数字电子技术教案第3章 逻辑代数基础.docx
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数字电子技术教案第3章逻辑代数基础
内容
备注
《数字电子技术》课程教案
讲课题目:
第04讲逻辑代数
(1)—逻辑代数基础
目的要求:
1、理解“二值逻辑”的基本概念;2、掌握常见的逻辑运算及相应逻辑门的符号和逻辑功能;3、掌握逻辑代数的基本定律和运算规则。
重点难点:
重点:
逻辑门、9条定律和3条规则。
难点:
方法步骤:
理论讲授、例题讲解、课堂练习、课堂提问。
器材保障:
多媒体电脑、投影仪、扩音设备。
教学内容与时间安排
一、“二值逻辑”的基本概念
(一)逻辑变量(LogicVariable)
1、形式上与普通代数中的变量相同,一般用字母或以字母开头的字符串表示。
如:
变量A,B1等。
2、只有两种取值:
0和1,无大小之分,只是代表两种不同的状态,因此又称为“逻辑0”和“逻辑1”。
(二)逻辑函数(LogicFunction)
逻辑变量通过逻辑运算形成逻辑函数。
举例说明。
自变量和因变量。
(三)逻辑关系、逻辑函数与数字电路
通过幻灯片上的表格说明三者之间的一一对应关系。
二、常见的逻辑运算
注意强调逻辑关系、逻辑运算和逻辑门之间的联系;注意指出三种逻辑关系、逻辑运算和逻辑门的特点;再次强调逻辑运算与普通代数运算的区别;三种逻辑运算的优先级不同;要求学生认识逻辑门的三套符号,使用国标符号。
(一)3种基本的逻辑关系、逻辑运算和逻辑门
1、逻辑非、非运算(NOT)、非门
2、逻辑与、与运算(AND)、与门
3、逻辑或、或运算(OR)、或门
注意强调逻辑关系、逻辑运算和逻辑门之间的联系;注意指出三种逻辑关系、逻辑运算和逻辑门的特点;再次强调逻辑运算与普通代数运算的区别;三种逻辑运算的优先级不同;要求学生认识逻辑门的三套符号,使用国标符号。
(二)5种复合逻辑运算及相应的逻辑门
1、与非(NAND)、与非门
2、或非(NOR)、或非门
3、与或非(AND-OR-NOT)
4、异或(XOR)、异或门
5、同或(异或非,XNOR)
(三)基本定律
结合表讲解9个基本定律,并举例说明证明逻辑等式的两种方法——真值表法、表达式变换法。
例1(见PPT)。
用真值表法证明分配律,同时说明真值表的概念(板书)。
例2(见PPT)。
用表达式变换法证明吸收律的4个公式(板书)。
(四)运算规则
1、带入规则
1)代入规则:
对于任何逻辑等式,以任意一个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两边的某个变量后,等式仍然成立。
2)利用代入规则可以方便地将前面定义的各种逻辑运算和基本定律推广到多变量。
例题(见PPT),证明反演律的推广。
2、对偶规则
1)对偶式:
将逻辑表达式F中出现的所有“·”和“+”互换,“0”和“1”互换,并保持原运算次序不变,就得到了一个新的函数表达式F′(也可以写作Fd),该表达式Fd和原表达式F互为对偶式。
2)对偶规则:
如果两个逻辑函数相等,则它们的对偶表达式也相等。
例题(见PPT),同时指出表1-10左右两部分呈对偶关系。
3、反演规则
1)反函数:
将一个函数表达式F中出现的所有“·”和“+”互换,“0”和“1”互换,原变量和反变量互换,并保持原运算次序不变,就得到了反函数F。
2)反演规则:
如果两个逻辑函数相等,则它们的反函数也相等。
3)由原函数求反函数的常用方法有两种:
用反演律求反函数,用反演规则求反函数。
例题(见PPT)。
本次课小结:
逻辑代数是数字电路分析与设计的重要工具,是学习数字电路的基础之一。
