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《高等数学复习》教程
第一讲函数、连续与极限
一、理论要求
1.函数概念与性质
2.极限
3.连续
函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期)
几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数)
极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
函数连续(左、右连续)与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值)
二、题型与解法
A.极限的求法
(1)用定义求
(2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子)
(3)变量替换法
(4)两个重要极限法
(5)用夹逼定理和单调有界定理求
(6)等价无穷小量替换法
(7)洛必达法则与Taylor级数法
(8)其他(微积分性质,数列与级数的性质)
1.limarctanx
x
limarctanx
x
1(等价小量与洛必达)
x0ln(12x3)
x0
2x3
6
sin6x
xf(x)
0,求lim
6f(x)
2.已知lim
x
3
x
2
x
0
x
0
lim
sin6x
xf(x)
lim6cos6x
f(x)xy'
解:
x0
x3
x0
3x2
lim
36sin6x
2y'
xy''
216cos6x
3y''xy'''
6x
lim
6
x
0
x
0
216
3y''(0)
0
y''(0)
72
6
lim
6
f(x)
lim
y'
lim
y''
72
36
(洛必达)
x
0
x2
x02x
x02
2
2x
2x
3.lim(
)x
1
(重要极限)
x1
x
1
ax
bx
3
)x
4.已知a、b为正常数,求lim(
2
x
0
(ax
bx
3
3[ln(ax
解:
令t
)x,lnt
bx)
ln2]
2
x
limlnt
lim
3
(ax
lna
bx
lnb)
3ln(ab)
x0
x
0ax
bx
2
(变量替换)
t
(ab)3/2
1
5.lim(cosx)ln(1
x2)
x0
1
1
解:
令t
(cosx)ln(1x2)
lnt
ln(cosx)
ln(1
x2)
limlnt
lim
tanx
1
t
e1/2(变量替换)
x
0
x
0
2x
2
x2
0
f(t)dt
6.设f'(x)连续,f(0)
0,f'(0)
0
,求lim
1
x
x
0x2
0
f(t)dt
(洛必达与微积分性质)
7.已知f(x)
ln(cosx)x2,x0
a,x
0
在x=0连续,求a
解:
令
limln(cos)/
2
1/2
(连续性的概念)
a
x0
x
x
三、补充习题(作业)
1.lim
ex
1x
3(洛必达)
1x
cos
x
0
x
2.limctgx(
1
1)(洛必达或Taylor)
x
0
sinx
x
x2
xetdt
3.lim
0
21
(洛必达与微积分性质)
ex
x01
第二讲导数、微分及其应用
一、理论要求
1.导数与微分
导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导)
会求平面曲线的切线与法线方程
2.微分中值定理
理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理
会用定理证明相关问题
3.应用
会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图
会计算曲率(半径)
二、题型与解法
A.导数微分的计算
基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
x
arctant
dy
1.y
y(x)由2y
ty2
et
5
决定,求dx
2.y
y(x)由ln(x2
y)
x3y
sinx决定,求dy|x01
dx
解:
两边微分得
x=0时y'
ycosx
y,将x=0代入等式得y=1
3.yy(x)由2xy
xy决定,则dy|x0
(ln2
1)dx
B.曲线切法线问题
4.求对数螺线
e在(,)(e/2,
/2)处切线的直角坐标方程。
x
e
cos
/2(0,e/2),y'|/2
1
解:
e
sin
(x,y)|
y
y
e/2
x
5.f(x)为周期为5
的连续函数,它在
x=1
可导,在
x=0的某邻域内满足
f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)
。
求f(x)在(6,f(6))处的切线方程。
解:
需求f(6),f'(6)或f
(1),f'
(1),等式取x->0的极限有:
f
(1)=0
lim
f(1
sinx)
3f(1
sinx)
x0
sinx
sinx
t
f(1
t)
f
(1)
3f(1
t)
f
(1)]
lim[
t0
t
t
4f'
(1)
8
f'
(1)2
y2(x
6)
C.导数应用问题
6.已知y
f(x)对一切x满足xf''(x)
2x[f'(x)]2
1ex,
若f'(x0)0(x00),求(x0,y0)点的性质。
解:
令x
x0代入,f''(x0)
ex01
0,x0
0
ex0x0
,故为极小值点。
0,x0
0
7.y
x3
(x
1)2,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解:
定义域x
(,1)
(1,
)
y'
0
驻点
x
及
x
3
0
y''
0
拐点
x
;
x
:
铅垂;
y
x
:
斜
0
1
2
8.求函数y
(x
1)e
/2arctanx的单调性与极值、渐进线。
解
:
y'
x2
xe/2arctanx
驻点x
0与x
1
,
1
x2
渐:
y
e
(x
2)与y
x
2
D.幂级数展开问题
9.d
x
sin(x
t)2dt
sinx2
dx0
sin(x
t)2
(x
t)2
1(x
t)6
(
1)n
(x
t)2(2n
1)
3!
