高中数学第1章直线多边形圆111图形变化的不变性112平移旋转反射113相似与位似学案北师大版选修.docx
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高中数学第1章直线多边形圆111图形变化的不变性112平移旋转反射113相似与位似学案北师大版选修
1.1 图形变化的不变性
1.2 平移、旋转、反射
1.3 相似与位似
1.了解图形变化过程中的不变性.
2.理解平移、旋转、反射变换的概念,并会简单应用.
3.会综合应用相似与位似解决相关问题.
[基础·初探]
教材整理1 图形变化的不变性
图形在变化过程中,有些性质改变了,但有些性质仍然保持不变,这就是图形变化的不变性.
1.如图111
(1)所示的标志,有人把这个标志从上往下均匀压缩后变为如图111
(2)所示的标志,则压缩前后该标志没有发生变化的是( )
图
(1) 图
(2)
图111
A.形状B.大小
C.位置D.三条线段相交
【解析】 把标志压缩后,形状、大小、位置明显改变了,三条线段相交没有发生变化.
【答案】 D
教材整理2 平移、旋转、反射
名称
定义
图形示例
平移变换
图形的平移过程称为平移变换
旋转变换
图形的旋转过程称为旋转变换
反射变换
一个图形F绕一条直线l翻转180°得到另一个图形F′,则F与F′关于l对称,这种图形的变化过程称为反射变换,直线l称为反射轴
一个图形通过平移变换、旋转变换、反射变换变为另外一个图形,其对应线段的长度不变,对应角的大小不变,因此,变换前后两个图形是全等的,但图形的位置可能发生改变.
2.在平移变换、旋转变换、反射变换中,可能发生改变的是图形的( )
A.形状B.对应线段的长度
C.对应角的大小D.位置
【解析】 根据平移、旋转、反射的特点可知图形的形状、对应线段的长度、对应角的大小不变,发生改变的是位置.
【答案】 D
3.如图112形中,是由图仅通过平移得到的是( )
【解析】 由平移的规律知,仅通过平移可得到C.
【答案】 C
教材整理3 相似与位似
(1)相似变换:
把一个图形按一定比例放大或缩小,这种图形的变化过程称为相似变换.
一个图形通过相似变换变为另外一个图形,其对应角的大小不变,但对应线段的长度和图形的位置发生了改变.
(2)位似变换:
把一个图形变为它的位似图形,这种图形的变化过程称为位似变换.
一个图形通过位似变换变为另外一个图形,其形状不变,对应角的大小不变,但图形的位置发生了改变.
位似变换是一种特殊的相似变换.
4.相似变换中图形的( )
A.对应角的大小不变
B.对应线段长度不变
C.形状不同
D.对应点的连线(或延长线)相交于一点
【解析】 根据相似的特点,对应角的大小不变,对应线段长度会发生改变.图形的形状不变,因图形的位置发生改变,对应点的连线(或延长线)平行或相交于一点.
【答案】 A
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
解惑:
疑问2:
解惑:
疑问3:
[小组合作型]
平移
如图113是由若干个边长为1的小正方形组成的网格,在图中作出将五角星ABCDE向东北方向平移3
个单位的图形.
【导学号:
96990000】
图113
【精彩点拨】 小正方形对角线的长是
,3
就是3×3的正方形对角线的长.先作出A,B,C,D,E平移后的对应点,按原图形的方式连接即可.
【自主解答】 将A,B,C,D,E五点向东北方向分别平移3
(上移3格,右移3格)得A′,B′,C′,D′,E′五点,连接五点即得所求图形.如图所示.
1.解答本题时应注意平移的方向与平移的距离.
2.平移作图的一般步骤:
(1)在原图中找出关键点;
(2)确定平移的方向和平移的距离;
(3)根据平移的性质作出关键点的对应点;
(4)按原图的连接顺序连接作出的点,并标上相应字母.
3.平移作图必须确定准方向和距离,两者缺一不可.
