时减(x+2).
例2 (教材P82例2)利用等式的性质解下列方程:
(1)x+7=26;
(2)-5x=20;(3)-
x-5=4.
分析:
要使方程x+7=26转化为x=a(常数)的形式,需去掉方程左边的7,利用等式的性质1,方程两边减7就得出x的值,你可以类似地考虑另两个方程如何转化为x=a的形式.
解:
(1)两边减7,得
x+7-7=26-7.
于是x=19.
(2)两边除以-5,得
=
.
于是x=-4.
(3)两边加5,得
-
x-5+5=4+5.
化简,得-
x=9.
两边乘-3,得
x=-27.
【点拨】 利用等式的性质解一元一次方程ax+m=n的步骤:
(1)利用等式性质1将已知方程化为ax=b的形式(即方程左边只含未知项,右边是常数);
(2)利用等式的性质2将方程ax=b(a≠0)化为x=
的形式(即方程左边未知数的系数是1,右边是常数).
【跟踪训练2】 (《名校课堂》3.1.2习题)利用等式的性质解方程:
(1)8+x=-5;
解:
两边减8,得x=-13.
(2)4x=16;
解:
两边除以4,得x=4.
(3)3x-4=11.
解:
两边加4,得3x=15.
两边除以3,得x=5.
04 巩固训练
1.方程-6x=3的两边都除以-6,得(C)
A.x=-2B.x=
C.x=-
D.x=2
2.下列结论中,正确的是(B)
A.在等式3a-6=3b+5的两边都除以3,可得等式a-2=b+5
B.如果2=-x,那么x=-2
C.在等式5=0.1x的两边都除以0.1,可得等式x=0.5
D.在等式7x=5x+3的两边都减去x-3,可得等式6x-3=4x+6
3.如果am=an,那么下列等式不一定成立的是(C)
A.am-3=an-3B.5+am=5+an
C.m=nD.0.5am=0.5an
4.利用等式的性质解下列方程:
(1)-
-3=5;
(2)3x+6=31+2x.
解:
(1)a=-16.
(2)x=25.
05 课堂小结
1.等式有哪些性质?
2.应用等式的性质对等式进行变形时的注意点:
(1)等式两边都要参加运算,并且是做同一种运算;
(2)等式两边加、减、乘、除的数或式子一定相同;(3)0不能作除数;(4)不能像算式那样写连贯的等号.
3.2 解一元一次方程
(一)——合并同类项与移项
第1课时 利用合并同类项解一元一次方程
01 教学目标
经历把方程等号两边分别合并同类项的过程,能用合并同类项解一元一次方程.
02 预习反馈
阅读教材P86~87“问题1及例1”,完成下列内容.
1.形如“ax+bx=c”的方程,先合并同类项,再把未知数系数化为1.
2.补全下列解方程的过程:
(1)6x-x=4;
解:
合并同类项,得5x=4.
系数化为1,得x=
.
(2)-4x+6x-0.5x=-0.3.
解:
合并同类项,得1.5x=-0.3.
系数化为1,得x=-
.
03 名校讲坛
例 (教材P87例1变式)解下列方程:
(1)
+x+2x=140;
(2)3x-1.3x+5x-2.7x=-12×3-6×4.
解:
(1)x=40.
(2)x=-15.
【点拨】 用合并同类项解一元一次方程的步骤:
(1)合并同类项,把原方程化为ax=b(a≠0)的形式;
(2)系数化为1,若合并后未知数的系数是1,则没有这个步骤.
系数化为1的技巧:
①若未知数的系数是不等于0和1的整数,则方程两边除以这个整数;
②若未知数的系数是分数
,则方程两边乘它的倒数,即乘
;
③若未知数的系数是带分数(小数),则先化为假分数(分数),再按情形②处理.总之,不要一律地除以未知数的系数,要视具体情况灵活处理.
【跟踪训练】 (《名校课堂》3.2第1课时习题)解下列方程:
(1)6x-5x=3;
解:
合并同类项,得x=3.
