高中全国卷一北师大版高中数学必修一专题复习docx.docx
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北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解
第一章集合与函数概念
知识架构
第一讲集合
★知识梳理
一:
集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质:
确定性、无序性和互界性;
2.集合的3种表示方法:
列举法、描述法、韦恩图;
3.集合中元素与集合的关系:
文字语言
符号语言
属于
不属于
电
4.常见集合的符号表示
数集
自然数集
止幣数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
N
N浊N*
Z_
Q
R
C
二:
集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A=B
子集
A屮任意一元素均为B中的元素
AcB或BnA
真子集
A中任意兀素均为B中的兀素,且B中至少有一元素不是A的兀素
A呈B
空集
空集是任何集合的了集,是任何非空集合的真子集
0匸A,H0)
三:
集合的基本运算
1两个集合的交集:
Ap|B={x\xeA^xeB];
②两个集合的并集:
AUB={x|xeMxeB);
③设全集是U,集合A^Uf^\CuA={x\xet/且兀电A]
交
补
n
u
APIB={x\xeA,AxgB}
A\jB={x\xeA,或兀wB}
C(l.A=[xxeU且x电A}
方法:
常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.
★重、难点突破
重点:
集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点:
正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化,准确进行集合的交、并、补三种运算。
重难点:
1.集合的概念
掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性,要特別注意集合屮元素的互异性,在解题过程中最易被忽视,因此要对结果进行检验;
2.集合的表示法
(1)列举法要注意元素的三个特性;
(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质,如{x|y=/(%)}>{y]y={(x,y)|y=/(x)}等的差别,如果对集合中代表元素认
识不清,将导致求解错误:
问题:
已知集合看+召=l},N={y|扌+*=1},则McN二()
A.①;B.{(3,0),(0,2)};C.[-3,3];D.{3,2}
22
[错解]误以为集合M表示椭圆—+^-=1,集合W表示直线-4-^=1,由于这直
9432
线过椭圆的两个顶点,于是错选B
[正解]C;显然M={x|-3 (3)Venn图是直观展示集合的很好方法,在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图。 3.集合间的关系的几个重要结论 (1)空集是任何集合的子集,即 (2)任何集合都是它本身的子集,即AcA (3)子集、真子集都有传递性,即若Acfi,BuC,则AcC 4.集合的运算性质 (1)交集: ①=②APIA=A;③4介0=0;④AQBcA,ApBcB ⑤AC\B=A^AqB; (2)并集: ①AUB=BUA;②A\JA=A;③A\J(/)=A;④A\JB^A,A\JBB⑤A\JB=A^BqA; (3)交、并、补集的关系 1ap\cua=(p; 2CU(AP\B)=©A)U©B);C〃(AUB)=(CuA)A©B) ★热点考点题型探析 考点一: 集合的定义及其关系 题型1: 集合元素的基本特征 [例1](2008年江西理)定义集合运算: A*3={z|z=E,兀w3}・设 A={l,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为() A.0;B.2;C.3;D.6 [解题思路]根据A^B的定义,让兀在A屮逐一取值,让y在B屮逐一取值,兀y在值就是A*B的元素 [解析]: 正确解答本题,必需清楚集合A^B中的元素,显然,根据题中定义的集合运算知={0,2,4},故应选择D 【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平,所以成为高考的一个热点,这时要充分理解所定义的运算即可,但要特别注意集合元素的互异性。 题型2: 集合间的基本关系 [例2].数集X={(27? +1X/? gZ}与丫={(4£±1)龙,£丘乙}2的关系是() a.xiy;b.yix;c.x=y;d.x [解题思路]可有两种思路: 一是将x和y的元素列举出来,然后进行判断;也可依选择支之间的关系进行判断。 [解析]从题意看,数集x与丫之间必然有关系,如果a成立,则d就成立,这不可能;同样,B也不能成立;而如果D成立,则A、B中必有一个成立,这也不可能,所以只能是C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点,解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义,逐个进行检验,不方便进行检验的,就设法举反例。 [新题导练] 1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行,若集合2{参加北京奥运会比赛的运动员},集合扫{参加北京奥运会比赛的男运动员},集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是() A.A<^BB.BcCC.AC\B=CD.B\JC=A [解析]D;因为全集为A,而BUC二全集二A 2.(2006•山东改编)定义集合运算: A®B={z|=巧+兀〉,2,辭册,设集合A={1,0},B={2,3},则集合A®B的所有元素之和为 [解析]18,根据A®B的定义,得到A0B={0,6,12},故A®B的所有元素之和为18 3.(2007-湖北改编)设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x\xe如果 P=[x|log3x [解析]{x|l P-<2=(1,3) 4•研究集合A={^y=x2-4],B={y\y=x2-4\fC={(x,y)|y=x2间的关系[解析]A与C,B与C都无包含关系,而B^A;因为A={^\y=x2-4]表示 y=x2-4的定义域,故A=R: B={y]y=x2-4}表示函数y=%2-4的值域,B=[-4,+oo): C=^x,y)\y=x2-4}表示曲线^=x2-4上的点集,可见,而A与C,3与C都无包含关系 考点二: 集合的基本运算 [例3]设集合A={4『_3x+2=o},B={^x2+2(a+l)x+(a2-5)=o} (1)若AQB={2},求实数g的值; (2)若AUB二A,求实数d的取值范围若A^B=\2}, [解题思路]对于含参数的集合的运算,首先解出不含参数的集合,然后根据已知条件求参数。 [解析]因为A=卜卜2-3x+2=0}={1,2}, (1)由AQB={2}知,2gB,从而得224-4(^+1)+(6Z2-5)=O,即 a2++3=0,解得q=-1或。 =一3 当a=-\时,B-{x|x2-4=o}=|_2,-2j,满足条件; 当。 =一3时,〃={加2_4兀+4二0}={2},满足条件 所以Q=-1或G=-3 (2)对于集合B,由△=4(a+l)2_4(a2_5)=8(d+3) 因为AUB=A,所以BeA 1当△<(),即a<-3时,B=(p,满足条件; 2当△=(),即a=—3时,3={2},满足条件; 3当△>(),即a>—3时,B=A={\,2}才能满足条件, [1+2=—2(ci+1)a=— 由根与系数的关系得彳/n2,矛盾 1x2=672-52r a=7 - 故实数Q的取值范圉是aS-3 【名师指引】对于比较抽彖的集合,在探究它们的关系时,要先对它们进行化简。 同时,要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况. [新题导练] 6.若集合5={>{y=3\x€/? },T={y\y=x2-\.xE/? },则SAT是() A.S;B.T: C.0;D.有限集 [解析]A;由题意知,集合S={)卜=3”,兀丘/? }表示函数j=3\xgR的值域,故 集合S=(0,+oo): T={)jy=x2-1,xg/? }表示函数y=F-15xg/? 的值域, T=[-l,+oo),故SC\T=S 7.已知集合M={(%,j)|x+y=2},N={(%,J)|x-J=4},那么集合Mr\N为() A.x=3,y=—1;B.(3,-1);C.{3,—1};D.{(3,-1)} [解析]D;M^N表示直线x+y=2与直线x-y=4的交点组成的集合,A、B、C均不合题意。 &集合A={x|^-1=0},B={%|x2-3%+2=0j,且=3,求实数a的值. [解析]0,1,*;先化简B得,B={1,2}.由于=AcB,故IwA或2wA・ 因此a-1=0或2a—1=0,解得a=1或a=—. 2 容易漏掉的一种情况是: A=0的情形,此时a=0. 故所求实数a的值为0,1,|・ 备选例题仁已知M={yy=x+1},N={(x,y)x2+y2=1},则MC\N中的元素个数是 () A.0;B.1;C.2;D.无穷多个 [解析]选A;集合M表示函数y=x+\的值域,是数集,并且M=R,而集合N表示满足 /+)'=1的有序实数对的集合,即表示圆/+y2=1上的点,是点集。 所以,集合耐与集合 N中的元素均不相同,因而MRN=e,故其中元素的个数为0[误区分析]在解答过程中易出现直线y=x+1与圆/+y2=1有两个交点误选C;或者误认 为y=x+l+R,而兀2+),2二1屮一15),51,从而M"N=[—1,1]有无穷多个解而选 Do注意,明确集合屮元素的属性(是点集还是数集)是准确进行有关集合运算的前提和关键。 备选例题2: 已知集合A和集合B各有12个元素,AC\B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数: (I)C呈AUB,且C中含有3个元素; (II)CAA^^(0农示空集) [解法一]因为A、3各有12个元素,A^B含有4个元素, 因此,A\JB的元素个数是12+12-4=20故满足条件(I)的集合C的个数是C;o上面集合中,述满足=0的集合C的个数是C;因此所求集合C的个数是C;°-C;=1084 [解法二]市题目条件可知,属于B而不属于A的元素个数是12—4=8因此,在ADB屮只含有A屮1个元素的所要求的集合C的个数为C\2Cl含有A屮2个元素的所要求的集合C的个数为C$C; 含有A屮3个元素的所要求的集合C的个数为所以,所求集合C的个数是C;2C: +G;C;+G;=1084 ★抢分频道 基础巩固训练: 1.