(2n
1)!
sin(x
t)
2
dt
1
(xt)
3
1
7
(
1)
n1
(xt)4n1
(xt)
(4n
1)(2n
1)!
3
3!
7
x
1x3
1
x7
(1)n
x
4n1
sin(xt)2
0
3
3!
7
(4n
1)(2n
1)!
d
x
2
dt
x
2
1
x
6
(
1)
nx2(2n1)
sinx
2
dx
sin(x
t)
(2n
1)!
0
3!
或:
xt
u
d
0
2
(
du)
d
x
2
du
sinx
2
sinu
dx0
sinu
dxx
10.求f(x)
x2ln(1
x)在x
0处的n阶导数f(n)(0)
解:
x2ln(1
x)
x2(x
x2
x3
(
1)n1
xn2
o(xn2)
2
3
n
2
=
x
3
x4
x5
(
1)
n
1
xn
n
)
2
3
n
2
o(x
f(n)(0)
(
1)n
1
n!
n2
E.不等式的证明
设
x
(0,1)
,
11.
求证(1x)ln2(1
x)
x2,
1
1
1
1
1
ln2
ln(1
x)
x
2
证:
1)令
(
x
)
(1
x
)ln2
(1
)
x
2,
g
(0)
0
g
x
g'(x),g''(x),g'''(x)
2ln(1
x)
g''(0)
0
(1
x)
2
0,g'(0)
x
(0,1)时g''(x)单调下降,g''(x)
0,g'(x)单调下降
g'(x)
0,g(x)单调下降,g(x)
0;得证。
2)令h(x)
1
1
x
(0,1),h'(x)
0,单调下降,得证。
ln(1
x)
x
F.中值定理问题
1,1]具有三阶连续导数,且
f(
1)
0,f
(1)
1,
12.设函数f(x)在[
f'(0)0,求证:
在(-1,1)上存在一点
,使f'''(
)
3
证:
f(x)
f(0)
f'(0)x
1
f''(0)x2
1f'''(
)x3
2!
3!
其中
(0,x),x
[
1,1]
0
f(
1)
f(0)
1f''(0)
1f'''(
1)
将x=1,x=-1代入有
2
6
1f''(0)
1
1
f
(1)
f(0)
f'''
(2)
2
6
两式相减:
f
'''(
1)
f'''(
2)
6
[1,2],f'''()
1
f'''
(2)]
3
[f'''
(1)
2
13.ea
b
2
2
b
ln
2
a
4
a)
e,求证:
ln
2(b
f(b)
f(a)
e
证:
Lagrange:
f
'(
)
b
a
令f(x)
ln2x,ln2b
ln2a
2ln
b
a
令(t)
lnt,'(t)
1lnt
0
()
(e2)
ln2
t
t2
e2
ln
2
b
ln
2
a
4
a)
(关键:
构造函数)
2(b
e
三、补充习题(作业)
1.
f(x)
ln
1
x
求y''(0)
3
1
x2
2
x
et
sin2t
在(0,1)处切线为y
2x
1
0
2.曲线
et
cos2t
y
3.
yxln(e
1)(x
0)的渐进线方程为y
x
1
x
e
4.证明x>0时(x2
1)lnx
(x1)2
证:
令g(x)
(x
2
1)lnx
(x
1)
2
g'(x),g''(x),g'''(x)
2(x2
1)
x3
g
(1)g'
(1)
0,g''
(1)
2
0
x
(0,1),g'''
0,g''
2
g''
0
x
(0,1),g'
0
0
x
(1,
),g'''0,g''
2
x
(1,
),g'
g
0
第三讲不定积分与定积分
一、理论要求
1.不定积分
掌握不定积分的概念、性质(线性、与微分的关系)
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