(2)-x+3x=7-1;
解:
合并同类项,得2x=6.
系数化为1,得x=3.
(3)
+
=9;
解:
合并同类项,得3x=9.
系数化为1,得x=3.
(4)6y+12y-9y=10+2+6.
解:
合并同类项,得9y=18.
系数化为1,得y=2.
04 巩固训练
1.对于方程8x+6x-10x=6进行合并正确的是(C)
A.3x=6B.2x=6C.4x=6D.8x=6
2.方程18x-3x+5x=11的解是(C)
A.x=
B.x=-
C.x=
D.x=
3.方程10x-2x=6+1两边合并后的结果为8x=7,其解为x=
.
4.解下列方程:
(1)-10x-6x=-7+15;
(2)
x-
x=-
;
(3)
x-
x=-7-6;(4)-
y-3y=
-2.
解:
(1)x=-
.
(2)x=
.(3)x=52.(4)y=-
.
05 课堂小结
1.你今天学习的解方程有哪些步骤?
合并同类项,系数化为1(等式的性质2).
2.合并同类项即是将方程中含未知数的项和常数项分别合并,系数化为1的依据是等式的性质2.
第2课时 利用合并同类项解一元一次方程的实际问题
01 教学目标
经历用“总量=各部分量的和”这一基本关系列一元一次方程解决实际问题的过程,掌握一元一次方程的简单应用.
02 预习反馈
阅读教材P86“例1”,完成下列内容.
学校机房今年和去年共购置了100台计算机,已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍,求今年购置计算机的数量.
解:
设今年购置计算机x台,则去年购置计算机
x台.根据题意,得x+
x__=100,解得x=75.
答:
今年购置计算机75台.
03 名校讲坛
例 (教材P86例1变式)中国某明星与麦当劳公司签约,该明星作为麦当劳的形象代言人,三年获酬金1400万美元,若前一年的酬金是后一年的一半,且不考虑税金,则他第一年应得酬金多少万美元?
解:
设该明星第一年的酬金为x万美元,则第二年的酬金为2x万美元,第三年的酬金为4x万美元,由题意,得
x+2x+4x=1400,即7x=1400.
等式两边都除以7,得x=200.
答:
该明星第一年应得酬金200万美元.
【点拨】
【跟踪训练】 (《名校课堂》3.2第2课时习题)麻商集团三个季度共销售冰箱2800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍,第三个季度销售量是第一个季度的2倍,试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?
解:
设麻商集团第二个季度销售冰箱x台,则第一个季度销售量为2x台,第三个季度销售量为4x台.根据总量等于各分量的和,得
x+2x+4x=2800.解得x=400.
答:
麻商集团第二个季度销售冰箱400台.
04 巩固训练
1.已知某数的3倍与这个数的2倍的和是30,求这个数.
解:
设这个数是x.
根据题意,得3x+2x=30.
解得x=6.
答:
这个数是6.
2.据某统计数据显示,在我国的700座城市中,按水资源情况可分为三类:
暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市,其中,暂不缺水城市数是严重缺水城市数的4倍,一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍,求严重缺水的城市有多少座?
解:
设严重缺水的城市有x座.
根据题意,得4x+2x+x=700.
解得x=100.
答:
严重缺水的城市有100座.
3.蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿,现有蜘蛛、蜻蜓若干只,它们共有120条腿,且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍,蜘蛛、蜻蜓各有多少只?
解:
设蜘蛛有x只,则蜻蜓有2x只,根据题意,得
8x+6×2x=120.
解得x=6.
所以蜻蜓有:
6×2=12(只).
答:
蜘蛛有6只,蜻蜓有12只.
05 课堂小结
如何列方程?
分哪些步骤?
(1)设未知数;
(2)分析题意找出等量关系;
(3)根据等量关系列方程.
第3课时 利用移项解一元一次方程
01 教学目标
1.经历利用等式的性质解一元一次方程的过程,通过观察、比较、归纳出移项的法则.
