矩形菱形正方形辅助线的作法专训.docx
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矩形菱形正方形辅助线的作法专训
矩形、菱形、正方形辅助线的作法专训
矩形、菱形、正方形辅助线的作法专训
、连结法
试题1、(2014陕西第9题3分)如图,在
菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若
过点A作AE丄BC,垂足为E,则AE的
长为()
1GOd
A.4B.C.D.5
试题2、(2015安徽,第9题4分)如图,矩形ABCD
中,AB=8,BC=4.点E在边AB上,点
F在边CD上,点G、H在对角线AC
上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是()
A.2~B.3~C.5D.
试题3、如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,M,N分别是AB,CD的中点,P是AD上的点,且
/PNB=3/CBN.
(1)求证:
/PNM=2/CBN;
(2)求线段AP的长.
试题4、(2015山东德州,第20题8分)如图,在平面,直角坐标系中,矩
形OABC勺对角线OBAC相交于点D,且BE//AC,AE//OB
(1)求证:
四边形AEBD是菱形;
(2)如果OA=3OC=2求出经过点E的反比例函数
解析式.
考点:
反比例函数综合题..
分析:
(1)先证明四边形AEBD是平行四边形,
再由矩形的性质得出DA=DB即可证出四边形AEBD是菱形;
(2)连接DE交AB于F,由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分,求出EF、AF,得出点E的坐标;设经过点E的反比例函数解析式为:
y=,把点E坐标代入求出k的值即可.
・•・四边形AEBD是平行四边形,节
••四边形OAB(是矩形,r\
•••DA=AC,DB=OBAC=OBAB=OC=,
••DA=DB
•••四边形AEBD是菱形;
(2)解:
连接DE交AB于F,如图所示:
••四边形AEBD是菱形,
•AB与DE互相垂直平分,
•/OA=3OC=2
•EF=DF=OA=,AF=AB=1,呷
3+=,
•••点E坐标为:
(:
1),
设经过点E的反比例函数解析把点E(,1)代入得:
k=,,
・•・经过点E的反比例函数解析式为:
y=-;.
点评:
本题是反比例函数综合题目,考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、
2)中,
坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法;本题综合性强,有一定难度,特别是(需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果.
试题5、(2015江苏泰州,第25题12分)如图,正方形ABCD的边长为8cm,E、
F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:
四边形EFGH是正方形;
(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由;
(3)求四边形EFGH面积的最小值.
考点:
四边形综合题.
分析:
(1)由正方形的性质得出/A=/B=/
C=/D=90°,AB=BC=CD=DA,证出AH=BE=CF=DG,由SAS证明MEHBFE
CGF^ADHG,得出EH=FE=GF=GH,/AEH=/
BFE,证出四边形EFGH是菱形,再证出/
HEF=90。
,即可得出结论;
(2)连接AC、EG,交点为0;先证明AAOE^A
COG,得出OA=OC,证出0为对角线AC、BD的
交点,即0为正方形的中心;
(3)设四边形EFGH面积为S,BE=xcm,则BF=
(8-x)cm,由勾股定理得出S=x2+(8-x))=2(x-4)2+32,S是x的二次函数,容易得出四边形EFGH面积的最小值.
解答:
(1)证明:
•••四边形ABCD是正方形,
.・・/A=/B=ZC=/D=90°,AB=BC=CD=DA,
•・•AE=BF=CG=DH,
・•・AH=BE=CF=DG,
在MEH、Z\BFE、Z^CGF和ADHG中,
rAE=BF=CG=DH
1厶二“二?
