广东珠海二中届高三第二次六校协作联考理数.docx
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广东珠海二中届高三第二次六校协作联考理数
珠海二中2019届高三第二次六校协作联考
数学(理科)试题
阳春一中肇庆一中真光中学桂城中学深圳二中珠海二中
本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的•
1.设z=1-i(为虚数单位),则z2-=()
z
a.—1—ib.-1iC.1id.1-i
2•设U=R,集合A二{y|y=2x,x・R},B二{x・Z|f-4^0},则下列结论正确的是
fxgx=ax-a"2a0,且a=1,若g2012=a,则f-2012=
A.
7•如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是()
A.E.
&已知f(x)为定义在(-心,•:
:
)上的可导函数,
自然对数的底,则()
2012
A.f
(1)ef(0),f(2012)ef(0)
01
B.f
(1):
:
ef(0),f(2012)ef(0)
C.f
(1)ef(0),f(2012) D.f(1^: ef(0),f(2012): : e2012f(0) 二、填空题: 本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分) (一)必做题(9〜13题) 9.等比数歹y! an』中,a3=2,a7=8,贝ya5= 10.(x—73)10的展开式中,/的系数是 2 11.命题“R,X-3X—0”的否定是 rr--44 12.已知|a|=|b|=|a-b|=2,则|2a-b|的值为 13.在实数的原有运算法则中,定义新运算a®b=3a-b,则x轻(4xj倉怜|8 的解集为 (二)选做题(14〜15题,考生只能从中选做一题,两题都做记第一题的得分) lx=2t2a 14.(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系下,曲线Ci: (t ly=-1 为参数), 「x=2cos8 曲线C2: (二为参数).若曲线g、C2有公共点, y=2+2sin日 则实数a的取值范围. 15.(几何证明选讲)如图,点A,B,C是圆0上的点, 且AB=2,BC=、、6,.CAB=120: 则.AOB对应的劣弧长为 三、解答题: 本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.(本题满分12分)已知函数 nn,tr, f(x)=sin(x)-sin(x)cosxa(aR,a为常数). 66 (1)求函数f(x)的最小正周期; TTTTj— (2)若函数f(x)在卜一,一]上的最大值与最小值之和为.3,求实数a的值. 22 17.(本题满分13分)调查某初中1000名学生的肥胖情况,得下表: 偏瘦 正常 肥胖 女生(人) 100 173 y丁 男生(人) x 177 Z 已知从这批学生中随机抽取1名学生,抽到偏瘦男生的概率为0.15。 (1)求x的值; (2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取50名,问应在肥胖学生中抽多少名? (3)已知y_193,Z—193,肥胖学生中男生不少于女生的概率。 18.(本题满分13分)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点 (I)求证: AC丄BC1; (n)求二面角D-CBi-B的平面角的正切值. 19.(本题满分14分)已知函数f(x)=ax・lnx,b(a,b・R),在点(e,f(e))处的切线方 程是2x_y_e=0(e为自然对数的底)。 (1)求实数a,b的值及f(x)的解析式; (2)若t是正数,设h(x)二f(x)f(t_x),求h(x)的最小值; (3)若关于x的不等式xlnx(6-x)ln(6-x)_ln(k2-72k)对一切x(0,6)恒成立, 求实数k的取值范围. 20.(本题满分14分)已知数列玄』中,印=2©-a.」-2n=0n_2,n・N. (1) 写出a2、aa的值(只写结果)并求出数列〈aj的通项公式; 1111 (2)设bn=----,求bn的最大值。 an1an2an3a2n 21.(本题满分14分)如图,曲线G是以原点O为中心、吒丁2为焦点的椭 圆的一部分,曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分,A是曲 75 线G和C2的交点且•AF2F1为钝角,若AF1,AF2 (1)求曲线C1和C2的方程; (2)过F2作一条与x轴不垂直的直线,分别与曲线C2依次交于B、C、D、E四点,若 G为CD中点、H为BE中点,问PEHGF2I是否为定值? 若是求出定值;若不是说明理由 |cd|‘|hf2〔 三、解答题: 本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 解: (1)Tf(x)二2sinxcoscosxa=3sinxcosxa 6 =2sin •••函数f(x)的最小正周期T=2二 由题意,有(-、,3•a)•(2a^,3 12分 x 17.解: (1)由题意可知,0.15,•x=150(人); 1000 (2)由题意可知,肥胖学生人数为yz=400(人)。 