2.能用移项解一元一次方程.
02 预习反馈
阅读教材P88~89“问题2及例3”,完成下列内容.
1.把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.
2.补全下列解方程的过程:
(1)5x-8=-3x-2;
解:
移项,得5x+3x=-2+8.
合并同类项,得8x=6.
系数化为1,得x=
.
(2)3x+7=32-2x.
解:
移项,得3x+2x=32-7.
合并同类项,得5x=25.
系数化为1,得x=5.
03 名校讲坛
例1 (教材P89例3变式)解下列方程:
(1)x-2=3-x;
(2)-x=1-2x;
(3)x-2x=1-
x;
(4)x-3x-1.2=4.8-5x.
解:
(1)x=
.
(2)x=1.(3)x=-3.(4)x=2.
【点拨】 移项时要改变项的符号,通常把含未知数的项移到方程的左边,而常数项移到方程的右边.
【跟踪训练】 (《名校课堂》3.2第3课时习题)解下列方程:
(1)4x=9+x;
解:
移项,得4x-x=9.
合并同类项,得3x=9.
系数化为1,得x=3.
(2)4-
m=7;
解:
移项,得-
m=7-4.
合并同类项,得-
m=3.
系数化为1,得m=-5.
(3)4x+5=3x+3-2x;
解:
移项,得4x-3x+2x=-5+3.
合并同类项,得3x=-2.
系数化为1,得x=-
.
(4)8y-3=5y+3.
解:
移项,得8y-5y=3+3.
合并同类项,得3y=6.
系数化为1,得y=2.
04 巩固训练
1.下列变形过程中,属于移项的是(C)
A.由3x=-1,得x=-
B.由
=1,得x=4
C.由3x+5=0,得3x=-5
D.由-3x+3=0,得3-3x=0
2.对方程2x-3+x=6进行移项,下列正确的是(C)
A.2x-x=6+3B.2x-x=6-3
C.2x+x=6+3D.2x+x=6-3
3.方程3x+1=2x的解是(A)
A.x=-1B.x=1C.x=-2D.x=2
4.解下列方程:
(1)5x=3x-12;
(2)8x-5=7x+2;
(3)12x-7=8x-3;
(4)7y+8=2y-5-3y.
解:
(1)x=-6.
(2)x=7.
(3)x=1.
(4)y=-
.
05 课堂小结
1.今天你又学会了解方程的哪些方法?
有哪些步骤?
每一步的依据是什么?
2.移项的“两注意”:
(1)“两变”,即一变位置(从方程的一边移到另一边),二变符号,不要只变位置而不变符号;
(2)要与交换律加以区别,在方程的同一边交换项的位置时,符号不变.
第4课时 利用移项解一元一次方程的实际问题
01 教学目标
经历用“表示同一个量的两个不同的式子相等”这一基本关系列一元一次方程解决实际问题的过程,掌握一元一次方程的简单应用.
02 预习反馈
阅读教材P90“例4”,完成下列内容.
某果园
的面积种植了苹果树,
的面积种植了葡萄树,其余40000m2的面积种植了桃树.求这个果园的面积.
解:
设这个果园的面积是xm2,根据题意,得
x+
x+40000=x.
解得x=160__000.
答:
这个果园的面积是160__000__m2.
03 名校讲坛
例 (教材P90例4变式)将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友,如果每人2颗,那么就多8颗;如果每人3颗,那么就少12颗,这个班共有多少名小朋友?
解:
设这个班共有x名小朋友.
根据题意,得2x+8=3x-12,解得x=20.
答:
这个班共有20名小朋友.
【点拨】 用“表示同一个量的两个不同的式子相等”列一元一次方程解决实际问题的步骤:
(1)设两个未知量中的一个为未知数x;
(2)用含x的两个不同式子表示另一个未知量;
(3)建立一元一次方程;
(4)解方程;
(5)检验,作答.
