人教版反比例函数整章学案.docx
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人教版反比例函数整章学案
人教版八年级下第十七章《反比例函数》单元设计
总体说明
本章知识结构框图:
教学重点:
反比例函数的概念、图象和性质,以及反比例函数与现实世界的联系。
概念是确定解析式的前提,图象和性质是其灵魂,是数形结合思想方法的具体表现,反比例函数的实际应用,一方面说明在现实世界反比例函数大量存在,另一方面说明如何用反比例函数的知识分析和解决实际问题。
提高学生灵活地分析解决问题的能力。
故是本章的重点。
教学难点:
对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握。
教学时数:
教参建议8节,本设计安排8节
反比例函数的概念、图象和性质(第一课时)
环节一:
某单位要设计一个面积为6m2长方形花园,若设计的长方形长为xm,宽为ym。
则xy=()请问该长方形长宽是否唯一,如不唯一。
请你设计出五种不同设计方案填入下表:
思考:
X能否取非整数值?
能否取非正数值?
x
y
环节二:
用长方形的长x的值作为点的横坐标,对应的长方形的宽y的值作为点的纵坐标,在平面直角坐标系中描出上表所表示的点,然后用光滑的曲线连接起来。
观察图象可知:
沿x轴正向看,图象(填上升或下降),位于第象限,且y随x的增大而。
环节三:
假如两数x,y之积等于6,即xy=6。
请问x,y取值范围有什么变化?
用图象直观反映x与y间的关系.还应补充的数据填入下表
x
y
然后描点画图
观察图象可知:
图象位于第象限,沿x轴正向看,在每个象限,图象(填上升或下降),即在每个象限中y随x的增大而。
思考:
(1)x≠。
(2)画图象的关键是:
(3)选值时,要注意的问题是:
环节四:
若xy=—6,请用图象直观反映x,y之间的关系
x
y
x
y
列表:
描点:
用光滑曲线连接
环节五:
练习:
请分别用图象直观反映下面式子中x与y间的关系.
x
y
(1)xy=3
(2)xy=—3
x
y
解
(1)列表
描点:
用光滑的曲线连接:
x
y
(2)列表
描点:
用光滑的曲线连接:
小结:
观察上面四个图象可知:
当xy=k(k>0)时,图象位于第象限,在每个象限,沿x轴正向看,图象
(填上升或下降),且在每个象限中y随x的增大而。
当xy=k(k<0)时,图象位于第象限,在每个象限,沿x轴正向看,图象
(填上升或下降),且在每个象限中y随x的增大而。
当xy=k(k>0)时,x与y(填“同”或“异”)号,点(x,y)在第象限;当xy=k(k<0)时,x与y号,点(x,y)在第象限;
思考:
(1)x≠。
(2)Xy=k(k≠0)的图象会不会与x轴、y轴相交。
为什么?
反比例函数的概念、图象和性质(第二课时)
温故知新:
小学学过:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应的两个数的一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做成正比例关系.如果这两种量中相对应的两个数的一定,这两种量就叫做反比例的量,它们的关系叫做反比例关系.
如果用字母x和y表示两种相关联的量,k是常数,当=K时,y与x成正比例,当=K时,y与x成反比例
探索新知:
当
=k(k是常数,k≠0)时y=kx,函数y=kx称为正比例函数,类似地,
由Xy=k (k是常数,k≠0) 可得y=(分式形式)或y=(指数形式)
一般地,函数y=或y=(k是常数,k≠0)称y是x的函数。
请你分别画出反比例函数y=
和y=-
的图象。
x
y=
y=-
归纳:
反比例函数的图象和性质:
y=
(k≠0)
K>0
K<0
画出
大致
图象
性质
当k>0时,双曲线的两支分别位于第象限,在每个象限内,y值随x值的增大而.
当k<0时,双曲线的两支分别位于第象限,在每个象限内,y值随x值的增大而
例1:
如果反比例函数y=(m-1)x
图象在二四象限,求m值。
例2:
如图17.1—2是反比例函数y=
的图象的一支,根据图象回答下列问题:
(1)图象的另一支在哪个象限,常数m的取值范围是什么?
(2)在图象上任取点A(a,b)和点B(a’,b’),如果a>a’,那么b,b’有怎样的大小关系?
