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《运筹学》题库
运筹学习题库
数学建模题(5)
1某厂生产甲、乙两种产品,这两种产品均需要A、B、C三种资源,每种产品的资源消耗
量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示:
A
B
C
甲
9
4
3
70
乙
4
6
10
120
360
200
300
试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型,不求解。
解:
设甲、乙产品的生产数量应为x1、x2,则xl、x2>0,设z是产品售后的总利润,则
maxz=70xi+120x2
9x14x2360
4x16x2200
3x110x2300
x1,x20
2、某公司生产甲、乙两种产品,生产所需原材料、工时和零件等有关数据如下:
甲
乙
可用量
原材料(吨/件)
2
2
3000吨
工时(工时/件)
5
4000工时
零件(套/件)
1
500套
产品利润(元/件)
4
3
建立使利润最大的生产计划的数学模型,不求解。
解:
设甲、乙两种产品的生产数量为x1、x2,
设z为产品售后总利润,则maxz=4x1+3x2
2x12x23000
5x12.5x24000
x1500
x1,x20
3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品,需要三种资源一一技术服务、劳动力和行政管理。
每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示:
技术服务
劳动力
行政管理
单位利润
甲
1
10
2
10
乙
1
4
2
6
丙
1
5
6
4
资源储备量
100
600
300
建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型,不求解。
解:
建立线性规划数学模型:
设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为Xi、X2、X3,则Xi、X2、X3>0,设z是产品售后的总
利润,则
maxz=10x1+6X2+4X3
x1x2x3100
10x!
4x25x3600
2x12x26x3300
Xi,X2,
X3
4、一个登山队员,他需要携带的物品有:
食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。
每种物品的重量合重要性系数如表所示。
设登山队员可携带的最大重量为25kg,
试选择该队员所应携带的物品。
序号
1
2
3
4
5
6
7
物品
食品
氧气
冰镐
绳索
帐篷
照相器材
通信设备
重量/Kg
5
5
2
6
12
2
4
重要性系数
20
15
18
14
8
4
10
试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型,不求解。
解:
弓I入0—1变量Xi,Xi=i表示应携带物品i,,Xi=0表示不应携带物品I
naxz20x115x218x314x48x54x610x7
5x-|5x22x36X412x52x64x725
xi0或1,i1,2,...,7
5、工厂每月生产A、B、C三种产品,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如下图所示:
'、、、产资'、品
源、
A
B
C
资源限量
材料(kg)
4
2500
设备(台时)
3
1400
利润(元/件)
10
14
12
根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260、120,最高需求量是250、310、
130,试建立该问题数学模型,使每月利润最大,为求解。
解:
设每月生产A、B、C数量为x1,X2,X3。
MaxZ
10xi14x212x3
厂1.5x11.2x2
4x32500
3x11.6x21.2x31400
150
X1
250
260
X2
310
120
X3
130
X1,X2,X3
0
6、A、B两种产品,都需要经过前后两道工序,每一个单位产品A需要前道工序1小时和后
道工序2小时,每单位产品B需要前道工序2小时和后道工序3小时。
可供利用的前道工序有11小时,后道工序有17小时。
每加工一个单位产品B的同时,会产生两个单位的副产品C,且不需要任何费用,产品C一部分可出售盈利,其余只能加以销毁。