【跟踪训练】 (《名校课堂》3.2第4课时习题)清明节期间,七
(1)班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈,若每小组7人,则余下3人;若每小组8人,则少5人.该班共有多少名同学?
解:
设一共分为x个小组.由题意,得
7x+3=8x-5.解得x=8.
则7x+3=7×8+3=59.
答:
该班共有59名同学.
04 巩固训练
1.用大小两台拖拉机耕地,每小时共耕地30亩.已知大拖拉机的效率是小拖拉机的1.5倍,问小拖拉机每小时耕地多少亩?
解:
设小拖拉机每小时耕地x亩.
根据题意,得30-x=1.5x.
解得x=12.
答:
小拖拉机每小时耕地12亩.
2.学校举办秋季田径运动会,八年级
(1)班班委会为班上参加比赛的运动员购买了8箱饮料,如果每人发2瓶,那么剩余16瓶;如果每人发3瓶,那么少24瓶.问该班有多少人参加比赛?
解:
设该班有x人参加比赛.
依题意,得2x+16=3x-24.
解得x=40.
答:
该班有40人参加比赛.
3.根据图中的信息,求梅花鹿和长颈鹿现在的高度.
解:
设梅花鹿现在高xm.
根据题意,得3x+1=x+4.
解得x=1.5.
所以x+4=5.5.
答:
梅花鹿现在高1.5m,长颈鹿现在高5.5m.
05 课堂小结
1.学生试述本节课学了哪些内容?
2.本节课讨论的问题中的相等关系又有何共同特点?
3.3 解一元一次方程
(二)——去括号与去分母
第1课时 利用去括号解一元一次方程
01 教学目标
1.经历从实际问题中抽象出一元一次方程,且用去括号法则化简、求解方程的过程.
2.会解含有括号的一元一次方程.
02 预习反馈
阅读教材P93~94“问题1及例1”,完成下列内容.
1.要去括号,就要根据去括号法则及乘法分配律,特别是当括号前是“-”号时,去括号时,各项都要变号,若括号前有数字,则要乘遍括号内所有项,不能漏乘并注意符号.
2.补全下列解方程的过程:
(1)2(x-2)=-(x+3);
解:
去括号,得2x-4=-x-3.
移项,得2x+x=-3+4.
合并同类项,得3x=1.
系数化为1,得x=
.
(2)2(x-4)+2x=7-(x-1).
解:
去括号,得2x-8+2x=7-x+1.
移项,得2x+2x+x=7+1+8.
合并同类项,得5x=16.
系数化为1,得x=
.
03 名校讲坛
例 (教材P94例1变式)解方程:
(1)4x+2(x-2)=12-(x+4);
(2)6(
x-4)+2x=7-(
x-1);
(3)3(x-2)+1=x-(2x-1).
解:
(1)x=
.
(2)x=6.(3)x=
.
【点拨】
【跟踪训练】 (《名校课堂》3.3第1课时习题)解下列方程:
(1)3(x-4)=12;
解:
去括号,得3x-12=12.
移项,得3x=12+12.
合并同类项,得3x=24.
系数化为1,得x=8.
(2)2(3x-2)-5x=0;
解:
去括号,得6x-4-5x=0.
移项,得6x-5x=4.
合并同类项,得x=4.
(3)5-(2x-1)=x;
解:
去括号,得5-2x+1=x.
移项,得-2x-x=-5-1.
合并同类项,得-3x=-6.
系数化为1,得x=2.
(4)
(x-2)=3-
(x-2).
解:
去括号,得
x-1=3-
x+1.
移项,得
x+
x=3+1+1.
合并同类项,得x=5.
04 巩固训练
1.将方程3(x-1)=6去括号,正确的是(D)
A.3x-1=6B.x-3=6C.3x+3=6D.3x-3=6
2.方程2(x-1)=x+2的解是(D)
A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4
3.解方程:
3(3x+5)=2(2x-1).
解:
去括号,得9x+15=4x-2.
移项,得9x-4x=-2-15.
合并同类项,得5x=-17.
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