练习一
1.下列哪个等式中的y是x的反比例函数?
y=4x,
=3,y=6x+1,xy=123
2、反比例函数y=
的图象的两个分支分布在第象限,在每个象限内,y随x的增大而。
3、反比例函数y=-
中,自变量x取值范围是;当x>0时,y随x的增大而;当x<0时,y随x的增大而。
练习二
1、选择题:
(1)若ab<0,则正比例函数y=ax与反比例函数y=
在同一坐标平面中的大致图象是()
ABCD
(2)若点A(-1,a)、B(
,b)、C(2,c)都在反比例函数y=
的图象上,则a、b、c的大小关系是()
A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b
2、若反比例函数y=(m-1)x
的图象在第一三象限,求m的值。
练习三
如图,点A、B是反比例函数y=kx-1两点。
图中两个阴影矩形的面积相等吗?
为什么?
反比例函数的概念、图象和性质(第三课时)
例1:
如右图P点为反比例函数y=
上点,若图中阴影部分即矩形PAOB的面积为4,求反比例函数的解析式.
练习:
函数y=
的图象过点(3,一7),则它一定还经过点()
(A)(3,7)(B)(一3,一7)(C)(一3,7)(D)(2,一7)
例2.已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6
(1)写出y与x的函数关系式:
(2)求当x=4时,y的值。
练习:
1.已知y与x成反比例,且当x=-2时,y=3,则y与x之间的函数关系式是,当x=-3时,y=
例3.已知函数y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5求y与x的函数关系式
练习:
已知函数y=y1+y2,y1与x+1成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=0;当x=4时,y=9,求当x=-1时y的值
练习
1.函数y=
中自变量x的取值范围是
2.老师在黑板上写了这样一道题:
“已知点(2,5)在反比例函数y=
的图象上,试判断点(-5,-2)是否也在此图象上.”题中的“?
”是被一个同学不小心擦掉的一个数字,请你分析一下“?
”代表什么数,并解答此题目.
3.若函数y=(3-m)x
是反比例函数,则m的取值是
4.函数y=
的图象在第二、第四象限,则m的取值范围是
5.已知反比例函数y=
在每个象限内y随x增大而增大,求a的值.
6.已知反比例函数y=-
(k≠o,k为常数)的图象在第二、第四象限,则一次函数y=k(x一1)的图象不经过()
(A)第一象限(B)第二象限
(C)第三象限(D)第四象限
7.设反比例函数y=
的图象上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2),且当x1<0 提升能力 1.(2005年中考·资阳)已知正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数y= (k2≠0)的图象有一个交点的坐标为(-2,-1),则它的另一个交点的坐标是() A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1) 2.(2005年中考·沈阳)如图所示,已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B,与双曲线y2= (k<0)分别交于点C、D,且C点坐标为(-1,2). (1)分别求直线AB与双曲线的解析式; (2)求出点D的坐标; (3)利用图象直接写出当x在什么范围内取何值时,y1>y2. 17.2实际问题与反比例函数 一、教学目标 1.经历分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数模型,利用几何;工程中工作量,工作效率,工作时间的关系;物理杠杆知识;物理电学知识以及方程、反比例函数的知识分析、解决实际问题。 2.体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高运用代数方法解决问题的能力。 二、重点、难点 1.重点: 掌握从实际问题中建构反比例函数模型.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 2.难点: 分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析式 3.难点的突破方法: 用函数观点解实际问题,一要搞清题目中的基本数量关系,将实际问题抽象成数学问题,看看各变量间应满足什么样的关系式(包括已学过的基本公式),这一步很重要;二是要分清自变量和函数,以便写出正确的函数关系式,并注意自变量的取值范围;三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质,特别是图象,要做到数形结合,这样有利于分析和解决问题。 教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。 17.2实际问题与反比例函数 (1) 〖学习过程〗 一、回顾反比例函数的概念、图象与性质: 函数y=或y=(k是常数,k≠0)称y是x的函数。 当k>0时,两支曲线分别在,在每一象限内,y的值随x的增大而 当k<0时,两支曲线分别在,在每一象限内,y的值随x的增大而 二、圆柱底面积s、高h。 体积V则V= 圆锥底面积s、高h。 体积V则V= 三、做一做 活动1 某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(千帕)是气体体积V(立方米)的反比例函数,其图像如图所示(千帕是一种压强单位) (1)观察图象经过已知点 (2)写出这个函数的解析式; 解: ∵气体的气压P(千帕)是气体体积V(立方米)的反比例函数 ∴可设P= ∵图象经过点 ∴ (3)当气球的体积是0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕? 解: ∵P=;v= ∴P= (4)当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米? 