本次课主要介绍了二值逻辑的基本概念、常见的逻辑运算及相应的逻辑关系和逻辑门、逻辑代数中的9个基本定律和3个运算规则。
提示学生做好复习工作,同时结合实施计划预习下一次教学内容。
作业与思考题:
必做题:
选做题:
自测题:
思考题:
参考资料:
《数字设计引论》,沈嗣昌,高教出版社
《数字电子技术基础》(第六版),阎石,高等教育出版社
“DIGITALDESIGNPrinciples&Practices”,JohnF.Wakerly,高等教育出版社
本次课教学体会:
特殊情况处理
对逻辑、逻辑关系作举例说明。
数字电路分析与设计跟逻辑代数之间存在映射关系。
1和0的概念是真与假、高与低、导通与截止等对应。
注意三个域之间的对应:
逻辑关系、逻辑运算、逻辑门。
注意总结每种逻辑门的特点。
基本定理是等式证明、公式变换的依据。
三条规则熟练掌握应用。
总结知识点,提示知识预习。
内容
备注
《数字电子技术》课程教案
讲课题目:
第05讲逻辑代数
(2)—逻辑函数的描述方式
目的要求:
1、掌握逻辑函数的两种描述方式——真值表、表达式;2、理解最小项、最大项和任意项的概念。
重点难点:
重点:
逻辑函数的表达式描述方法。
难点:
任意项和非完全描述函数。
方法步骤:
理论讲授、例题讲解、课堂练习、课堂提问。
器材保障:
多媒体电脑、投影仪、扩音设备。
教学内容与时间安排:
首先,在黑板上简单举例说明逻辑函数常见的两种描述方式——真值表、表达式,或者叫做“表现形式”。
一、描述方式之一——真值表
首先,回顾上节课提到的真值表的基本概念,然后进行例题讲解。
通过这个例题的讲解,不仅是让学生掌握逻辑函数的真值表描述方式,更重要的是,要使其体会用逻辑函数描述逻辑关系的过程,进一步领会“逻辑函数”与“逻辑关系”之间的一一对应关系,并强调“变量定义”在“逻辑函数”与“逻辑关系”之间的“桥梁”作用。
二、描述方式之二——逻辑表达式
学生对逻辑函数的表达式这种形式已经比较熟悉,直接讲解例题。
通过这个例题的讲解,不仅是让学生了解逻辑函数的表达式这种描述方式,更重要的是,要使其体会用逻辑函数表达式描述逻辑关系、再根据逻辑函数表达式画出逻辑电路的过程,进一步领会“逻辑函数”、“逻辑关系”和“数字电路”之间的一一对应关系,并强调“逻辑函数”作为一种数学工具在“数字电路”与“逻辑关系”之间所起的作用。
(一)逻辑表达式的类型
举例说明,“与-或”式和“或-与”式是逻辑函数的两种最基本的类型;利用反演率,可从“与-或”式推出“与非-与非”式和“或-与-非”式;利用反演率,可从“或-与”式推出“或非-或非”式和“与-或-非”式。
除了“或-与-非”式以外,其它五种表达式类型都比较常见。
联系到数字电路:
根据不同类型的表达式,可用不同的逻辑门来构造电路,举例说明。
(二)逻辑表达式的标准形式
1、变量域(VariableDomain)
一个逻辑函数所有自变量的集合,称为该逻辑函数的变量域。
例如:
逻辑函数F=AB+AC的域为(A,B,C),该函数也可写为:
F(A,B,C)=AB+AC
2、最大项(Max-term)、最小项(Min-term)
(1)乘积项与和项
对于一个变量域,如(A,B,C),域中的变量及其反变量可以构成多种乘积项(ProductTerm),举例说明;以及多种和项(SumTerm)。
举例说明。
(2)最大项与最小项
变量域中的所有变量都以原变量或反变量的形式出现过一次且仅出现过一次的和项(乘积项),称为该变量域的最大项(最小项)。
举例说明。
强调:
最大项(最小项)从属于某个具体的变量域。
(3)n个变量可以构成2n个最大项,记作:
Mi,i=0,1,…,2n-1;同样,n个变量可以构成2n个最小项,记作:
mi,i=0,1,…,2n-1。
