高中数学(北师大版)必修5文档格式.doc
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(1)×
(2)×
(3)√
2.已知数列{an}的通项公式为an=,则该数列的前4项依次为( )
A.1,0,1,0 B.0,1,0,1
C.,0,,0 D.2,0,2,0
解析:
选B 把n=1,2,3,4分别代入an=中,依次得到0,1,0,1.
3.已知数列{an}中,an=2n+1,那么a2n=( )
A.2n+1 B.4n-1
C.4n+1 D.4n
选C ∵an=2n+1,∴a2n=2(2n)+1=4n+1.
4.数列1,3,6,10,x,21,…中,x的值是( )
A.12 B.13
C.15 D.16
选C ∵3-1=2,6-3=3,10-6=4,
∴∴x=15.
数列的概念与分类
[典例] 下列各式哪些是数列?
若是数列,哪些是有穷数列?
哪些是无穷数列?
(1){0,1,2,3,4};
(2)0,1,2,3;
(3)0,1,2,3,4,…;
(4)1,-1,1,-1,1,-1,…;
(5)6,6,6,6,6.
[解]
(1)是集合,不是数列;
(2)(3)(4)(5)是数列.
其中(3)(4)是无穷数列,
(2)(5)是有穷数列.
数列分类的判断方法
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需考察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列.
[活学活用]
下列说法中,正确的是( )
A.数列0,2,4,6可表示为{0,2,4,6}
B.数列1,3,5,7,9,…的通项公式可记为an=2n+1
C.数列2013,2014,2015,2016与数列2016,2015,2014,2013是相同的数列
D.数列{an}的通项公式an=,则它的第k项是1+
选D 数列与数的集合的概念不同,A不正确;
当n∈N+时,没有第一项1,所以B不正确;
C中两个数列中数的排列次序不同,故是不同的数列,所以选D.
根据数列的前几项写出数列的通项公式
[典例] 分别写出下列数列的一个通项公式,数列的前4项已给出.
(1),,,,…;
(2)-,,-,,…;
(3)0.9,0.99,0.999,0.9999,….
[解]
(1)该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5恰比项数多1.
分子中的22,32,42,52恰是分母的平方,-1不变,故它的一个通项公式为an=.
(2)该数列各项符号是正负交替变化的,需设计一个符号因子(-1)n,分子均为1不变,分母2,6,12,20可分解为1×
2,2×
3,3×
4,4×
5,
则它的一个通项公式为an=(-1)n.
(3)0.9=1-0.1,0.99=1-0.01,0.999=1-0.001,
0.9999=1-0.0001,
而0.1=10-1,0.01=10-2,0.001=10-3,0.0001=10-4,
∴它的一个通项公式为an=1-10-n.
由数列的前几项求通项公式的解题策略
(1)负号用(-1)n与(-1)n+1(或(-1)n-1)来调节,这是因为n和n+1奇偶交错.
(2)分式形式的数列,分子找通项,分母找通项要充分借助分子、分母的关系.
(3)此类问题虽无固定模式,但也有其规律可循,主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化等方法.
写出下列数列的一个通项公式:
(1)0,3,8,15,24,…;
(2),2,,8,,…;
(3)1,2,3,4,….
解:
(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-1.
(2)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:
,,,,,…,所以它的一个通项公式为an=.
(3)此数列的整数部分1,2,3,4,…恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为,故所求的数列的一个通项公式为an=n+=.
利用通项公式确定数列的项
[典例] 已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出数列的第4项和第6项;
(2)-49和68是该数列的项吗?
若是,应是第几项?
若不是,请说明理由.
[解]
(1)∵an=3n2-28n,
∴a4=3×
42-28×
4=-64,
a6=3×
62-28×
6=-60.
(2)令3n2-28n=-49,即3n2-28n+49=0,
解得n=7,或n=(舍).
∴-49是该数列的第7项,
即a7=-49.
令3n2-28n=68,即3n2-28n-68=0,
解得n=-2,或n=.
∵-2∉N+,∉N+,∴68不是该数列的项.
(1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.
(2)判断某数值是否为该数列的项,需假定它是数列中的项列方程.若方程的解为正整数,则是数列的项;
若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的项.
已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍.
(1)求这个数列的第4项与第25项;
(2)253和153是不是这个数列中的项?
如果是,是第几项?
(1)由题设条件,知an=+2n.
∴a4=+2×
4=10,a25=+2×
25=55.
(2)假设253是这个数列中的项,则253=+2n,解得n=121.∴253是这个数列的第121项.
假设153是这个数列中的项,则153=+2n,解得n=72,这与n是正整数矛盾,∴153不是这个数列中的项.
层级一 学业水平达标
1.数列的通项公式为an=则a2·
a3等于( )
A.70 B.28
C.20 D.8
选C 由an=得a2=2,a3=10,所以a2·
a3=20.