(09年吴川市川西中学09届第四次月考)设全集 [/=R? A={x|x(x+3)<0},B={x|x<-1},则右图中阴 影部分表示的集合为() A.{兀卜>0};B.{x\-3 [解析]C;图中阴影部分表示的集合是而4=忖一3<兀v0},故AC|B={x-3 2.(韶关09届高三摸底考)已知A={x|x(l-x)>0},B={x|log2x<0}则A\jB= A.(0,1);B.(0,2);C.(-8,0);D.(-oo,0)U(0,+oo) [解析]A;因为A={x|0 3.(苏州09届高三调研考)集合{-1,0,1}的所有子集个数为 [解析]8: 集合{-1,0,1}的所有子集个数为23=8 4.(09年无锡市高三第一次月考)集合4中的代表元素设为兀,集合B中的代表元素设为y, [解析]B^A或由子集和交集的定义即可得到结论 5.(2008年天津)设集合S二&|卜—2|>3},T={x|gvxvg+8},SUT=/? ,则d的取值 范围是() A.-3<67<-1;B.-3<67<-1 C.aW-3或口》-1;D.gv-3或。 >一1 [解析]A;S={x|x-2>3}={x|x<-mJa>5},T={x|t7 所以2,从而得一3<6/<-1 [q+8>5 综合提高训练: 6.P-{m-1 则下列关系中立的是() A.P呈Q;B.Q^P;C.P=Q;D.PC\Q=(/> [m<0 [解析]A;当mH0时,有彳,即 [A=(4my-4x/nx(-4)<0 Q={t? ieR-\ Q={ine/? |-l 7.设f(n)=2z: +1(/76A^),P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},记 P={neN\f(n)eP},Q=N^\f(n)Eq],贝iJ(PnC/ve)U((2ACvP)=() A.{0,3};B.{1,2};C.{3,4,5};D.{1,2,6,7} [解析]A;依题意得P={0,1,2},©={1,2,3},所以(PQCNQ)={0}f (One』)={3},故应选a 8.(09届惠州第一次调研考)设A、B是非空集合,定义 AxB={xxeA 则AXB等于() A.[0,+oo);B.[0,l]U[2,+oo);C.[0,l)U[2,+oo);D.[0,1]U(2,+00) [解析]D: 2x-x2>0=>0<%<2,AA=[O,2],x>0=>2A>1,AB=(1,+^), AAUB=[OZ+8),AOB=(1,2],则AXB=[0,1]U(2,+呵 笫2讲函数与映射的概念 ★知识梳理 1.函数的概念 (1)函数的定义: 设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则对于集合4中的每一个数兀,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常记为y=f(x),xeA (2)函数的定义域、值域 在函数y=/(x),xgA屮,兀叫做自变量,兀的収值范围A叫做y=/(x)的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合A}称为函数y=/(x)的值域。 (2)函数的三要素: 泄义域、值域和对应法则 2.映射的概念 设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则/,对于集合A中的任意元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值対应叫做从A到B的映射,通常记为「•AfB ★重、难点突破 重点: 掌握映射的概念、函数的概念,会求函数的定义域、值域 难点: 求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点: 1.关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域,如果没有弄清所给函数之间的关系,求解容易出错误 问题1: 已知函数y=f(x)的定义域为[a,b],求y=/(x+2)的定义域 [误解]因为函数y=f(x)的定义域为[q,b],所以a +2 故y=f(x+2)的定义域是[a+2上+2] [正解]因为y=/(x)的定义域为[a,b],所以在函数y=/(x+2)屮,a 从而a-2,故歹=f(x+2)的定义域是[a-2,b-2] 即本题的实质是求a 问题2: 已知y=/(x+2)的定义域是[a,b],求函数y=f(x)的定义域[误解]因为函数y=/(兀+2)的定义域是[a,b],所以得到a a-2 [正解]因为函数y=/(x+2)的定义域是[a,b]f则a 所以函数『=/(兀)的定义域是[a+2,0+2] 即本题的实质是\\\a 即/(兀)与/(兀+2)中兀含义不同 2.