为了安全起见,气球内的气压P≤ 即 活动2 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室. (1)储存室的底面积S(单位: m2)与其深度d(单位: m)有怎样的函数关系? (2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2,施工队施工时应该向下挖进多深? (3)当施工队按 (2)中的计划挖进到地下15m时,碰上了坚硬的岩石,为了节约建设资金,公司临时改变计划把储存室的深改为15m,相应的,储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)。 思考: (1)题目中哪个量是一定的? (2)哪些量是变化的? (3)这些量之间存在着怎样的等量关系? 活动3 如图,某玻璃器皿制造公司要制造一种窖积为1升(1升=1立方分米)的圆锥形漏斗. (1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系? (2)如果漏斗口的面积为100厘米2,则漏斗的深为多少? 练习 1.你吃过拉面吗? 实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识,一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数,其图象如图所示: (1)写出y与S的函数关系式; (2)求当面条粗1.6mm2时,面条的总长度是多少米? 2. (1)已知某矩形的面积为20cm2,写出其长y与宽x之间的函数表达式。 (2)当矩形的长为12cm时,求宽为多少? 当矩形的宽为4cm,求其长为多少? (3)如果要求矩形的长不小于8cm,其宽至多要多少? 17.2实际问题与反比例函数 (2) 问题一: 小明用过年自己剩下的压岁钱去买每枝售价为1.8元的圆珠笔,恰好买了12枝,他回家后高兴地告诉妈妈自己用压岁钱购买了学习用笔,妈妈夸奖了他,妈妈随即问他,假设用这些钱可买单价为x元的圆珠笔y枝,那么y与x的函数关系式是什么呢? 妈妈说,如果他答上来,奖励他一枝钢笔,同学们一起来帮帮他,好吗? 思考: (1)小明过年自己剩下的压岁钱为元 (2)买单价为x元的圆珠笔y枝共花元 (3)小明过年自己剩下的压岁钱买单价为x元的圆珠笔y枝所花的钱 问题二: 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载宪毕恰好用了8天时间. (1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位: 吨/天)与卸货时间t(单位: 天)之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物? 问题三: 一辆汽车往返于甲、乙两地之间,如果汽车以50千米/时的平均速度从甲地出发,则经过6小时可到达乙地. (1)甲、乙两地相距多少千米? (2)如果汽车把速度提高到v(千米/时)那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变化? (3)写出t与v之间的函数关系式; (4)因某种原因,这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地,则此时汽车的平均速度至少应是多少? (5)已知汽车的平均速度最大可达80千米/时,那么它从甲地到乙地最快需要多长时间? 练习 1.某高速公路全长658km,汽车沿此高速公路从一端驶往另一端,则汽车行完全程所需时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为 2.完成某项任务可获得500元报酬,考虑由x人完成这项任务,试写出人均报酬y(元)与人数x(人)之间的函数关系式 3.一定质量的氧气,它的密度 (kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数,当V=10时, =1.43, (1)求 与V的函数关系式; (2)求当V=2时氧气的密度 4.学校锅炉旁建有一个储煤库,开学初购进一批煤,现在知道: 按每天用煤0.6吨计算,一学期(按150天计算)刚好用完.若每天的耗煤量为x吨,那么这批煤能维持y天 (1)则y与x之间有怎样的函数关系? (2)画函数图象 (3)若每天节约0.1吨,则这批煤能维持多少天? 17.2实际问题与反比例函数(3) “给我一个支点,我可以把地球撬动.这是古希腊科学家阿基米德的名言. 公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”: 若两物体与支点的距离反比于其重量,则杠杆平衡,通俗一点可以描述为; 阻力×阻力臂=动力×动力臂(如下图) 问题一: 小伟欲用撬棍橇动一块大石头,已知阻力和阻力臂不变,分别为1200牛顿和0.5米. (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系? 当动力臂为1.5米时,撬动石头至少需要多大的力? (2)若想使动力F不超过题 (1)中所用力的一半,则动力臂至少要加长多少? 问题二: 为了预防疾病,某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后,y与x成反比例(如图),现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量6毫克,请根据题中所提供的信息,解答下列问题: (1)药物燃烧时,y关于x的函数关系式为,自变量x的取值范为; 药物燃烧后,y关于x的函数关系式为. (2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,员工才能回到办公室; (3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效? 为什么? 练习 1、学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带,矩形的面积为定值,它的一边y与另一边x之间的函数关系式如下图所示. (1)绿化带面积是多少? 你能写出这一函数表达式吗? (2)完成下表,并回答问题: 如果该绿化带的长不得超过40m,那么它的宽应控制在什么范围内? x(m) 10 20 30 40 y(m) 2、某厂从2001年起开始投入技术改进资金,经技术改进后,其产品的生产成本不断降低,具体数据如下表: 年度 2001 2002 2003 2004 投入技改资金x(万元) 2.5 3 4 4.5 产品成本y(万元/件) 7.2 6 4.5 4 (1)请你认真分析表中数据,从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律,说明确定是这种函数而不是其它函数的理由,并求出它的解析式 (2)按照这种变化规律,若2005年已投入技改资金5万元 1.