出售AB、C
的利润分别为3、7、2元,每单位产品C的销毁费用为1元。
预测表明,产品C最多只能售出13个单位。
试建立总利润最大的生产计划数学模型,不求解。
解:
设每月生产A、B数量为X1,X2,销毁的产品C为X3。
MaxZ3x17x22(2x2x3)x3
厂X
2x2
11
2x1
3x2
17
2X2
X3
13
X1,X2,X3
0
7、靠近某河流有两个化工厂(参见附图),流经第一化工厂的河流流量为每天500m3,在
两个工厂之间有一条流量为200万m3的支流。
第一化工厂每天排放有某种优化物质的工业
一33
污水2万m,第二化工厂每天排放该污水万m。
从第一化工厂的出来的污水在流至第二
化工厂的过程中,有20祠自然净化。
根据环保要求,河流中的污水含量不应大于%这两
个工厂的都需要各自处理一部分工业污水。
第一化工厂的处理成本是1000元/万m3,第二
化工厂的为800元/万m。
现在要问满足环保的条件下,每厂各应处理多少工业污水,才
能使两个工厂的总的污水处理费用最少列出数学模型,不求解。
附图:
。
工厂1
十33
500万m200万m
解:
设第一化工厂和第二化工厂的污水处理量分别为每天x1m3和x2万m3,
minZ1000x1800x2
1x12
0.8x1x21.6
st
x21.4
x1,x20
8、消费者购买某一时期需要的营养物(如大米、猪肉、牛奶等),希望获得其中的营养成分
(如:
蛋白质、脂肪、维生素等)。
设市面上现有这3种营养物,其分别含有各种营养成分
数量,以及各营养物价格和根据医生建议消费者这段时间至少需要的各种营养成分的数量
(单位都略去)见下表。
营养物
营养成分
甲
乙
丙
至少需要的营养成分数量
A
4
6
20
80
B
1
1
2
65
C
1
0
3
70
D
21
7
35
450
价格
25
20
45
问:
消费者怎么购买营养物,才能既获得必要的营养成分,而花钱最少只建立模型,不用计
算。
解:
设购买甲、乙、丙三种营养物的数量分别为X1、X2和x3,则根据题意可得如下线性规
划模型:
minz25x120x245x3
4为6x220x380
为x22x365
s.t.为3x370
21x17x235x3450
捲必氏0
9、某公司生产的产品A,B,C和D都要经过下列工序:
刨、立铳、钻孔和装配。
已知每单位产品所需工时及本月四道工序可用生产时间如下表所示:
刨
立铳
钻孔
装配
A
B
C
D
可用生产时间
(小时)
1800
2800
3000
6000
又知四种产品对利润贡献及本月最少销售需要单位如下:
产品
最少销售需要单位
元/单位
A
100
2
B
600
3
C
500
1
D
400
4
问该公司该如何安排生产使利润收入为最大(只需建立模型)解:
设生产四种产品分别X1,X2,X3,X4单位
则应满足的目标函数为:
maxz=2x计3x2+X3+x4
满足的约束条件为:
0.5:
X1X2X3
0.5
>x41800
2X1
X2X3
2800
0.5:
X10.5x2
X3
x43000
3Xj
X22x3
3x4
6000
X1
100
X2
600
X3
500
X4
400
10、某航空公司拥有10架大型客机、15架中型客机和2架小型客机,现要安排从一机场到4城市的航行计划,有关数据如表1-5,要求每天到D城有2个航次(往返),到A,B,C
城市各4个航次(往返),每架飞机每天只能完成一个航次,且飞行时间最多为18小时,
求利润最大的航班计划。
客机类型
到达城市
飞行费用(元/次)
飞行收入(元/次)
飞行时间(h/d)
大型
A
6000
5000
1
B
7000
7000
2
C
8000
10000
5
D
10000
18000
10
中型
A
1000
3000
2
B
2000
4000
4
C
4000
6000
8
D
——
——
20
A
2000
4000
1
小型
B
3500
5500
2
C
6000
8000
6
D
—
—
19
解:
设大型客机飞往A城的架次为X1A,中型客机飞往A城的架次为X2A,小型客机飞往A城的架次为X3A,其余依此类推。
同理
x2Ax2Bx2C15
x3Ax3Bx3C2
班次约束
飞往各城的班次要满足
X1A
x2A
x3A
4
x1B
x2B
x3B
4
x1C
x2C
x3C
4
x1D
x2D
x3D
2
非负性约束
Xj0且为整数;(i=1,2,3;j=A,B,C,D)
maxz—1000x1AOxiB2000x1C8000xid+2000x2a
目标函数为
2000x2b2000x?