举例说明最大项(最小项)的编号方法;举例强调变量的排列顺序与编号息息相关。
(4)最大项和最小项的特点。
(5)对于同一个变量域,相通编号的最大项Mi与最小项mi的关系。
举例说明。
3、最大项表达式(Max-termExpression)、最小项表达式(Min-termExpression)
(1)和项都是最大项的或与式,又称为“标准的和之积式(CanonicalPOS)”;乘积项都是最小项的与或式,又称为“标准的积之和式(CanonicalSOP)”。
(2)任何一个逻辑函数都有唯一的最大项表达式和唯一的最小项表达式。
(3)对于相同的变量域,逻辑函数的最大项表达式与最小项表达式之间的关系。
举例说明。
三、逻辑函数不同描述方式之间的转换
(一)真值表---->标准的逻辑函数表达式
举例说明由逻辑函数的真值表直接读出逻辑函数的最大项(最小项)表达式的3个步骤。
注意:
读出两种表达式之间区别。
更重要的是让学生理解:
在逻辑函数的真值表中,自变量的每一组取值组合都代表着一个最大项和最小项。
如果自变量的某个取值组合令函数值为1,则这个取值组合所代表的最小项就会出现在函数的最小项表达式中;如果自变量的某个取值组合令函数值为0,则这个取值组合所代表的最大项就会出现在函数的最大项表达式中。
(二)逻辑函数表达式---->真值表
最好先利用逻辑代数的基本定律,将表达式变形为“与或式”或“或与式”,再利用它们的运算特点来填真值表。
举例说明。
(三)非标准表达式---->标准表达式
(1)真值表法
(2)代数法
建议采用“真值表法”。
(四)最大项表达式---->最小项表达式
在讲两者之间的关系时,已经说明。
(五)最大各种非标准表达式类型之间的转换
在讲逻辑函数表达式类型时,已经说明。
四、“非完全描述函数”与“任意项(Don’t-careTerm)”
举例说明。
(一)“任意项(Don’t-careTerm)”的基本概念
在某些情况下,自变量的一些取值组合不可能出现或没有意义,对于这些不可能出现或没有意义的自变量取值组合,相应的函数值也就没意义了,或者说,没有必要去关心。
前面提到,在逻辑函数的真值表中,自变量的每一组取值组合都代表着一个最大项和最小项。
如果自变量的某个取值组合令函数值为1,则这个取值组合所代表的最小项就会出现在函数的最小项表达式中;如果自变量的某个取值组合令函数值为0,则这个取值组合所代表的最大项就会出现在函数的最大项表达式中。
既然我们不关心没有意义的自变量取值组合所对应的函数值是0还是1,那么,我们也不会去关心这些没有意义的自变量取值组合所对应最大项或最小项是否存在于函数的最大项表达式或最小项表达式中。
因此,这些没有意义的自变量取值组合所代表的最大项或最小项被称为“任意项”或“无关项”;带任意项的逻辑函数被称为“非完全描述逻辑函数”。
(二)“非完全描述函数”的表达式和“约束条件”
举例说明“非完全描述函数”的表达式和“约束条件”概念。
“约束条件”就是用来明确自变量的哪些取值组合是有效的。
不满足约束条件的取值组合是无效的,这些无效的取值组合所对应的最大项和最小项就是任意项。
本次课小结:
本次课,首先学习了逻辑函数的两种描述方式——真值表和表达式,在“表达式描述方式”这一部分内容中,又包括表达式的类型、标准的表达式;然后了解了不同描述方式之间的相互转换的方法;最后学习了非完全描述的逻辑函数和任意项。
至此,本课程的第一部分内容已经结束。
对这一部分的知识结构、主要内容及学习要求做一个简单的梳理和总结。
提示学生做好复习工作,同时结合实施计划预习下一次教学内容。
作业与思考题:
必做题:
选做题:
思考题:
如何证明对于相同的变量域,逻辑函数的最大项表达式与最小项表达式之间的关系?