2.下列叙述正确的是( )
A.同一个数在数列中可能重复出现
B.数列的通项公式是定义域为正整数集N+的函数
C.任何数列的通项公式都存在
D.数列的通项公式是唯一的
选A 数列的通项公式的定义域是正整数集N+或它的有限子集,选项B错误;
并不是所有数列都有通项公式,选项C错误;
数列-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,也可以写成an=(-1)n+2,选项D错误.故选A.
3.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,则-8是该数列的( )
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.非任何一项
选C 由n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).
4.数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为( )
A.an=2n-1B.an=(-1)n(1-2n)
C.an=(-1)n(2n-1)D.an=(-1)n(2n+1)
选B 当n=1时,a1=1排除C、D;
当n=2时,a2=-3排除A,故选B.
5.在数列-1,0,,,…,,…中,0.08是它的( )
A.第100项 B.第12项
C.第10项 D.第8项
选C 由an=,令=0.08,解得n=10或n=(舍去).
6.数列1,2,4,8,16,32,…的一个通项公式为________.
由a1=20,a2=21,a3=22,a4=23,…易得an=2n-1.
an=2n-1
7.600是数列1×
5,…的第________项.
由题意知,数列的通项公式an=n(n+1),令an=n(n+1)=600,解得n=24或n=-25(舍去).
24
8.已知曲线y=x2+1,点(n,an)(n∈N+)位于该曲线上,则a10=________.
∵点(n,an)位于曲线y=x2+1上,∴an=n2+1,故a10=102+1=101.
101
9.根据下面数列{an}的通项公式,写出它的前5项.
(1)an=;
(2)an=sin;
(3)an=2n+1.
(1)在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列{an}的前5项为0,1,,,.
(2)在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列{an}的前5项为1,0,-1,0,1.
(3)在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列{an}的前5项为3,5,9,17,33.
10.在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a2016;
(3)2014是否为数列{an}中的项?
(1)设an=kn+b(k≠0),则有
解得k=4,b=-2.
∴an=4n-2.
(2)a2016=4×
2016-2=8062.
(3)令2014=4n-2,解得n=504∈N+,
∴2014是数列{an}的第504项.
层级二 应试能力达标
1.数列2,0,4,0,6,0,…的一个通项公式是( )
A.an=[1+(-1)n]
B.an=[1+(-1)n+1]
C.an=[1+(-1)n+1]
D.an=[1+(-1)n]
选B 经验证可知B符合要求.
2.已知数列2,-5,10,-17,26,-37,…,则下列选项能表示数列的通项公式的是( )
A.an=(-1)nn2+1 B.an=(-1)n+1(n2+1)
C.an=(-1)n(n2+1) D.an=(-1)n+1(n2-1)
选B 通过观察发现每一项的绝对值都是序号的平方加1,且奇数项是正的,偶数项是负的,∴通项可以写成an=(-1)n+1(n2+1).
3.数列,,2,,…,则2是该数列的( )
A.第6项 B.第7项
C.第10项 D.第11项
选B 数列,,2,,…的一个通项公式为an=(n∈N+),令2=,得n=7.故选B.
4.设an=+++…+(n∈N+),那么an+1-an等于( )
A. B.
C.+ D.-
选D ∵an=+++…+,
∴an+1=++…+++,
∴an+1-an=+-=-.
5.已知数列{an}的通项公式an=n2-4n-12(n∈N+),则
(1)这个数列的第4项是________;
(2)65是这个数列的第________项.
(1)由a4=42-4×
4-12=-12,得第4项是-12;
(2)由an=n2-4n-12=65,得n=11或n=-7(舍去),
∴65是第11项.
(1)-12
(2)11
6.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律,猜测第n个图形中有________个点.
观察图中5个图形点的个数分别为1,1×
2+1,2×
3+1,3×
4+1,4×
5+1,故第n个图中点的个数为(n-1)n+1.
n2-n+1
7.根据数列的前几项,写出下面各数列的一个通项公式.
(1)-3,0,3,6,9,…;
(2)7,77,777,7777,77777,…;
(3)2,0,2,0,2,0,…;
(4),,-,,-,,….
(1)a1=-3+0×
3,a2=-3+1×
3,a3=-3+2×
3,a4=-3+3×
3,….
∴an=-3+(n-1)×
3=3n-6(n∈N+).
(2)a1=×
(10-1),a2=(102-1),
a3=(103-1),a4=×
(104-1),….
∴an=×
(10n-1)(n∈N+).
(3)a1=1+1,a2=1-1,a3=1+1,a4=1-1,….
∴an=1+(-1)n-1(n∈N+).
(4)a1=-,a2=,a3=-,a4=,….
∴an=(-1)n(n∈N+).
8.写出数列13+2,13+6,13+12,13+20,13+30,…的一个通项公式,并验证2563是否是该数列中的一项.
该数列的项为13+1×
2,13+2×
3,13+3×
4,….故其通项公式可以为an=13+n(n+1)(n∈N+).
令13+n(n+1)=2563,则n2+n=2550.
解得n=50或n=-51(舍去).
∴2563是该数列中的第50项.
1.2 数列的函数特性
预习课本P6~8,思考并完成以下问题
(1)什么数列是递增数列?