c2000x3A2000x3B2000x3c
11、CRISP公司制造四种类型的小型飞机:
AR1型(具有一个座位的飞机)、AR2型(具有
两个座位的飞机)、AR4型(具有四个座位的飞机)以及AR6型(具有六个座位的飞机)。
AR1和AR2一般由私人飞行员购买,而AR4和AR6一般由公司购买,以便加强公司的飞行编队。
为了提高安全性,联邦航空局()对小型飞机的制造做出了许多规定。
一般的联邦航空局制
造规章和检测是基于一个月进度表进行的,因此小型飞机的制造是以月为单位进行的。
表说
明了CRISP公司的有关飞机制造的重要信息。
AR1
AR2
AR4
AR6
联邦航空局的最大产量(每月生产的飞机数目)
8
17
11
15
建造飞机所需要的时间(天)
4
7
9
11
每架飞机所需要的生产经理数目
1
1
2
2
每架飞机的盈利贡献(千美元)
62
84
103
125
CRISP公司下个月可以得到的生产经理的总数是60人。
该公司的飞机制造设施可以同
时在任何给定的时间生产多达9架飞机。
因此,下一个月可以得到的制造天数是270天(9*30,
每月按30天计算)。
JonathanKuring是该公司飞机制造管理的主任,他想要确定下个月的生产计划安排,以便使盈利贡献最大化。
解:
设x1表示下个月生产AR1型飞机的数目,x2表示AR2型,x3表示AR4型,x4表示AR6
目标函数:
maxz62为84x2103x3125x4
4X17X29X311X4270
X1X22X32X460
X18
约束条件:
X217
X311
X415
X1,X2,X3,X40
x1,x2,x3,x4为整数
12、永辉食品厂在第一车间用1单位原料N可加工3单位产品A及2单位产品B,产品A可
以按单位售价8元出售,也可以在第二车间继续加工,单位生产费用要增加6元,加工后单位售价增加9元。
产品B可以按单位售价7元出售,也可以在第三车间继续加工,单位生产
费用要增加4元,加工后单位售价可增加6元。
原料N的单位购入价为2元,上述生产费用不包括工资在内。
3个车间每月最多有20万工时,每工时工资元,每加工1单位N需要工时,若A继续加工,每单位需3工时,如B继续加工,每单位需2工时。
原料N每月最多能得到10万单位。
问如何安排生产,使工厂获利最大
解:
设为为产品A的售出量;X2为A在第二车间加工后的售出量;X3表示产品B的售出量;
X4表示B在第三车间加工后的售出量;X5为第一车间所用原材料的数量,
则目标函数为:
maXz8X19.5X27X38X42.75X5
X5100000
3X22X41.5X5200000约束条件:
X1X23X50
X3X42X50
X1,X2,X3,X4,X50
化标准形式(5)
1将下列线性规划模型化为标准形式
解:
minzx12x23x3
X1
X2
X3
7
X1
X2
X3
2
3x1
X2
2x3
5
X10
X20
X3无约束
maxz'
X1
2x2
3(X4X5)
0x60x7
X1
X2
X4
X5X6
7
X1
X2
X4
X5X7
2
3x〔
X2
2X3
5
X170
2、将下列线性规划模型化为标准形式
minzx-i2x2
3x3
2x1
X2
X3
9
3x1
X2
2x3
4
4x1
2x2
3x3
6
X10
X20
X3无约束
解:
maxz'
X1'2x2
3x3'3x3''
2x1'
X2
X3'X3''X4
9
3x1'
X2
2x32x3''X5
4
4x1'
2x2
3x3'3x3''
6
X150
3、将下列线性规划变为最大值标准形。
minz3x14x22x35x4
4x1x22x3x42
x1x23x3Xt14st
2x-i3x2x32x42
X1,X2,X30,X4无约束
maxz3x14x22x35x45x4
st
4x1
x22x3
x4
x1x23x3x4x4
2x1
3x2
x32x4
x4"2
x5
2x4
14
x6
x1,x2,x3,x4,x4,x5,x6
图解法(5)
1用图解法求解下面线性规划
minz=—3xi+2x2
2x^4x222
x14x210
2x1x27
Xi3x21
Xl,X20
解:
XL
可行解域为abcda,最优解为b点。
2x1
由方程组
4x222
x20
解出Xi=11,X2=0
*Xi
=(11,
:
、X=
X2
•••minz=—3X11+2X0=—33
2、用图解法求解下面线性规划minz=2x1+X2
x14x224
Xjx28
5X,10
x20
从上图分析,可行解域为abcde,最优解为e点。
由方程组
X1
x28
X1
5
解出X1=5,X2=3
•••X*=X1
=
(5,3)T
X1
5X1+10x2=50
X计X2=1
X2
/•minz=Z=2x5+3=13
3、已知线性规划问题如下:
MaxZ=x13x2
(5x110x250
x1x21
X24
x-t,x20
用图解法求解,并写出解的情况
由图可知:
10x250
x24
则maxZ=2+3*4=14
4、用图解法求解下面线性规划问题
maxz2x1x2
5x115
6x12x224
st.