参考资料:
《数字设计引论》,沈嗣昌,高教出版社
《数字电子技术基础》(第六版),阎石,高等教育出版社
“DIGITALDESIGNPrinciples&Practices”,JohnF.Wakerly,高等教育出版社
本次课教学体会:
特殊情况处理
逻辑函数的几种描述方式对比介绍。
重点和难点内容。
重点介绍不同描述方式之间转换的意义、方法。
介绍非完全描述函数的意义。
重点解释“约束条件”的意义,及无关项的处理。
总结知识点,提示知识预习。
内容
备注
《数字电子技术》课程教案
讲课题目:
第06讲逻辑代数(3)—逻辑函数的化简
目的要求:
1、了解逻辑函数的代数化简法;2、掌握逻辑函数的卡诺图化简法。
重点难点:
重点:
逻辑函数的卡诺图化简法。
难点:
带任意项的逻辑函数的化简。
方法步骤:
理论讲授、例题讲解、课堂练习、课堂提问。
器材保障:
多媒体电脑、投影仪、扩音设备。
教学内容与时间安排:
一、逻辑函数化简及其原因、目标和方法
(一)什么是“逻辑函数化简”?
所谓“逻辑函数化简”,就是指通过一定的方法将逻辑函数中多余的项或多余的变量的去掉,而不改变自变量与因变量之间原有的逻辑关系。
(二)为什么要对逻辑函数进行化简?
前面我们讲过逻辑代数是分析和设计数字电路的数学工具。
比如说,在设计数字电路时,我们通常是把电路要实现的逻辑功能先用逻辑函数表达式描述出来,然后再根据逻辑函数表达式画出相应的电路。
这也就意味着,逻辑函数表达式的繁简程度会直接影响电路的繁简程度。
举例说明。
在能够完成相同功能的前提下,当然希望电路越简单越好,这也是做电路设计的基本原则之一。
因为电路越简单,用的器件就越少,成本和功耗就越低,可靠性就越高。
(因为可能出错的地方减少了。
军用设备对可靠性的要求通常是比较苛刻的。
)
(三)逻辑函数化简的标准是什么?
由于“与-或”式和“或-与”式是逻辑函数两种最基本的表达式,所以这里讲一下“与-或”式和“或-与”式的最简标准。
与或式:
乘积项尽可能少(与门个数、或门输入端个数),每个乘积项含有尽可能少的变量(与门输入端个数)。
或与式:
和项尽可能少(或门个数、与门输入端个数),每个和项含有尽可能少的变量(或门输入端个数)。
(四)怎样进行逻辑函数化简?
——代数化简法
——卡诺图化简法
——计算机辅助化简法
(《数字设计引论》P63,沈嗣昌,高教出版社)
前两种方法适用于5变量以下逻辑函数的化简,而第3种方法则适用于更复杂逻辑函数的化简。
二、逻辑函数化简方法之一——代数法
逻辑函数的代数化简法就是利用逻辑代数的基本定律和公式,对表达式进行一系列的变换,直至达到最简。
例题讲解。
课堂练习。
代数化简法要求熟练掌握并灵活运用逻辑代数的基本定律和公式,而且有时难以确定是否最简。
如果从这些方面来讲,卡诺图化简法则更行之有效。
三、逻辑函数化简方法之二——卡诺图法
(一)什么是卡诺图?