求值域的几种常用方法 (1)配方法: 对于(可化为)''二次函数型〃的函数常用配方法,如求函数 y=-sin2x-2cosx+4,可变为y=-sin2x-2cosx+4二(cosx-1)2+2解决 (2)基本函数法: 一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域來求,如函数y=logj(-x2+2x+3)就是利用函数y=log)u和u=-x2+2兀+3的值域来求。 22 (3)判别式法: 通过对二次方程的实根的判别求值域。 如求函数厂的值域x2-2x+2 由y二一得)»—2(丁+1)兀+2歹一1=0,若y=0,则得x=,所以y=0是 x—2兀+2「2 函数值域中的一个值;若y^O,则由△=[—2(y+l)『—4y(2y—l)n0得 且『工0,故所求值域是[T3,进叵] 222 (4)分离常数法: 常用来求'、分式型〃函数的值域。 如求函数y=2cos兀-3的值域,因为COSX+1 >,=2心—3=2—,而cosx+16(0,2],所以6(―--],故 cos兀+1cosx+1cosx+12 (L yw(-00--] 3Y ⑸利用基本不等式求值域: 如求函数〉UR的值域 3 当x=0时,y=0;当兀工0时,y=,若兀>0, XH 若兀<0,则兀+纟=一(一兀+4 )<2(-%)•(—)=4, -xV-x 33 从而得所求值域是[〒才 X (6)利用函数的单调性求求值域: 如求函数),=2/-/+2(兀0[-1,2])的值域 因y=8x3-2x=2x(4x2-1),故函数y=2x4-x2+2(xg[-1,2])在(—1,—丄)上递减、在 4^ (-丄,0)上递增、在(0,丄)上递减、在(丄,2)上递增,从而可得所求值域为[—,30] 2228 (7)图象法: 如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域(求某些分段函数的值域常用此法)。 ★热点考点题型探析 考点一: 判断两函数是否为同一个函数 [例1]试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)=7P",g(x)=VP"; Lvl[1x>0, (2)f(x)=U,g(x)=' x[-1x<0; (3)/(%)=2n^x^,g(x)=(2n^)2n_1SEN) (4)f(x)=4x+1,g(x)=Qx? +x; (5)f(x)=x"—2.x—1,=2f—1 [解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数,就要考查函数的三要素。 [解析] (1)由于/(兀)=JF二卜^(x)=VF=x,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同一函数. flx0 (2)由于函数f(x)=的定义域为(-oo,0)U(0,+oo),而g(x)=■'的定义 x[-1x<0; 域为R,所以它们不是同一函数. (3)由于当腥N*吋,2肚1为奇数,・・・/(劝二2啷芦二兀,g(兀)=(2”折)2心二无,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数. (4)由于函数/(x)=4x+l的定义域为{%)%>0),rfdg(x)=^x~4-x的定义域为 出兀二0或兀<-1},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数. (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数. [答案] (1)、 (2)、(4)不是;(3)、(5)是同一函数 【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系确定的,所以,如杲两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数为同一函数。 第(5)小题易错判断成它们是不同的函数。 原因是对函数的概念理解不透,在函数的定义域及对应法则f不变的条件下,自变量变换字母对于函数本身并无影响,比如/(x)=x2+l, /(/)=r2+i,f(u+1)=e+1)2+1都可视为同一函数. [新题导练] 1.(2009•佛山)下列函数屮与函数y二兀相同的是() A,y-(V^)2;B.y=;C.y=;D.y=— X [解析]B;因为y二好=1,所以应选择B 2.(09年重庆南开中学)与函数y=0.1必2*7的图象相同的函数是() A>,=2x-1(x4);b-尸丄亍c->,=^t(x4);d-z吕 且函数),=0.1陀7的定义 lg [解析]c;根据对数恒等式得『=0・1以"7=10卞-| 2x-1 域为(+,+8),故应选择C 考点二: 求函数的定义域、值域 题型1: 求有解析式的函数的定义域 [例2].(08年湖北)函数/(x)=丄ln(丁兀2一3%+2+J—兀$一3兀+4)的定义域为() A.(-00-4)U[2,+oo);B.(-4,0)U(0,1);C.[-4,0)U(0,1];D.[-4,0)U(0,1) [解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的口变量的取值范围。 [解析]欲使函数/(兀)有意义,必须并且只需 %2-3x+2n0 —x2—3x+4n0 =>XG[-4
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