1、高中全国卷一北师大版高中数学必修一专题复习docx北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解第一章集合与函数概念知识架构第一讲 集合知识梳理一：集合的含义及其关系1. 集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互界性;2. 集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图;3. 集合中元素与集合的关系：文字语言符号语言属于不属于电4.常见集合的符号表示数集自然数集止幣数集整数集有理数集实数集复数集符号NN浊N *Z_QRC二：集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素 都相同A = B子集A屮任意一元素均为B中的元 素AcB或BnA真子集A中任意 兀素均为B中的兀
2、 素，且B中至少有一元素不是 A的兀素A呈B空集空集是任何集合的了集，是任 何非空集合的真子集0 匸 A , H 0 )三：集合的基本运算1 两个集合的交集:Ap|B= xxe Axe B;两个集合的并集：AUB = x|xe Mxe B）；设全集是U,集合AU fCuA=xxe t/且兀电A交补nuAPIB = xxe A,Axg BAjB = xxe A,或兀w BC(l. A = x xe U且x电 A方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间
3、的相互转化，准确进行集合 的交、并、补三种运算。重难点：1. 集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特別注意集合屮元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2. 集合的表示法(1) 列举法要注意元素的三个特性；(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性 质，如x|y = /(%) yy = (x,y)|y = /(x)等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合看+召= l,N = y|扌+* = 1,则McN二( )A.；B. (3,0), (0,2)； C. -3,3； D. 3,22 2错解误以为集合M表示椭圆+ -
4、= 1,集合W表示直线-4- = 1,由于这直9 4 3 2线过椭圆的两个顶点，于是错选B正解C；显然M = x|-3x3, N = R,故MCN = -3,3(3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用 Venn 图。3. 集合间的关系的几个重要结论(1) 空集是任何集合的子集，即(2) 任何集合都是它本身的子集，即Ac A(3) 子集、真子集都有传递性，即若Acfi, BuC ,则AcC4. 集合的运算性质(1)交集： = API A = A ； 4介0 = 0； AQ B c A , ApBc BACB = A AqB；(2) 并集： AUB=B
5、UA; AJA = A； AJ(/)= A； AJBA, AJ B B AJB = A BqA；(3) 交、并、补集的关系1 apcua=(p；2 CU(APB) = A) U B) ； C (A U B) = (Cu A) A B)热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征例1 （2008年江西理）定义集合运算：A*3 = z| z = E，兀w 3设A = l,2,B = 0,2,则集合A*B的所有元素之和为（ ）A. 0； B. 2； C. 3； D. 6解题思路根据AB的定义，让兀在A屮逐一取值，让y在B屮逐一取值，兀y在值就是A * B 的元素解析:正确解答
6、本题，必需清楚集合AB中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知 =0,2,4,故应选择 D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点, 这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。题型2：集合间的基本关系例 2.数集 X =（27? + 1X/?g Z与丫 = （41）龙,丘乙2的关系是（ ）a. xiy ； b. yix ； c. x =y； d. x解题思路可有两种思路：一是将x和y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之 间的关系进行判断。解析从题意看，数集x与丫之间必然有关系，如果a成立，则d就成立，这不可能； 同样，B也不能
7、成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义, 逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。新题导练1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合2参加北京奥 运会比赛的运动员,集合扫参加北京奥运会比赛的男运动员,集合C=参加北京奥运会比 赛的女运动员,则下列关系正确的是（ ）A. AB B. BcC C. ACB = C D. BJC = A解析D；因为全集为A,而BUC二全集二A2 . （2006 山东改编）定义集合运算：AB = z| =巧+兀，2,辭册，设