ah二BE二CF二DG
/.△AEHBFECGFDHG(SAS),
・•・EH=FE=GF=GH,/AEH=/BFE,
•••四边形EFGH是菱形,
•・•/BEF+/BFE=90°,
・•・/BEF+/AEH=90°,
・•・/HEF=90°,
•四边形EFGH是正方形;
(2)解:
直线EG经过一个定点,这个定点为正方形的中心(AC、BD的交点);理由如下:
连接AC、EG,交点为O;如图所示:
T四边形ABCD是正方形,
・•・ABIICD,
・•・/OAE=/OCG,
[Z0AE=Z0CG
在MOE和zACOG中,丄磁*cog,.•・△AOE
IaE二CG
COG(AAS),
・•・OA=OC,即O为AC的中点,
•・•正方形的对角线互相平分,
・•・O为对角线AC、BD的交点,即O为正方形的中心;
(3)解:
设四边形EFGH面积为S,设
BE=xcm,贝VBF=(8-x)cm,
根据勾股定理得:
EF2=BE2+BF2=x2+(8-x)2,
・•・S=x2+(8-x)2=2(x-4)2+32,
•2>0,
•••S有最小值,
当x=4时,S的最小值=32,
・•・四边形EFGH面积的最小值为32cm2.
点评:
本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的
判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是
(2)(3)中,需要通过作辅助线证明三角形全等和运用二次函数才能得出结果.
试题6、(12分)(2015内蒙古赤峰25,12分)如图,四边形ABCD是边长为2,—个锐角等于60°的菱形纸片,小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合,按顺时针方向旋转三角形纸片,使它的两边分别交CB、BA(或它们的延长线)于点E、F,ZEDF=60。
,当CE=AF时,如图1小芳同学得出的结论是DE=DF.
(1)继续旋转三角形纸片,当CE半AF时,如图2小芳的结论是否成立?
若成立,加以证明;若不成
立,请说明理由;
(2)再次旋转三角形纸片,当点E、F分别在CB、BA的延长线上时,如图3请直接写出DE与DF的数量关系;
(3)连EF,若△DEF的面积为y,CE=x,求y与x的关系式,并指出当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?
考点:
几何变换综合题.
分析:
(1)如答图1,连接BD.根据题干条
件首先证明/ADF=ZBDE,然后证明△ADF
BDE(ASA),得DF=DE;
(2)如答图2,连接BD•根据题干条件首先证明ZADF=ZBDE,然后证明△ADFBDE(ASA),得DF=DE;
(3)根据
(2)中的△ADF◎△BDE得到:
S”df=S
△bde,AF=BE.所以△DEF的面积转化为:
y=S^BEF+SaABD.据此列出y关于X的二次函数,通过求二次函数的最值来求y的最小值.
解答:
解:
(1)DF=DE.理由如下:
如答图1,连接BD.
•••四边形ABCD是菱形,
・•・AD=AB.
又•・•/A=60°,
•••△ABD是等边三角形,
・•・AD=BD,/ADB=60
:
丄DBE=/A=60°•・•/EDF=60:
丄ADF=/BDE.•・•在△ADF”BDE中,
rZADF=ZBDE
・AD二BD,
・•・△ADFBDE(ASA),・•・DF=DE;
(2)DF=DE•理由如下:
如答图2,连接BD.•四边形
ABCD是菱形,
・•・AD=AB.
又A=60°,
•••△ABD是等边三角形,
・•・AD=BD,/ADB=60°,
・•・/DBE=/A=60°•・•/EDF=60
・•・/ADF=/BDE.
(ZADF=ZBDE
•・•在△ADF与厶BDE中,止视,
ZA=ZDBE
・•・△ADFBDE(ASA),
・•・DF=DE;
(3)由
(2)知,△ADF◎△BDE•贝VS〃df=Sabde,
AF=BE=x.
依题意得:
y=S^bef+S^abd=(2+x)
xsin60°+x2X2sin60°=(x+1)2+•即y=r
(x+1)2+.•€>0,
•••该抛物线的开口方向向上,
•••当x=0即点E、B重合时,y最小值=省.
点评:
本题考查了几何变换综合题,解题过程中,利用了三角形全等的判定与性质,菱形的性质以及等边三角形的判定与性质,对于促进角与角(边与边)相互转换,将未知角转化为已知角(未知边转化为已知边)是关键。
二、中心对称法(倍长法)
试题1、(2014山东临沂,第25题11分)【问题情
境】
如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分/DAM.
【探究展示】
(1)证明:
AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,探究展示
(1)、
(2)中的结论是否成立?
