172 勾股定理的逆定理2旋转勾股.docx
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172勾股定理的逆定理2旋转勾股
17.2勾股定理的逆定理
(二)基础版
【教学目标】
1.掌握勾股定理及逆定理与旋转综合的图形特征、基本思路以及问题类型,熟练解此类问题.
2.掌握勾股定理及逆定理与常规问题的图形特征、基本思路以及问题类型,熟练解此类问题.
3.掌握勾股定理及逆定理与夹半角综合的图形特征、基本思路和变式类型,熟练解此类问题.
【重点难点】
1.旋转问题(构手拉手全等&Rt△);2.常规问题(导角导线、Rt△斜边中点处的直角、逆命题);3.夹半角模型(构Rt△).
【夯实基础】
1.勾股定理及逆定理与旋转问题的图形特征:
.
2.勾股定理及逆定理与旋转问题的基本思路:
.
3.勾股定理及逆定理与旋转问题的问题类型:
.
【基本图形】
1.旋转问题:
2.等腰Rt△夹半角:
(1)基本图
已知等腰Rt△ABC,∠ACB=90°,E、F是斜边AB上两点,∠ECF=45°.
结论AE2+BF2=EF2.
证法①旋转法(vs过A作AF′⊥AB且AF′=BF,连CF′、EF′);②轴对称法.
△CEF′≌△CEF(SAS),Rt△AEF′△CFA′≌△CFB(SAS),Rt△A′EF
(2)变式图
已知等腰Rt△ABC,∠ACB=90°,E、F是直线AB上两点,∠ECF=45°.
结论AE2+BF2=EF2.
证法①旋转法(vs过A作AF′⊥AB且AF′=BF,连CF′、EF′);②轴对称法.
△CEF′≌△CEF(SAS),Rt△AEF′△CFA′≌△CFB(SAS),Rt△A′EF
重难点1勾股定理及逆定理与旋转问题
♀例一♀.(手拉手)
(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE.
填空:
①∠AEB的度数为;②线段AD、BE之间的数量关系为;
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由;
(3)解决问题
如图3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=5,平面上一动点P到点B的距离为3,将线段CP绕点C顺时针旋转90°,得到线段CD,连DA、DB、PB,则BD是否有最大值和最小值,若有直接写出,若没有说明理由?
图1图2图3
♂巩固练习♂
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB=1,CD=CP=2,CD⊥CP,求∠BPC的度数.
♀例二♀.如图,在△ABD中,AB=AD,∠BAD=90°,PA=a,PB=b.
(1)若P点在△ABD外,且∠APB=45°,求PD的长;
(2)若P点在△ABD内,且∠APB=135°,求PD的长.
♂巩固练习♂
1.正方形ABCD内一点P,连接PA、PB、PC.
(1)若PA:
PB:
PC=1:
2:
3,求∠APB的度数;
(2)若PA2+PC2=2PB2,求证:
点P在对角线AC上.
♀例三♀.
(1)利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图1,点P是等边三角形ABC内一点,PA=1,PB=
,PC=2.求∠BPC的度数.为利用已知条件,不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C,连接PP′,则PP′的长为;
在△PAP′中,易证∠PAP′=90°,且∠PP′A的度数为,综上可得∠BPC的度数为;
(2)类比迁移
如图2,点P是等腰Rt△ABC内一点,∠ACB=90°,PA=2,PB=
,PC=1.求∠APC的度数;
(3)拓展应用
如图3,在四边形ABCD中,BC=4,CD=5,AB=AC=
AD,∠BAC=2∠ADC,请直接写出BD的长.
图1图2图3
♂巩固练习♂
1.在△ACD中,AD=4,CD=3;在△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,若∠CAB=60°,∠ADC=30°,①在△ACD外作等边△ADD′,求证:
BD=CD′;②求BD的长;
(2)如图2,若∠CAB=90°,∠ADC=45°,求BD的长.
图1图2
2.请阅读下面的材料:
问题:
如图①,在等边△ABC内有一点P,且PA=2,PB=
,PC=1,求∠BPC的度数和等边△ABC的边长;
李明同学的思路是:
将△BPC绕点B顺时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图②).连接PP′.
根据李明同学的思路,进一步思考后可求得∠BPC=°,等边△ABC的边长为.
(2)请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:
如图③,在正方形ABCD内有一点P,且PA=
,BP=
,PC=1,求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长.
①②③
♀例四♀.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,点P是△ABC内一点,连接PA、PB、PC,且PA=
PC,设∠APB=α,∠CPB=β.
(1)如图1,若∠ACP=45°,将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC,连结DP,易证△DAP为等边三角形,则α=,β=;
(2)如图2,若PB=
PA,则α=,β=;
(3)如图3,试猜想α与β之间的数量关系,并给予证明.