[再练一题]
1.如图114所示,将图①中的图形N平移后的位置如图②所示,那么下面平移中正确的是( )
图114
A.先向下移动1个单位,再向左移动1个单位
B.先向下移动1个单位,再向左移动2个单位
C.先向下移动2个单位,再向左移动1个单位
D.先向下移动2个单位,再向左移动2个单位
【解析】 由平移的规律知选C.
【答案】 C
相似与位似变换的应用
已知一个三角形的三边长分别为3cm,4cm,5cm,和它相似的另一个三角形的最长边为12cm,求另一个三角形内切圆和外接圆的面积.
【精彩点拨】 确定三角形的相似比及圆的半径即可求圆的面积.
【自主解答】 设边长为3cm,4cm,5cm的三角形的内切圆半径为r,外接圆半径为R,因为该三角形为直角三角形,
故
(3+4+5)r=
×3×4,
∴r=1,R=
,
∴S内切圆=π,S外接圆=π·
2=
π.
又∵两三角形的相似比为
,
∴S′内切圆=
2S内切圆=
π,
S′外接圆=
2S外接圆=36π.
1.解答本题时,用到直角三角形内切圆和外接圆半径的求法.求内切圆半径,可利用
(a+b+c)r内=
ab,得r内=
,R外=
,(其中a,b,c是直角三角形三边长,c是斜边长)
2.位似图形与相似图形的关系:
位似图形是特殊的相似图形;两个图形是位似图形,那么这两个图形也必定是相似图形;两个相似图形却不一定是位似图形.
3.性质:
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
[再练一题]
2.某同学自制了一个简易的幻灯机,其工作情况如图115所示,幻灯片与屏幕平行,光源到幻灯片的距离是30cm,幻灯片到屏幕的距离是1.5m,幻灯片上小树的高度是10cm,则屏幕上小树的高度是( )
图115
A.50cmB.500cm
C.60cmD.600cm
【解析】 设屏幕上小树的高度为xcm,则
=
,解得x=60(cm).
【答案】 C
旋转与反射
将一副三角板按如图116图①位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MD重合.已知AB=AC=8cm,将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(如图116②,此时MD与BC相交),两个三角形重叠(阴影)部分的面积约是________cm2.(结果精确到0.1,
≈1.73)
图116
【精彩点拨】 旋转后阴影部分中AC=8cm,∠DAC=60°,只需求出AN,则阴影面积可求.
【自主解答】 设AD交BC于N点,在△ACN中,
∵∠DAC=60°,∠ACN=45°,
∠ANC=75°,
由正弦定理得
=
,
∴AN=
·AC=
=8(
-1),
∴S△NAC=
×AC×AN×sin60°
=
×8×8(
-1)×
≈20.3(cm2).
答:
阴影部分面积约为20.3cm2.
解答旋转问题时应注意以下几点:
(1)旋转的性质:
①图形中每一点都绕旋转中心沿相同的方向旋转了相同的角度,即所有的旋转角都相等;②对应点到旋转中心的距离相等;③对应线段相等,对应角相等.
(2)图形的旋转不改变图形的大小和形状,旋转是由旋转中心、旋转角和旋转方向共同决定的,旋转中心可在图形上,也可不在图形上.
(3)图形的旋转可能改变图形的位置,也可能不改变图形的位置(当图形旋转360°时,图形的位置没有改变)
[再练一题]
3.如图117所示是某设计师在方格纸中设计的图案的一部分,请你帮他完成余下的工作:
图117
(1)作出关于直线AB的轴对称图形;
(2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90°.
【导学号:
96990001】
【解】 由对称变换和旋转变换可得如下图所示图形.
[探究共研型]
平移、旋转、反射的特征
探究1 平移、旋转、反射有什么区别和联系?
【提示】
(1)平移、旋转、反射的不同点:
①平移、旋转、反射的含义不同:
平移是将一个图形沿某个方向移动一定的距离;旋转是将一个图形绕一个点沿某个方向转动一定的角度;反射是将某个图形沿某一条直线翻转180°;②平移、旋转、反射的性质不同:
平移的对应线段平行(或在一条直线上)且相等;旋转的对应线段一般只是相等;对应点与旋转中心连线所形成的旋转角相等,反射的对应线段相等,对应点的连线被反射轴垂直平分.