请分别作出判断,不需要证明.
考点:
四边形综合题;角平分线的定义;平行线的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的性质;正方形的性质
专题:
综合题;探究型.
分析:
(1)从平行线和中点这两个条件出发,延长
AE、BC交于点N,如图1
(1),易证
△ADE◎△NCE,从而有AD=CN,只需证明AM=NM即可.
(2)作FA丄AE交CB的延长线于点F,易证AM=FM,只需证明FB=DE即可;要证FB=DE,只需证明它们所在的两个三角形全等即可.
(3)在图2
(1)中,仿照
(1)中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立;在图2
(2)中,采用反证法,并仿照
(2)中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立.
解答:
(1)证明:
延长AE、BC交于点N,如图1
(1),•・•四边形ABCD是正方形,
・•・ADIIBC.
・•・/DAE=/ENC.
•・•AE平分/DAM,
・•・/DAE=/MAE.
:
丄ENC=/MAE.
・•・MA=MN.
在厶ADE和厶NCE中,
'ZDAE=ZCNE
・ZAED^ZNEC
DE二CE
・•・△ADENCE(AAS)
・•・AD=NC.
・・・ma=mn=nc+mc
=AD+MC.
(2)AM=DE+BM成立.
证明:
过点A作AF丄AE,交CB的延长线于点F,如图1
(2)所示.
•••四边形ABCD是正方形,
・•・/BAD=/D=/ABC=90°,AB=AD,
ABIIDC.
•・•AF丄AE,
・•・/FAE=90°.
・•・/FAB=90°-ZBAE=/DAE.在厶ABF和厶ADE中,
rZFAB=ZEAD
ZABF-ZD=90s
/.△ABFADE(ASA).
・•・BF=DE,/F=/AED.
•・•ABIIDC,
:
丄AED=/BAE.
•・•/FAB=/EAD=/EAM,
:
丄AED=/BAE=/BAM+/EAM
=/BAM+/FAB
=/FAM.
・•・/F=/FAM.
・•・AM=FM.
・•・AM=FB+BM=DE+BM.
(3)①结论AM=AD+MC仍然成立.
证明:
延长AE、BC交于点P,如图2
(1),
••四边形ABCD是矩形,
・•・ADIIBC.
・•・/DAE=/EPC
・•・/DAE=/MAE.
・•・/EPC=/MAE.
・•・MA=MP.
在厶ADE和厶PCE中,
rZDAE=ZCPE
*ZAED=ZPEC
DE=CE
・•・△ADEPCE(AAS)
・•・AD=PC.
・・・ma=mp=pc+mc
=AD+MC.
②结论AM=DE+BM不成立.
证明:
假设AM=DE+BM成立.
过点A作AQ丄AE,交CB的延长线于点Q,如图2
(2)所示.
••四边形ABCD是矩形,
:
丄BAD=/D=/ABC=90,ABIIDC.
•・•AQ丄AE,・•・/QAE=90°.
・•・/QAB=90°-ZBAE=/DAE.
:
丄Q=90°-ZQAB=90°-ZDAE=ZAED.
•・•ABIIDC,
・・・ZAED=ZBAE.
•ZQAB=ZEAD=ZEAM,
・・・ZAED=ZBAE=ZBAM+ZEAM=ZBAM+ZQAB
=ZQAM.
・・・ZQ=ZQAM.
・•・AM=QM.
・•・AM=QB+BM.
•・•AM=DE+BM,
:
.QB=DE.
在厶ABQ和厶ADE中,
'Zqab=Zead
・ZABQ=ZD=9G
BQ=DE
•••△ABQADE(AAS).
•••AB=AD.
与条件“AB工AD“矛盾,故假设不成立.
•AM=DE+BM不成立.
试题2、(2014黑龙江绥化,第26题9分)在菱形ABCD和正三角形BGF中,/ABC=60°P是DF的中点,连接PG、PC.
(1)如图1,当点G在BC边上时,易证:
PG=PC.如图2,当点F在AB的延长线上时,线段PC、PG有怎样的数量关系,写出你的猜想,并给与证明;
(3)如图3,当点F在CB的延长线上时,线段PC、PG又有怎样的数量关系,写出你的猜想(不必证明).