8、集合 A = 1,0, B = 2,3,则集合AB的所有元素之和为 解析18,根据AB的定义，得到A0B = 0,6,12,故AB的所有元素之和为183. (2007-湖北改编)设P和Q是两个集合，定义集合P-Q = xxe 如果P = x|log3 xl, Q = 兀|彳 1,那么 P-Q 等于 解析x|lx3；因为 P = x|log3xl=(0,3)，2 = |%|1=(-1,1),所以P-2 = (1,3)4研究集合 A = y = x2-4, B = yy = x2-4f C = (x,y)|y = x2间的关系 解析A与C, B与C都无包含关系，而BA；因为A = y = x2-4
9、表示y = x2 - 4的定义域，故A = R : B = yy = x2-4表示函数y = %2 - 4的值域， B = -4,+oo): C = x,y)y = x2-4表示曲线 = x2-4 上的点集，可见，而 A 与C, 3与C都无包含关系考点二：集合的基本运算例 3设集合 A = 4_3x + 2 = o, B = x2 + 2(a + l)x + (a2 -5) = o(1) 若AQB = 2,求实数g的值；(2) 若AUB二A,求实数d的取值范围若AB = 2,解题思路对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。解析因为 A =卜卜2-3x + 2 =
10、 0= 1,2,(1) 由 AQB = 2知,2g B,从而得 22 4-4( + 1) +(6Z2-5) = O,即a2 + + 3 = 0,解得 q = -1或。=一3当 a = - 时，B - x|x2 - 4 = o= |_2,-2j,满足条件；当。=一3时， =加2_4兀+ 4二0=2,满足条件所以Q = -1或G = -3(2) 对于集合B,由 = 4(a + l)2_4(a2_5) = 8(d + 3)因为AUB = A,所以BeA1 当(),即a(),即a3时，B = A = ,2才能满足条件,1 + 2 = 2(ci +1) a =由根与系数的关系得彳 / n 2,矛盾1x2
11、 = 672 - 5 2 ra =7-故实数Q的取值范圉是aS-3【名师指引】对于比较抽彖的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要 注意集合的子集要考虑空与不空，不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.新题导练6. 若集合 5=y = 3x /?, T = yy = x2-.xE /?,则 SAT 是()A. S ； B. T : C. 0 ； D.有限集解析A；由题意知，集合S = )卜=3”,兀丘/?表示函数j = 3xg R的值域，故集合S = (0,+oo): T = )jy = x2 -1,xg /?表示函数 y = F -15xg /?的值域，T = -l,+oo),
12、故SCT = S7. 已知集合 M =(%, j)|x+y = 2, N = (%, J)|x-J = 4,那么集合 M rN 为( )A. x = 3, y = 1 ； B. (3,-1) ； C. 3,1； D. (3,-1)解析D； MN表示直线x+y = 2与直线x-y = 4的交点组成的集合，A、B、C均不合题 意。& 集合 A = x| -1 = 0, B = %| x2 -3% + 2 = 0j,且 = 3，求实数a 的值.解析0,1,*；先化简 B 得，B = 1,2.由于 = AcB,故 IwA 或 2w A 因此 a -1 = 0 或 2a 1 = 0，解得 a = 1 或
13、 a =.2容易漏掉的一种情况是：A = 0的情形，此时a = 0.故所求实数a的值为0,1,|备选例题仁 已知M=yy = x + 1, N = (x, y) x2 + y2 = 1,则M CN中的元素个数是( )A. 0； B. 1； C.2； D.无穷多个解析选A；集合M表示函数y = x + 的值域，是数集，并且M = R，而集合N表示满足/+) = 1的有序实数对的集合，即表示圆/ + y2 =1上的点，是点集。所以，集合耐与集合N中的元素均不相同，因而MRN = e，故其中元素的个数为0 误区分析在解答过程中易出现直线y = x +1与圆/ + y2= 1有两个交点误选C；或者误认
14、为y = x + l + R,而兀2+),2二1屮一 15),51,从而MN = 1,1有无穷多个解而选Do注意，明确集合屮元素的属性(是点集还是数集)是准确进行有关集合运算的前提和关键。 备选例题2：已知集合A和集合B各有12个元素，ACB含有4个元素，试求同时满足下面 两个条件的集合C的个数：(I) C呈AUB,且C中含有3个元素；(II) CAA (0农示空集)解法一因为A、3各有12个元素，AB含有4个元素，因此，AJB的元素个数是12 + 12-4 = 20 故满足条件(I )的集合C的个数是C；o 上面集合中，述满足= 0的集合C的个数是C； 因此所求集合C的个数是C；-C；=10
15、84解法二市题目条件可知，属于B而不属于A的元素个数是12 4 = 8 因此，在ADB屮只含有A屮1个元素的所要求的集合C的个数为C2Cl 含有A屮2个元素的所要求的集合C的个数为C$C；含有A屮3个元素的所要求的集合C的个数为 所以，所求集合C的个数是C；2C：+G；C；+G； =1084抢分频道基础巩固训练：1. (09年吴川市川西中学09届第四次月考)设全集/= R?A = x|x(x + 3)0,B = x|x0； B. x-3 x 0 ； C. x|-3x-l ； D. -1解析C；图中阴影部分表示的集合是而4 =忖一3兀v0,故 AC|B = x-3x0,B = x|log2x0则
