1、完整版高等数学复习资料大全doc高等数学复习教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质2.极限3.连续函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A. 极限的求法 （ 1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与 Taylor
2、级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1. lim arctan xxlim arctan xx1 （ 等价小量与洛必达 ）x 0 ln(1 2x3 )x 02x36sin 6xxf ( x)0，求 lim6 f ( x)2.已知 limx3x2x0x0limsin 6xxf ( x)lim 6 cos6xf ( x) xy解： x 0x3x 03x2lim36sin 6x2 yxy 216cos 6x3y xy 6xlim6x0x02163 y (0)0y (0)726lim6f (x)limylimy 7236（洛必达 ）x0x2x 0 2 xx 0 222x2x3. lim (
3、) x1（重要极限 ）x 1x1a xbx3) x4.已知 a、 b 为正常数， 求 lim (2x0( a xb x33 ln( a x解：令 t) x , ln tbx )ln 22xlim ln tlim3( axln ab xln b)3 ln( ab)x 0x0 a xb x2（变量替换 ）t(ab )3/ 215. lim (cos x) ln(1x2 )x 011解：令 t(cos x) ln(1 x 2 ),ln tln(cos x)ln(1x 2 )lim ln tlimtan x1te 1 / 2 （ 变量替换 ）x0x02x2x 20f (t)dt6.设 f (x) 连续
4、， f (0)0, f (0)0，求 lim1xx0 x20f (t )dt（洛必达与微积分性质 ）7.已知 f (x)ln(cos x) x 2 , x 0a, x0在 x=0 连续，求 a解：令lim ln(cos ) /21/ 2（连续性的概念 ）ax 0xx三、补充习题（作业）1. limex1 x3 （洛必达 ）1 xcosx0x2. lim ctgx (11 ) （ 洛必达或 Taylor ）x0sin xxx2xe t dt3. lim021（洛必达与微积分性质 ）e xx 0 1第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本
5、公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解 Roll 、 Lagrange、 Cauchy、 Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A. 导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导xarctan tdy1. yy(x)由 2 yty 2et5决定，求 dx2. yy(x)由 ln( x 2y)x3 ysin x 决定，求 dy |x 0 1dx解：两边微分得x=0 时 yy cos xy ，将 x=0 代入等式得 y=13. y
6、y(x)由2 xyx y 决定，则 dy |x 0(ln 21) dxB. 曲线切法线问题4.求对数螺线e 在（ ， ）（ e / 2 ,/ 2) 处切线的直角坐标方程。xecos/ 2 (0,e / 2 ), y| / 21解：esin,( x, y) |yye / 2x5.f(x) 为周期为 5的连续函数，它在x=1可导，在x=0 的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x) 在（ 6， f(6) ）处的切线方程。解：需求 f (6), f (6)或 f (1), f (1) ，等式取 x-0 的极限有： f(1)=0limf (1sin x)3 f
7、 (1sin x)x 0sin xsin xtf (1t)f (1)3 f (1t )f (1) limt 0tt4 f (1)8f (1) 2y 2(x6)C.导数应用问题6.已知 yf ( x)对一切 x满足 xf ( x)2x f (x) 21 e x ，若 f (x0 ) 0(x0 0) ，求 (x0 , y0 ) 点的性质。解：令 xx0 代入， f (x0 )ex0 10, x00ex0 x0，故为极小值点。0, x007. yx3(x1) 2 ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域 x( ,1)(1,)y0驻点x及x30y0拐点x；x：铅垂；yx：斜0128.求函
8、数 y( x1)e/ 2 arctan x 的单调性与极值、渐进线。解：yx 2x e / 2 arctan x驻点 x0与 x1，1x2渐： ye( x2)与 yx2D. 幂级数展开问题9. dxsin( xt )2 dtsin x2dx 0sin(xt) 2( xt) 21 (xt) 6(1)n( xt ) 2(2n1)3!(2n1)!sin(xt )2dt1( x t )317(1)n 1(x t) 4n 1(x t )(4n1)(2n1)!33!7x1 x31x7( 1) nx4n 1sin(x t) 2033!7(4n1)(2n1)!dx2dtx21x6(1)n x2( 2n 1)s
9、in x2dxsin(xt )(2n1)!03!或： x tud02(du)dx2dusin x2sin udx 0sin udx x10.求 f ( x)x 2 ln(1x)在 x0处的 n阶导数 f (n ) ( 0)解： x2 ln(1x)x 2 (xx 2x 3(1) n 1xn 2o( xn 2 )23n2=x3x 4x5(1)n1xnn)23n2o( xf (n ) (0)(1)n1n!n 2E.不等式的证明设x(0,1)，11.求证（ 1 x) ln 2 (1x)x 2，11111ln 2ln(1x)x2证： 1）令(x)(1x) ln 2(1)x2 ,g(0)0gxg ( x)
10、, g ( x), g ( x)2 ln(1x)g (0)0(1x)20, g (0)x(0,1)时 g ( x)单调下降， g ( x)0, g ( x)单调下降g ( x)0, g( x)单调下降， g( x)0；得证。2）令 h( x)11, x(0,1), h ( x)0,单调下降，得证。ln(1x)xF.中值定理问题1，1 具有三阶连续导数，且f (1)0, f (1)1，12.设函数 f (x)在f (0) 0 ，求证：在（ -1， 1）上存在一点，使 f ()3证： f ( x)f (0)f (0) x1f (0) x21 f ()x32!3!其中(0, x), x1,10f (
11、1)f (0)1 f (0)1 f (1 )将 x=1， x=-1 代入有261 f ( 0)11f (1)f (0)f ( 2 )26两式相减：f (1 )f (2 )6 1， 2 ， f ( )1f ( 2 )3 f ( 1 )213. e ab22bln2a4a)e ，求证： ln2 (bf (b)f (a)e证： Lagrange :f()ba令 f ( x)ln 2 x, ln 2 bln 2 a2 lnba令 (t )ln t , (t )1 ln t0( )(e2 )ln2tt 2e2ln2bln2a4a)（关键：构造函数）2 (be三、补充习题（作业）1.f ( x)ln1x,求y (0)31x22xetsin 2t在 (0,1)处切线为 y2x102.曲线etcos2ty3.y x ln( e1)( x0)的渐进线方程为 yx1xe4.证明 x0 时 ( x21) ln x( x 1) 2证：令 g( x)( x21) ln x( x1)2, g ( x), g (x), g (x)2( x21)x3g (1) g (1)0， g (1)20x(0,1), g 0, g2g0x(0,1), g00x(1,), g 0, g 2x(1,), gg0第三讲 不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）