考点:
四边形综合题.
分析:
(1)延长GP交DC于点E,利用
△PED◎△PGF,得出PE=PG,DE=FG,得至U
CE=CG,CP是EG的中垂线,在RT△CPG中,/PCG=60°所以PG^PC.
(2)延长GP交DA于点E,连接EC,GC,先证明
△DPEFPG,再证得厶CDECBG,利用在
RT△CPG中,/PCG=60°所以PG^PC.
(3)延长GP到H,使PH=PG,连接
CH、DH,作MEIIDC,先证
△GFPHDP,再证得
△HDCGBC,在在RT△CPG中,/PCG=60°所以PG^PC.
解答:
(1)提示:
如图1:
延长GP交DC于点E,禾|」用厶PEDPGF,得出PE=PG,DE=FG,
・・・CE=CG,
•••CP是EG的中垂线,
在RT△CPG中,/PCG=60°
・•・PG=PC.
(2)如图2,延长GP交DA于点E,连接EC,GC,
•・•/ABC=60°,△BGF正三角形・•・GFIIBC//AD,
:
丄EDP=ZGFP,在厶DPE和厶FPG中
'ZEDP=ZGFP
,DP=FP
ZDPE^ZFPG
.・・△DPE◎△FPG(ASA)
・•・PE=PG,DE=FG=BG,
•・•/CDE=CBG=60°CD=CB,在厶CDE和厶CBG中,
6=cb
•ZCDE^CBG=604
CD=CB
・•・△CDECBG(SAS)・・・CE=CG,/DCE=/BCG,・•・/ECG=ZDCB=120°,
•・•PE=PG,
・・・CP丄PG,/PCG=ZECG=60°
.・・PG=PC.
(3)猜想:
PG=PC.
证明:
如图3,延长GP到H,使PH=PG,连接
CH,CG,DH,作MEIIDC
•・•P是线段DF的中点,
・•・FP=DP,
•・•/GPF=ZHPD,
・•・△GFPHDP,
・•・GF=HD,/GFP=ZHDP,
•・•/GFP+ZPFE=120°,/PFE=ZPDC,
・•・/CDH=/HDP+/PDC=120°,
••四边形ABCD是菱形,
・・・CD=CB,/ADC=/ABC=60°点点A、B、G又在
一条直线上,
・•・/GBC=120°,
••四边形BEFG是菱形,
・•・GF=GB,
・•・HD=GB,
・•・△HDC◎△GBC,
・・・CH=CG,/DCH=ZBCG,
:
丄DCH+/HCB=/BCG+/HCB=120°,即/HCG=120°
•/CH=CG,PH=PG,
・•・PG丄PC,/GCP=ZHCP=60°
:
.PG=PC.
点评:
本题主要考查了菱形的性质,以及全等三角
形的判定等知识点,根据已知和所求的条件正确的
构建出相关的全等三角形是解题的关键.
试题3、如图,在口ABCD中,点M为边AD的中点,过点ME.
(1)若AM=2AE=4,ZBCE=30°求口ABCD的面积;
(2)若BC=2AB,求证:
/EMD=3ZMEA.
解:
⑴TM为AD的中点,AM=2AE=4,
•••AD=2AM=8.在EIABCD中,BC=CD=8,
又VCH丄DE,•ZBEC=90
•••/BCE=30°•BE=BC=4,
••AB=6,CE=,•.