图1图2图3
♂巩固练习♂
1.如图,P是正△ABC内一点,且PA=6,PB=8,PC=10,求S△PAB+S△PAC的值.
重难点2勾股定理及逆定理与常规问题
♀例五♀.等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图①).
(1)求证:
AM=AN;
(2)连接DE分别与边AB、AC交于点G、H,如图②,当∠BAD是多少度时,AD=DH?
(3)在
(2)的条件下,以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,并说明理由.
①②
♂巩固练习♂
1.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF、CD分别交于点G、H,∠ABE=∠CBE.
(1)线段HB与AC相等吗?
若相等,请给予证明;若不相等,请说明理由;
(2)求证:
BG2-GE2=EA2.
♀例六♀.(Rt△斜边中点处的直角)如图,在△ABC中,D是BC的中点,点M是AB上的点,点N在AC边上,并且∠MDN=90°,如果BM2+CN2=DM2+DN2,求证:
∠BAC=90°.
♂巩固练习♂
1.如图①,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,D为AB的中点,M、N分别为AC、BC上的点,且DM⊥DN.
(1)求证:
CM+CN=
BD;
(2)如图②,若M、N分别在AC、CB的延长线上,探究CM、CN、BD之间的数量关系.
①②
2.如图,在△ABC中,AB=6,AC=10,AD是BC边上的中线,且AD=4,延长AD到点E,使DE=AD,连接CE.
(1)求证:
△AEC是直角三角形;
(2)求BC边的长.
3.如图,CD是△ABC的高,D在边AB上,且CD2=AD·DB,求证:
△ABC为直角三角形.
重难点3勾股定理及逆定理与夹半角模型
♀例七♀.△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E在直线BC上,如图1,若∠DAE=45°,求证:
BD2+CE2=DE2.
【阅读理解】要证明BD2+CE2=DE2,设法将BD、CE、DE转化为某直角三角形的三边即可,故过A作AF⊥AD,且AF=AD.连接CF、EF.再通过证明△ABD≌△ACF,△AED≌△AEF.即可将BD、CE、DE三边转化到直角△ECF中解决问题.
【拓展应用】如图2,若∠DAE=135°,其他条件不变,请探究:
以线段BE、CD、DE的长度为三边长的三角形是何种三角形?
并说明理由.
图1图2
♂巩固练习♂
1.
(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数.
(2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M、N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN、ND、DH之间的数量关系,并说明理由.
(3)在图①中,连接BD分别交AE、AF于点M、N,若EG=4,GF=6,BM=
,求AG、MN的长.
①②
2.如图,已知在Rt△AOB中,OA=OB,∠AOB=90°,E、F在AB上,且∠EOF=45°.
(1)求证:
EF2=AE2+BF2;
(2)如图,过E作EM⊥OA于M,过F作FN⊥OB于N,ME、NF交于点P,若设NF=x,ME=y,PE=a,则x2+y2与a2之间的关系式为,若△AME、△BFN、△PEF的面积分别为S1、S2、S3,则S1+S2与S3之间的数量关系为.
♀例八♀.某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:
如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在点A处,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E.
(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:
若AD平分∠BAM,则AE也平分∠MAC.请你证明小敏发现的结论;
(2)当0°<α≤45°时,小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE存在等量关系:
BD2+CE2=DE2.
同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决:
小颖的想法:
将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF(如图2);
小亮的想法:
将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG,连接EG(如图3);
请你从中任选一种方法进行证明;
(3)小敏继续旋转三角板,在探究中得出当45°<α<135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,现请你继续研究:
当135°<α<180°时(如图4)等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?
若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
图1图2图3图4
♂巩固练习♂
1.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.
(1)如图①,当AM=BN时,将△ACM沿CM折叠,点A落在弧EF的中点P处,再将△BCN沿CN折叠,点B也恰好落在点P处,此时,PM=AM,PN=BN,△PMN的形状是,线段AM、BN、MN之间的数量关系是.
(2)如图②,当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时,线段MN、AM、BN之间的数量关系是.试证明你的猜想;
(3)当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时,线段MN、AM、BN之间的数量关系是.(无需证明)
①②③
2.
(1)如图①,在△ABC中,BA=BC,D、E是AC边上的两点,且满足∠DBE=
∠ABC(0°<∠CBE<
∠ABC).以点B为旋转中心,将△BEC按逆时针旋转∠ABC,得到△BE′A(点C与点A重合,点E到点E′处)连接DE′,
求证:
DE′=DE.
(2)如图2,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D、E是AC边上的两点,且满足∠DBE=
∠ABC(0°<∠CBE<45°).求证:
DE2=AD2+EC2.
(3)如图3,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,点E是AC边上的点,点D是CA边延长线上的点,且∠DBE=45°.第
(2)题中的结论:
DE2=AD2+EC2还成立吗?
如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
图1图2图3
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