简单的讲,卡诺图就是真值表的一种简单变形。
举例1:
自变量以及它们所有的取值被分到了垂直和水平两个方向上,每一组自变量的取值组合都可以定位一个小方格,小方格中所填的就是该自变量取值组合所对应的函数值。
自变量在水平和垂直方向上可以任意分配,但需要注意的是,变量的取值必须按照Gray码的顺序排列。
至于为什么,等一会就会作出解释。
举例2:
上节课提到,在逻辑函数的真值表中,自变量的每一组取值组合都代表着一个最大项和最小项。
如果自变量的某个取值组合令函数值为1,则这个取值组合所代表的最小项就会出现在函数的最小项表达式中;如果自变量的某个取值组合令函数值为0,则这个取值组合所代表的最大项就会出现在函数的最大项表达式中;如果自变量的某个取值组合令函数值为X,则这个取值组合所代表的就是一个无关(最大、小)项。
而刚刚讲过,每一组自变量的取值组合都可以定位一个小方格,小方格中所填的就是该自变量取值组合所对应的函数值。
因此,每个小方格代表一个最大项(最小项),自变量取值组合所对应的十进制数就是最大项(最小项)的下标(编号)。
方格中的函数值为0
(1)表示最大项(最小项)表达式中含有该方格所对应的最大项(最小项);方格中的函数值为X表示最大项(最小项)表达式中含有该方格所对应的任意项。
举例3:
讲解根据标准表达式画卡诺图。
举例4:
简单讲过。
至此,已经知道了什么是卡诺图以及怎样画出一个逻辑函数的卡诺图。
(二)卡诺图法化简的基本原理
卡诺图法化简的基本原理就是吸收律的第3个公式(板书F1,F2)。
对于这两个逻辑函数而言,它们的变量域都是(A,B)。
在F1中,两个最小项被合并成了一项,消掉了一个变量,共同的变量被保留下来(注意:
两个最小项是相邻的最小项,解释最小项相邻);在F2中,两个最大项被合并成了一项,消掉了一个变量,共同的变量被保留下来(注意:
两个最大项是相邻的最大项,解释最大项相邻)。
推广到一般情况。
2n个循环相邻的最小项可以合并成一个乘积项,同时消掉n个变量(仅保留它们共有的变量),从而可以得到最简的“与或式”。
(解释:
循环相邻)
2n个循环相邻的最大项可以合并成一个和项,同时消掉n个变量(仅保留它们共有的变量),从而可以得到最简的“或与式”。
卡诺图的优势则在于:
从垂直或水平方向上看去,在位置上相邻或对称的小方格所代表的最大(小)项是相邻的。
举例说明。
(三)卡诺图法化简的步骤
卡诺图法化简的过程可分为三个步骤:
1、画出逻辑函数的卡诺图。
建议采用“真值表法”。
2、在卡诺图上圈1(0),即找出循环相邻的最小项(最大项)。
(1)用尽可能少的圈覆盖所有的1(0),每个圈中的1(0)尽可能多,但必须是2n个。
(2)必须优先处理相对独立的1(0)。
(3)任何一个圈中,至少要有一个1(0)仅被圈过一次。
3、读出每个圈所对应的乘积项(和项),将这些乘积项(和项)相加(乘),即得到最简的“与或式”(“或与式”)。
例题讲解。
(四)带任意项的逻辑函数的化简
化简步骤与完全描述逻辑函数的卡诺图化简相同。
本着最简原则(一次合并的最大、小项越多越好),卡诺图中的X(任意项)既可以当作1(最小项)也可以当作0(最大项)。
例题讲解。
本次课小结:
本次课,首先了解了逻辑函数化简的原因和标准,然后简单介绍了逻辑函数的代数化简法,重点介绍了逻辑函数的卡诺图化简法。
在卡诺图化简法中,首先了解了什么是卡诺图,学习了卡诺图法的原理和步骤,以及非完全描述逻辑函数的卡诺图化简。
提示学生做好复习工作,同时结合实施计划预习下一次教学内容。
作业与思考题:
必做题:
选做题:
思考题:
非完全描述的逻辑函数被化简后,除了变简单以外,还发生了什么变化?
参考资料:
《数字设计引论》,沈嗣昌,高教出版社
《数字电子技术基础》,阎石,高等教育出版社
“DIGITALDESIGNPrinciples&Practices”,JohnF.Wakerly,高等教育出版社
《计算机辅助逻辑化简》(电子版)
本次课教学体会:
特殊情况处理
通过图示介绍函数化简的意义。
几种常见函数化简方法。
重点介绍卡诺图化简法。
提炼总结卡诺图化简的步骤。
无关项在卡诺图化简的处理。
总结知识点,提示知识预习。
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