(2)延长EM,CD交于点N,连接CM.•••在□中,,•ZAEM=ZN,
三、旋转法
试题1、(2014浙江绍兴,第23题6分)
(1)如图,
正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,
根据全等三角形的性质求出即可;
(2)过点C作CE丄BC,垂足为点C,截取CE,使
CE=BM.连接AE、EN.通过证明△ABMACE
(SAS)推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角ZBAM=ZCAE;然后由等腰直角三角形的性质和
ZMAN=45°得到ZMAN=ZEAN=45°所以
△MANEAN(SAS),故全等三角形的对应边
MN=EN;最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即
222
MN2=BM2+NC2・
解答:
(1)证明:
在正方形ABCD中,
:
丄ABE=ZADG,AD=AB,在厶ABE和厶ADG中,
‘AD二AB
・ZABE^ZADG
LDG=BE
・•・△ABE^AADG(SAS),
:
丄BAE=ZDAG,AE=AG,
•••/EAG=90°,
在厶FAE和厶GAF中,
rAE=AG
•皿”贰,
Iae=af
・•・△FAEGAF(SAS),
・•・EF=FG
(2)解:
如图2,过点C作CE丄BC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM•连接AE、EN.
•・•AB=AC,ZBAC=90°:
丄B=ZC=45°・
•/CE丄BC,・・・/ACE=/B=45°
在厶ABM和厶ACE中,
rAB=AC
・ZB二ZACE
M=CE
/.△ABM◎△ACE(SAS).
・•・AM=AE,/BAM=ZCAE.
•・•/BAC=90°/MAN=45°
・•・/BAM+/CAN=45°・
于是,由/BAM=ZCAE,得
/MAN=/EAN=45°・
在厶MAN和厶EAN中,
'am-ae
・ZMAN^ZEAN
AN二AN
/.△MAN◎△EAN(SAS).
・•・MN=EN.
在RtAENC中,由勾股定理,得EN2=EC2+NC2.
・•・mn2=bm2+nc2.
•・•BM=1,CN=3,
•••MN2=12+32,
/.MN=
点评:
本题主要考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用.
试题2、(2015湖北十堰,第10题3分)如图,正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB,AD上,若CE=3〒,且/ECF=45。
,贝UCF的长为
()
A.2—B.3:
C.D.
考点:
全等三角形的判定与性质;勾股定理;
正方形的性质.
分析:
首先延长FD到G,使DG=BE,利用正
方形的性质得/B=ZCDF=/CDG=90°,
CB=CD;利用SAS定理得△BCEDCG,利用
全等三角形的性质易得厶GCF◎△ECF,利用勾股定理可得AE=3,设AF=x,利用GF=EF,解得X,
利用勾股定理可得CF.
连接CG、EF;
•・•四边形ABCD为正方形,在厶BCE与厶DCG中,
fCB=CD
•Z^ZCDG,
BE二DG
・•・△BCEDCG(SAS),・・・CG=CE,/DCG=/BCE,・•・/GCF=45°,在厶GCF与厶ECF中,
fGC=EC
•SZECF,
|CF=CF
・•・△GCFECF(SAS),
・•・GF=EF,
•CE=3,CB=6,
BE=$l"7'=“■'=3,
・•・AE=3,设AF=x,贝VDF=6—x,GF=3+(6-x)=9—x,
EF=咕<『\'八=「-':
,,
・•・(9—x)2=9+x2,
/.x=4,即AF=4,
/.CF=LL厂==2—,
故选A・
点评:
本题主要考查了全等三角形的判定及性
质,勾股定理等,构建全等三角形,利用方程思想是解答此题的关键.
四、构造法
试题1、1、(2015甘肃庆阳,第25.-
题,10分)如图,在正方形ABCD中,\
点E是边BC的中点,直线EF交正方
BEC
形外角的平分线于点F,交DC于点
G,且AE丄EF.
(1)当AB=2时,求△GEC的面积;
(2)求证:
AE=EF.
考点:
质.
全等三角形的判定与性质;正方形的性
分析:
(1)首先根据△ABEECG得到
AB:
EC=BE:
GC,从而求得GC=即可求得
S^GEC;
(2)取AB的中点H,连接EH,根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE◎△ECF,从而得到
AE=EF;
解答:
解:
(I):
AB=BC=2,点E为BC的
中占
I八,
・•・BE=EC=1,
•・•AE丄EF,
・•・△ABEECG,
・•・AB:
EC=BE:
GC,即:
2:
1=1:
GC,解得:
GC=,
S^GEC三ECCG=£X1泌=7;
(2)
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- 矩形 菱形 正方形 辅助线 作法