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1相似三角形
龙文教育一对一个性化辅导教案
学生
学校
汇景
年级
九年级
次数
第1次
科目
数学
教师
日期
2016-2-17
时段
课题
相似三角形的性质和判定
教学重点
掌握相似三角形的定义、性质和判定方法
教学难点
掌握相似三角形的定义、性质和判定方法
教学目标
掌握相似三角形的定义、性质和判定方法
教
学
步
骤
及
教
学
内
容
1、课前热身:
1、检查学生的作业,及时指点;
2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。
3、课前小测
二、内容讲解:
三、课堂小结:
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
四、作业布置:
布置适量的作业学生课外进行巩固
管理人员签字:
日期:
年月日
作业布置
1、学生上次作业评价:
○好○较好○一般○差
备注:
2、本次课后作业:
课堂小结
家长签字:
日期:
年月日
知识点1、三角对应相等,三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC与△A/B/C/相似,记作:
△ABC∽△A/B/C/。
相似三角形的比叫相似比
相似三角形的定义既是相似三角形的性质,也是三角形相似的判定方法。
注意:
(1)相似比是有顺序的。
(2)对应性,两个三角形相似时,通常把对应顶点写在对应位置,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
(3)顺序性:
相似三角形的相似比是有顺序的,若△ABC∽△A/B/C/,相似比为k,则△A/B/C/与△ABC的相似比是
例:
相似多边形的两个基本性质是____________,____________.
小结:
练习:
1、相似多边形____________称为相似比.当相似比为1时,相似的两个图形____________.若甲多边形与乙多边形的相似比为k,则乙多边形与甲多边形的相似比为____________.
2、在下面的图形中,形状相似的一组是()
3.下列图形一定是相似图形的是()
A.任意两个菱形B.任意两个正三角形
C.两个等腰三角形D.两个矩形
4.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架,已知三角形框架甲的三边分别为50cm,60cm,80cm,三角形框架乙的一边长为20cm,那么,符合条件的三角形框架乙共有()
A.1种B.2种C.3种D.4种
例:
已知2a-3b=0,b≠0,则a∶b=______.
变式练习
1.若
则x=______.
2.若
则
______.
小结:
相似三角形与全等三角形的关系
(1)两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
(2)两个等边三角形一定相似,两个等腰三角形不一定相似。
(3)二者的区别在于全等要对应边相等,而相似要求对应边成比例。
知识点3、相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等,对应边成比例,对应线段的比等于相似比,根据这一性质,可计算角的度数或边的长度。
平行线分线段成比例定理
(1)平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
已知l1∥l2∥l3,
ADl1
BEl2
CFl3
可得
等.
(2)推论:
平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.A
DE
BC
由DE∥BC可得:
.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.
(3)推论的逆定理:
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:
利用比例式证平行线.
(4)定理:
平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
相似性质的运用:
例:
已知:
如图,△ABC中,AB=20,BC=14,AC=12.△ADE与△ACB相似,
∠AED=∠B,DE=5.求AD,AE的长.
小结:
利用三角形相似常可以求线段的长度或角的相等关系。
巩固练习:
1、已知△ABC与△A'B'C'中,AB=6,BC=8,A'C'=4.5,B'C'=4,要使△ABC∽△A'B'C',则必有A'B'=_________
2、某人身高1.7米,某一时刻影长2.04米,同时一棵树影长为10.2米,则此树高_________
提示:
同一时刻身高与影长的比是一个固定值。
3、已知:
如图,△ABC中,AB=20cm,BC=15cm,AD=12.5cm,DE∥BC.求DE的长.
4、已知:
如图,AD∥BE∥CF.
(1)求证:
(2)若AB=4,BC=6,DE=5,求EF.