(2)什么数列是递减数列?
(3)常数列是什么样的数列?
数列的单调性
(1)一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即an+1>
an,那么这个数列叫作递增数列.
(2)一个数列,如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项,即an+1<
an,那么这个数列叫作递减数列.
(3)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫作摆动数列.
(4)如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列.
(1)一个数列,如果它不是递增数列,就是递减数列.( )
(2)数列是特殊的函数,因此其图像是连续不断的曲线.( )
(3)可以用判断函数单调性的方法判断数列的单调性.( )
2.已知数列{an}满足an+1-an-3=0,则数列{an}是( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.不能确定
选A 由条件得an+1-an=3>
0可知an+1>
an,所以数列{an}是递增数列.
3.已知递减数列{an}中,an=kn(k为常数),则实数k的取值范围是( )
A.R B.(0,+∞)
C.(-∞,0) D.(-∞,0]
选C an+1-an=k(n+1)-kn=k<
0.
4.设an=-n2+10n+11,则数列{an}的最大项为( )
A.5 B.11
C.10或11 D.36
选D ∵an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,
∴当n=5时,an取得最大值36.
数列的图像及应用
[典例] 已知数列{an}的通项公式为an=,画出它的图像,并判断增减性.
[解] 图像如图所示,该数列在{1,2,3,4}上是递减的,在{5,6,…}上也是递减的.
利用数列的图像判断数列的增减性
数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势,从而可判断数列的增减性.
已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,作出该数列的图像并判断该数列的增减性.
分别取n=1,2,3,…,得到点(1,1),(2,3),(3,5),…,描点作出图像.如图,它的图像是直线y=2x-1上的一些等间隔的点.
由图像可知该数列为递增数列.
数列增减性的判断
[典例] 已知数列{an}的通项公式an=,试判断该数列的增减性.
[解] an+1-an=-
=.
因为n∈N+,所以1-n2-n<
0,
所以an+1-an<
即an+1<
an.故该数列为递减数列.
应用函数单调性判断数列增减性的方法
(1)作差法,将an+1-an与0进行比较;
(2)作商法,将与1进行比较(在作商时,要注意an<
0还是an>
0).
写出数列1,,,,,…的通项公式,并判断它的增减性.
该数列的通项公式为an=,
∴an+1-an=-
∵n∈N+,∴(3n+1)(3n-2)>
∴an+1<
an,∴该数列为递减数列.
数列的函数特性的应用
题点一:
求数列的最大(小)项
1.已知数列{an}的通项公式an=(n+1)n(n∈N+),试问数列{an}有没有最大项?
若有,求最大项和最大项的项数;
若没有,说明理由.
法一:
假设数列{an}中存在最大项.
∵an+1-an=(n+2)n+1-(n+1)n=n·
,
当n<
9时,an+1-an>
0,即an+1>
an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>
9时,an+1-an<
0,即an+1<
an.
故a1<
a2<
a3<
…<
a9=a10>
a11>
a12…,
所以数列中有最大项,最大项为第9、10项,且a9=a10=.
法二:
假设数列{an}中有最大项,并设第k项为最大项,则对任意的k∈N+且k≥2都成立.
即
∴
解得9≤k≤10.
又k∈N+,
∴数列{an}中存在最大项是第9项和第10项,
且a9=a10=.
题点二:
由数列的单调性求参数问题
2.已设数列{an}的通项公式为:
an=n2+kn(n∈N+),若数列{an}是单调递增数列,求实数k的取值范围.
∵数列{an}是单调递增数列,
∴an+1-an>
0(n∈N+)恒成立.
又∵an=n2+kn(n∈N+),
∴(n+1)2+k(n+1)-(n2+kn)>
0恒成立.
即2n+1+k>
∴k>
-(2n+1)(n∈N+)恒成立.
而n∈N+时,-(2n+1)的最大值为-3(n=1时),
-3.即k的取值范围为(-3,+∞).
结合二次函数y=x2+kx的图像,要使{an}是递增数列,只要a1<
a2即可,
即1+k<
4+2k,得k>
-3,
所以k的取值范围为(-3,+∞).
题点三:
数列与函数的综合应用
3.已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n.
(2)证明数列{an}是递减数列.
(1)∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,
∴2log2an-2-log2an=-2n,
∴an-=-2n,
∴a+2nan-1=0,解得an=-n±
.
∵an>
0,∴an=-n,n∈N+.
(2)证明:
=
=<
1.
0,∴an+1<
an,
∴数列{an}是递减数列.
函数思想方法在数列问题中的应用
(1)数列的单调性是通过比较{an}中任意相邻两项an与an+1的大小来判定的.某些数列的最大项或最小项问题,可以通过研究数列的单调性加以解决.
(2)数列是特殊函数,一定要注意其定义域是N+(或它的有限子集).
1.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )
A.1,,,,… B.sin,sin,sin,…
C.-1,-,-,-,… D.1,,,…,
选C A是递减数列,B是摆动数列,D是有穷数列,故选C.
2.已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是( )
A.递增数列 B.递减
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