设应在肥胖学生中抽取m人,则 (3)由题意可知,yz=400,且y_193,z_193,满足条件的(y,z)有(193, 207),(194,206),…,(207,193),共有15组。 设事件A: “肥胖学生中男生不少于女生”,即y乞z,满足条件的(y,z)有(193,207),(194,206),…,(200,200),共有8组,所以 P(A)睾。 15 8 答: 肥胖学生中女生少于男生的概率为。 13分 15 18.(I)证明: 直三棱柱ABC—A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5, tAC2BC2=AB2 AC丄BC, 又AC丄GC,且BCnC1C=C BC1 (n)解法一: 取BC中点E,过D作DF_RC于F,连接EF6分 tD是AB中点, •••DE//AC,又AC_平面BB1C1C •••DE_平面BB1C1C, 又: EF平面BB1C1C,BG二平面BB1C1C •DE_EF •-B1C-DE又: DF—BQ且DE门DF=D •-B1C_平面DEF,EF-平面DEF •-RC_EF又: DF_B1C •EFD是二面角D-BC-B的平面角 TAC=3,BC=4,AA1=4, •••在DEF中,DE_EF,DE=3,EF=川2 2 3 232 、2一4 解法二: 以CA、CB、CCi分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系6分 TAC=3,BC=4,AAi=4, 3 •A(3,0,0),B(0,4,0)C(0,0,0),D(-,2,0),B(0,4,4), 3 •CD=(2,2,0), CBi-(0,4,4) 平面CBBiCi的法向量n,=(10,0),8分 T 设平面DB,C的法向量n2=(x0,y0,z0), TT 则n,n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角D-CBi-B的大小9分 3 令x°=4,则y°--3,Z0=3 则由匕田"二尹2y0=O n'CR=04y04%=0 T •n^(4,-3,3) 面角D-B,C-B是锐二面角 3\/2 面角D—BQ—B的正切值为〒 13分 19•解: (1)依题意有 2e-f(e)-e=0 .f(e)=e : f'(x)二alnxab f'(e)=alneab=2 .2ab=2.b=2-2a : (e,f(e))在f(x)上 f(e)=aelneb二aeb二e .ae2-2a=e.a=1 .b=0 f(x)=xlnx 故实数a=1,b=0,f(x)=xlnx h(x)二f(x)f(t「x) =xlnx(t「x)ln(t「x) h(x)的定义域为(0,t); xh'(x)=lnx1-[ln(t—x)1]=lnt—x由h'(x)0得-: : : x: : t,h'(x): : 0得0x」, 22 ■h(x)在(丄,t)上是增函数.h(x)在(丄)上是减函数 22 h(x)min二h(左)=tln- 22 10分 (3)'/xlnx(6「x)ln(6「x)二f(x)f(6「x)二h(x) 由⑵知h(x)min=h(^tln| t=6,h(x)min=h(? )=6ln3=In72911分 xlnx(6-x)ln(6-x)_ln(k2-72k)对一切x(0,6)恒成立 ■ln(k2-72k)鋼n729 2 k2-72k>0 2 k-72k岂729 _9乞k: : 0,72: : k<81 13分 故实数k的取值范围[-9,0)一(72,81]. 14分 20. 解: (1)V印=2,an—an丄一2n=0n_2,nN a? =6,=12 当n_2时, an-an丄=2n,an」一ant=2n-1,,a3-a2=23,a^a^22, an-Q=2||n亠in-1i亠亠32, •an=2nn—1—亠321工2门;1二nn1 当n=1时,印=111=2也满足上式, •••数列: an/的通项公式为a.=nn・1 ⑵bn 1.丄.…丄二1.1..1 an1an2a2nn•1n2n2n3 2n2n1 111111 ‘‘—=‘"r”‘—>‘i"***”‘—‘ n1n2n2n32n2n1 11n1 冷-2n1—n23n1'门.$.3n 10分 1 =2x—x_1,贝Ufx=2x 当x_1时,fxi、0恒成立 另解 fx在xe 即当n=1时, 1,;上是增函数, (bn* 故当 "时,fXmin二f1=3…13分 14分 n22n3 + n12n1 D n22n12n3n1 二3n+3 _2n25n2 3n4 2n25n■3 <0 数列? an[是单调递减数列,• 设A(x,y),Fj-c,。 ),F2(c,0),则(xc)2y2=(7)2,(x-c)2y2 35 两式相减得xc,由抛物线定义可知AF2二x•c二 22 冲3、3 则c=1,x或x=1,c(舍去) 22 22 所以椭圆方程为—•仝=1,抛物线方程为y2=4x。 98 AH垂直于该准线, 另解: 过F1作垂直于x轴的直线x二-c,即抛物线的准线,作 作AM丄x轴于M,则由抛物线的定义得AF2=AH, 5)设恥】■川氏也必)・U包小hD(无以”直线y"A1),代入手+牛=l得: Vc +1): +9^a-72=0.BP(8+9*»+l阴-64宀S 64k2 8+U2 10分 同理、将y=k(x-1)代入y2=Ax^tky1-4j-4^-0* 4 则心厂严i 12分 凹週芒巴乃”他+片)[切|础|必-川丄也+却临而7歼帝2’ 为宦鳳 14分
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