知识点4、
相似三角形的判定方法:
1、如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似。
点拨:
在三角形中,若已知两个角,由三角形内角和定理可求出第三个角。
注意公共角的运用,公共角也就是两个三角形都有的角,公共角是隐含的相等的角,我们应注意公共角的运用。
2、两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
注意:
这个角必须是两边的夹角,而不能是其他的角,其他的角则不可以识别两个三角形相似,此法类似于判定三角形全等的条件“SAS”
3、三边对应成比例的两个三角形相似。
这种方法和前两种方法一样是判定两个三角形相似的另一种方法,这种方法利用了三角形的三边,而没有用到角,这种方法类似于三角形全等的条件“SSS”
补充:
相似三角形的识别方法
(1)定义法:
三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似。
(2)平行线法:
平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。
注意:
适用此方法的基本图形,(简记为A型,X型)
(3)三边对应成比例的两个三角形相似。
(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
(5)两角对应相等的两个三角形相似。
(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。
(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
平行线法;
例:
已知:
如图,△ADE中,BC∥DE,则
①△ADE∽______;
②
③
相似三角形的判定的运用
例:
已知:
如图,E是□ABCD的边AD上的一点,且
,CE交BD于点F,BF=15cm,求DF的长.
例:
已知:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,想一想,
(1)图中有哪两个三角形相似?
(2)求证:
AC2=AD·AB;BC2=BD·BA;
(3)若AD=2,DB=8,求AC,BC,CD;
(4)若AC=6,DB=9,求AD,CD,BC;
(5)求证:
AC·BC=AB·CD.
小结:
直角三角形斜边上的高分大直角三角形,得任何两个直角三角形相似。
例、在△ABC中,AD是高,矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上,QM在边BC上.若BC=8cm,AD=6cm,且PN=2PQ,求矩形PQMN的周长.
1、填空题
1、三角形的四种判定方法:
(1)______三角形一边的______和其他两边______,所构成的三角形与原三角形相似.
(2).如果两个三角形的______对应边的______,那么这两个三角形相似.
(3).如果两个三角形的______对应边的比相等,并且______相等,那么这两个三角形相似.
(4).如果一个三角形的______角与另一个三角形的______,那么这两个三角形相似.
2、如右图所示为农村一古老的捣碎器,已知支撑柱
的高为0.3米,踏板
长为1.6米,支撑点
到踏脚
的距离为0.6米,现在踏脚着地,则捣头点
上升了________米.
3、如上图,∠C=∠E=90°,AC=3,BC=4,AE=2,则AD=_________
4.如图,DE与△ABC的边AB,AC分别相交于D,E两点,且DE∥BC.若DE=2cm,BC=3cm,EC=2/3cm,则AC=_________cm
4、Rt△ABC,斜边AC上有一动点D(不与点A、C重合),过D点作直线截
△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,则满足这样条件的直线共有_______条.
二、选择题
1、下列四个命题:
①所有的直角三角形都相似;②所有的等腰三角形都相似;③所有的正方形都相似;④所有的菱形都相似,其中正确有()
A、2个B、3个C、4个D、1个
2、在△ABC与△A'B'C'中,∠B=∠B'=Rt∠,∠A=30°,则以下条件,不能证明△ABC与△A'B'C'相似的为()
A、∠A'=30°B、∠C'=60°C、∠C=60°D、∠A'=2/1∠C'
3、如图6、线段AB上有三点C、D、E,AB=8,AD=7,CD=4,AE=1,则比值不为
的线段比为()
A、AE:
ECB、EC:
CD
C、CD:
ABD、CE:
CB
4、正方形ABCD、菱形EFGH,使这两个图形相似,则增加的条件不正确的是()
A、∠G=60°B、EH⊥HGC、∠E=∠FD、∠G+∠E=180°
5、△ABC中,DE//BC,交AB、AC于D、E,AD=6,AE=4,BD=5,则EC长为()
A、3/10B、3C、3/22D、2/7
6、如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB、AC相交于点D、E,若AD=4,DB=2,则DE∶BC的值为()
A.
B.
C.
D.
7、如图7,已知AD是△ABC的中线,AE=EF=FC,下面给出三个关系式:
AG:
AD=1:
2;②GE:
BE=1:
3③GE:
BE=4/3,其中正确的为()
A、①②B、①③C、②③D、①②③
8、如图,小正方形的边长均为l,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()。
三、解答题
1、如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径,求证:
AB·AC=AE·AD.
2、
已知:
如图,矩形ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,EG⊥AD于G,FH⊥BC于H,AB=5,BC=12,且EF=EG+FH,求EF的长.
A
B
E
GD
F
C
H
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