(2)平移、旋转、反射的相同点:
平移、旋转、反射都不改变图形的形状和大小,对应线段相等,对应角相等.
利用位似变换作图
探究2 如何用位似变换作图?
【提示】
(1)图形放大或缩小的依据是位似图形的性质.放大或缩小的倍数是对应的位似比.
(2)将一个图形放大或缩小的步骤:
①确定位似中心,位似中心的位置可任意选择;②确定原图形的关键点;③确定位似比,即原图形与所作新图形的相似比;④利用位似图形的性质分别作出原图形中各关键点的对应点;⑤按原图连接顺序连接作出的新关键点.(3)符合要求的图形不唯一,其原因:
一是与位似中心选择的位置有关,二是同一个位似中心两侧各有一个符合要求的图形.
已知△ABC,在△ABC内,求作一正方形GDEF,使DE在BC上,G,F分别在AB,AC上.
【精彩点拨】 假设所求作正方形GDEF,两顶点D、E在△ABC的边BC上,G、F分别在AB、AC上.先放弃F在AC上的要求,而保留其他要求,则可得到以B为位似中心的正方形GDEF的位似图形G′D′E′F′,并且FF′过点B.由此可得作图方法.
【自主解答】
(1)作正方形G′D′E′F′,使G′在BA上,D′,E′在BC上;
(2)连接BF′并延长交AC于F;
(3)作EF⊥BC于E,
作FG∥CB交AB于G;
(4)作GD⊥BC于D.
∴正方形GDEF即为所求作正方形.
[再练一题]
4.如图118,已知∠AOB,E为∠AOB内一定点.求作:
⊙C,使⊙C经过E点,且与∠AOB两边都相切.
图118
【解】
(1)作∠AOB的平分线OD;
(2)在OD上任取一点C′,作⊙C′使之与两边OA、OB相切;
(3)连接OE,交⊙C′于点E′;
(4)连接E′C′;
(5)过E作EC∥E′C′交OD于C;
(6)作⊙C(以CE为半径).
∴⊙C就是所求作的圆.
[构建·体系]
1.方程y=x2和y=-x2表示的图形的反射轴是( )
A.x轴B.y轴
C.直线y=xD.直线y=-x
【解析】 画出抛物线y=x2及y=-x2知,两个图形关于x轴对称.
【答案】 A
2.下列说法正确的是( )
A.平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小
B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置
C.图形可以向某方向平移一定距离,也可以向某方向旋转一定距离
D.在平移和旋转图形中,对应角相等,对应线段相等且平行
【解析】 由平移和旋转的规律知选B.
【答案】 B
3.如图119所示,正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的,若AB∶FG=2∶3,则下列结论正确的是( )
图119
A.2DE=3MN
B.3DE=2MN
C.3∠A=2∠F
D.2∠A=3∠F
【解析】 由位似变换的规律知,3DE=2MN.
【答案】 B
4.如图1110所示,把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于点D,若∠A′DC=90°,则∠BAC的度数是________.
图1110
【解析】 由题意知,∠A′CD=35°,则∠DA′C=90°-35°=55°,
∴∠BAC=∠DA′C=55°.
【答案】 55°
5.如图1111所示,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10,现将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P′AB,求
(1)点P与P′之间的距离;
(2)∠APB的度数.
图1111
【解】
(1)由题意知AC与AB重合,则旋转角为60°,又∵AP=AP′,
∴△APP′是正三角形,∴PP′=AP=6.
(2)在△BPP′中,P′P=6,PB=8,P′B=PC=10,
∴P′P2+PB2=P′B2,
∴∠P′PB=90°,
∴∠APB=∠APP′+∠P′PB
=60°+90°=150°.
我还有这些不足:
(1)
(2)
我的课下提升方案:
(1)
(2)
- 配套讲稿:
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