16、 AjB =A. (0,1)； B. (0,2)； C. (-8,0)； D. (-oo,0)U(0,+oo)解析A；因为 A = x|0xl, B = 斗 Ovxvl,所以 AUB = x|0x3,T = x|gvxvg + 8,SUT = /?，则 d 的取值范围是( )A. -3 67 -1 ; B. -3 67 一1解析A； S = x| x-2 3=x|x5, T = x|t7xtz + 8, SJT = R ci 1所以2 ,从而得一36/ 5综合提高训练：6. P - m -1 m 0, Q - me Rmx2 + 4mx-4 m0解析A；当m H 0时，有彳 ，即A = (4m
17、y -4x/nx(-4) 0Q = t?ie R - m o；当加=0 时，nix1 + 4nvc - 4v0 也恒成立，故Q = ine /?|-lm0,所以P呈Q7. 设 f(n) = 2z: + 1(/7 6 A), P = 1,2,3,4,5, Q = 3,4,5,6,7,记P = neNf(n)eP, Q = Nf(n)E q,贝iJ(PnC/ve)U(2ACvP)=()A. 0,3; B. 1,2 ； C. 3,4,5 ; D. 1,2,6,7解析A；依题意得 P = 0,1,2, = 1,2,3,所以(PQCNQ) = 0f(One)=3,故应选a8. (09届惠州第一次调研考)
18、设A、B是非空集合，定义AxB = x xe A0,则AXB等于()A. 0,+oo)； B. 0,lU2,+oo)； C. 0,l)U2,+oo)； D. 0,1U(2,+00)解析D： 2x-x20=0% 0 = 2A 1 , AB= (1, +),AAUB=OZ +8), AOB= (1, 2,则 AX B= 0,1 U (2,+呵笫2讲 函数与映射的概念知识梳理1. 函数的概念(1) 函数的定义：设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则对于集合4中的每一个数兀,在 集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为 y = f(x),xe A(2)
19、函数的定义域、值域在函数y = /(x),xg A屮，兀叫做自变量，兀的収值范围A叫做y = /(x)的定义域；与 x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合A称为函数y = /(x)的值域。(2)函数的三要素：泄义域、值域和对应法则2. 映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合A中的任意元素,在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值対应叫做从A到B的映射，通常记为 AfB重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1.关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系
20、，求解容易出错误问题1：已知函数y = f(x)的定义域为a, b,求y = /(x + 2)的定义域误解因为函数y = f(x)的定义域为q, b,所以axhf从而6f + 2x + 2/? + 2故y = f(x + 2)的定义域是a + 2上+ 2正解因为y = /(x)的定义域为a, b,所以在函数y = /(x + 2)屮，ax + 2b,从而a-2 ,故歹=f(x + 2)的定义域是a-2,b-2即本题的实质是求ax2bx的范围问题2：已知y = /(x + 2)的定义域是a, b,求函数y = f(x)的定义域 误解因为函数y = /(兀+ 2)的定义域是a, b,所以得到ax2
21、bf从而a-2xb-2f所以函数y = /(x)的定义域是a 2,b 2正解因为函数y = /（x + 2）的定义域是a, bf则axb,从而a + 2 5兀+ 25方+ 2所以函数=/（兀）的定义域是a + 2,0 + 2即本题的实质是ax,=2心3 =2 ,而cosx + 16 （0,2,所以 6 （-,故cos兀+ 1 cosx + 1 cosx + 1 2（ Ly w （-00-3 Y利用基本不等式求值域：如求函数UR的值域3当x = 0时，y = 0 ；当兀工0时，y = ,若兀 0,X H 若兀0,则兀+纟=一（一兀+ 4) 0,(2) f(x) = U , g(x)= x -1
22、x0;(3) /(%) = 2nx , g(x) = (2n)2n_1 SEN)(4) f(x) = 4x +1 , g(x) = Qx? +x ；(5) f(x) = x 2.x 1, = 2f 1解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。解析(1)由于/(兀)= JF二卜(x)= VF = x,故它们的值域及对应法则都不相同, 所以它们不是同一函数.fl x 0(2) 由于函数f(x) = 的定义域为(-oo,0) U (0,+oo),而g(x) = 的定义x -1 x 0), rfd g(x) = x 4-x的定义域为出兀二0或兀,=2x-1(x4)； b-尸丄亍c
23、- ,=t(x4)； d- z吕且函数）,=0.1陀7的定义lg 解析c；根据对数恒等式得=01以7 =10卞-|2x-1域为（+ ,+8），故应选择C考点二：求函数的定义域、值域题型1：求有解析式的函数的定义域例2. （08年湖北）函数/（x）=丄ln（丁兀2 一3% + 2 + J兀$ 一3兀+ 4）的定义域为（）A. (-00-4) U 2,+oo) ； B. (-4,0) U (0,1) ； C. -4,0) U (0,1 ; D. -4,0) U (0,1)解题思路函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的口变量的取值范围。解析欲使函数/（兀）有意义，必须并且只需%2 - 3x + 2 n 0x2 3x + 4 n 0 =XG-4