预计生产成本每件比2004年降低多少万元 2.如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元,则还需投入技改资金多少万元? (结果精确到0.01万元) 17.2实际问题与反比例函数(4) 问题一: 一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110~220欧姆,已知电压为220伏, 这个用电器的电路图如上图所示。 (1)输出功率P与电阻R有怎样的函数关系? (2)用电器输出功率的范围多大? 结合上题,想一想为什么收音机的音量可以调节,台灯的亮度及风扇的转速可以调节? 音量、亮度、及转速随的减小而增大,随的增大而减小。 问题二: 某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿度,本年度计划将电价调至0.55~0.75元之间,经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)元成反比例.又当x=0.65元时,y=0.8. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)若每度电的成本价0.3元,电价调至0.6元,请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少? 问题三: 在某一电路中,保持电压不变,电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例,当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培. (1)求I与R之间的函数关系式; (2)当电流I=0.5时,求电阻R的值. 练习 1.已知甲、乙两地相s(千米),汽车从甲地匀速行驶到达乙地,如果汽车每小时耗油量为a(升),那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y(升)与汽车的行驶速度v(千米/时)的函数图象大致是() 2.一场暴雨过后,一洼地存雨水20米3,如果将雨水全部排完需t分钟,排水量为a米3/分,且排水时间为5~10分钟 (1)试写出t与a的函数关系式,并指出a的取值范围; (2)请画出函数图象 (3)根据图象回答: 当排水量为3米3/分时,排水的时间需要多长? 3.某学校冬季储煤120吨,若每天用煤x吨,经过y天可以用完。 (1)请与出y与x之间的函数关系式; (2)画出函数的图象; (3)当每天的用煤量为1.2~1.5吨时,这些煤可用的天数在什么范围? 17章小节与复习 教学目标: 1、反比例函数的图象性质。 2、反比例函数的应用: 解决实际问题,学科内部的作用。 3、培养学生观察、分析、归纳的能力,感悟数形结合的数学思想方法。 4、能根据所给的条件,确定反比例函数,体会函数在实际问题中的应用价值。 教学重点: 反比例函数的概念、图象和主要性质。 教学难点: 对反比例函数意义的理解。 教学过程: 1.对比一次函数和反比例函数,完成填空。 (1)一般地,形如__________的函数,y叫做x的一次函数;当______时,它是正比例函数。 一次函数的图象是________,所过象限由________来决定;①当___________时,图象过一、二、三象限;②当___________时,图象过一、二、四象限;③当___________时,图象过一、三、四象限;④当___________时,图象过二、三、四象限。 一次函数的性质是由_________来决定的,①当k________时,y随x___________,这时图象从左到右上升;②当k________时,y随x___________,这时图象从左到右下降。 (2)一般地,形如__________的函数,y叫做x的反比例函数。 反比例函数的图象是_____________。 当k__________时,图象经过_________象限,在同一象限内,y随x的增大而________;当k__________时,图象经过_________象限,在同一象限内,y随x的增大而________。 反比例函数是中心对称图形,对称中心是______。 2.函数y= 中,当x= 时,y=_____;当x=_______时,y=-1. 3.当x=6时,反比例函数y= 和一次函数y=- x-7的值相等.求反比例函数的解析式. 4.反比例函数y= 当x<0时,y随x的增大而减小,则满足上述条件的正整数m有哪些? 5.已知函数y=kx的图象经过点(2,-6),则函数y= 的解析式可确定为______,反比例函数在每个象限内,y随x的增大而____________。 6.已知函数y= 在每个象限内,y随x的减小而减小,则k的取值范围是_______. 7..已知反比例函数y= 当x>0时,y随x的________而增大. 8.点A( , )、B( )均在反比例函数 的图象上,若 <0,则 _____ . 9.正比例函数y=k1x(k1≠0)和反比例函数y= (k2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________. 10.已知双曲线y= (k≠0)在第二、四象限,则直线y=kx+b且b<0,直线一定不经过() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 11.已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,则函数y= 的图象在() A.第一、三象限B.第二、四象限C.第三、四象限D.第一、二象限 12.当x>0时,两个函数值y一个随x的增大而增大另一个随x的增大而减少的是() A.y=3x与y= B.y=3x与y=- C.y=-2x+6与y= D.y=3x-15与y=- 13.某气球内充满的一定质量的气体,当温度的不变时,气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,其图象如下图所示。 当气球内气体的气压大于140kPa时,气球将爆炸,为了安全起见,气体体积应() A、不大于 m2B、不小于
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