x2x25
x!
x20
解:
5、用图解法求解下面线性规划问题
maxz
2x1
3x2
%
2x2
8
4x1
16
st
4x2
12
Xj
0,j
1,2
图解如下:
大值为z*2*43*214。
二、单纯型法(15)
1、用单纯型法求解下面线性规划问题的解
maxz=3x1+3X2+4X3
3x14x2
5X3
40
6x〔4x2
3X3
66
X1,X2,X3
0
解:
加入松弛变量
X4,X5,
得到等效的标准模型
maxz=3x1+3X2+4X3+Ox4+0x5
3xi4x25x3X440
6X14X23X3X566
Xj0,j1,2,...,5
列表计算如下:
3
3
4
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0L
0
x4
40
3
4
(5)
1
0
8
0
x5
66
6
4
3
0
1
22
0
0
0
0
0
3
3
4f
0
0
4
x3
8
3/5
4/5
1
1/5
0
40/3
0
x5
42
(21/5)
8/5
0
—3/5
1
10
12/5
16/5
4
4/5
0
3/5f
—1/5
0
—4/5
0
4
x3
2
0
4/7
1
2/7
—1/7
3
x1
10
1
8/21
0
—1/7
5/21
3
24/7
4
5/7
1/7
38
0
—3/7
0
—5/7
—1/7
*T
•••X=(10,0,2,0,0)•••maxz=3x10+4x2=38
2、用单纯型法求解下面线性规划问题的解
maxz=70x1+120x2
9x1
4x2
360
4x1
6x2
200
3x1
10x2
300
X1,
x20
解:
加入松弛变量X3,X4,X5,得到等效的标准模型:
maxz=70x1+120x2+0X3+0X4+0X5
9x1
4x2
X3
360
4x1
6x2
X4
200
3x1
10X2
X5
300
Xj
0,j
1,2,…,5
列表计算如下:
70
120
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0L
0
x3
360
9
4
1
0
0
90
0
x4
200
4
6
0
1
0
100/3
0
x5
300
3
(10)
0
0
1
30
0
0
0
0
0
70
120T
0
0
0
0
x3
240
39/5
0
1
0
-2/5
400/13
0
x4
20
(11/5)
0
0
1
-3/5
100/11
120
x2
30
3/10
1
0
0
1/10
100
36
120
0
0
12
34T
0
0
0
—12
0
x3
1860/11
0
0
1
—39/11
19/11
70
x1
100/11
1
0
0
5/11
-3/11
120
x2
300/11
0
1
0
-3/22
2/11
43000
70
120
0
170/11
30/11
11
0
0
0
-170/11
—30/11
T
100
11
300
11
/•maxz=70x
空+120x300=43000
111111
2x12x2
3000
5x1
maxz=4x,+3x2.
1洛
2.5X24000
500
3、用单纯型法求解下面线性规划问题的解
x1,x20
解:
加入松弛变量
x3,X4,X5,得到等效的标准形式:
2x12x2x33000
5x12.5x2x44000
maxz=4x!
+3x2+0x3+0x4+0x5.xx5°°
Xj0,j1,2,...,5
用表解形式的单纯形法求解,列表计算如下:
4
3
0
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
0L
0
X3
3000
2
2
1
0
0
3000/2=1500
0
X4
4000
5
0
1
0
4000/5=800
0
X5
500
(1)
0
0
0
1
500/1=500
0
0
0
0
0
4f
3
0
0
0
0
X3
2000
0
2
1
0
-2
2000/2=1000
0
X4
1500
0
()
0
1
-5
1500/=600
4
X1
500
1
0
0
0
1
4
0
0
0
4
0
3f
0
0
-4
0
X3
800
0
0
1
(2)
800/2=400
3
X2
600
0
1
0
-2
4
X1
500
1
0
0
0
1
500/1=500
4
3
0
-2
0
0
0
2f
0
X5
400
0
0
1
3
X2
1400
0
1
1
0
4
X1
100
1
0
0
4
3
1
0
4600
0
0
-1
0
据上表,
X=(100,1400,0,
0,400)Tmaxz=4X100+3X1400=460
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