最新北师大版高中数学必修二学案第二章 1.docx
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最新北师大版高中数学必修二学案第二章1
教学资料范本
【2020】最新北师大版高中数学必修二学案:
第二章1
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学习目标 1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式,并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.
知识点一 点到直线的距离
思考1 如何求点P(x0,y0)到直线l:
Ax+By+C=0的距离?
思考2 点到直线的距离公式对于A=0或B=0时的直线是否仍然适用?
梳理 点到直线的距离
(1)定义:
点到直线的________________的长度.
(2)图示:
(3)公式:
d=________________________.
知识点二 两条平行直线间的距离
思考 直线l1:
x+y-1=0上有A(1,0)、B(0,1)、C(-1,2)三点,直线l2:
x+y+1=0与直线l1平行,那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少?
有什么规律吗?
梳理 两平行线间的距离
(1)定义:
夹在两平行线间的________________的长.
(2)图示:
(3)求法:
转化为点到直线的距离.
(4)公式:
两条平行直线l1:
Ax+By+C1=0与l2:
Ax+By+C2=0之间的距离d=.
类型一 点到直线的距离
例1
(1)求点P(2,-3)到下列直线的距离.
①y=x+;②3y=4;③x=3.
(2)求过点M(-1,2),且与点A(2,3),B(-4,5)距离相等的直线l的方程.
反思与感悟
(1)利用点到直线的距离公式时应注意的三个问题:
①直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式;
②点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用;
③直线方程Ax+By+C=0,当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
(2)用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.
跟踪训练1
(1)若点(4,a)到直线4x-3y=0的距离不大于3,则a的取值范围是________________.
(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为________________________.
类型二 两平行线间的距离
例2
(1)两直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为____________.
(2)已知直线l与两直线l1:
2x-y+3=0和l2:
2x-y-1=0的距离相等,则直线l的方程为________________.
反思与感悟 求两平行线间的距离,一般是直接利用两平行线间的距离公式,当直线l1:
y=kx+b1,l2:
y=kx+b2,且b1≠b2时,d=;当直线l1:
Ax+By+C1=0,l2:
Ax+By+C2=0且C1≠C2时,d=.但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等.
跟踪训练2
(1)求与直线l:
5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线方程;
(2)两平行直线l1,l2分别过P1(1,0),P2(0,5),若l1与l2的距离为5,求两直线方程.
类型三 利用距离公式求最值
例3 已知实数x,y满足6x+8y-1=0,则的最小值为________.
反思与感悟 解决此题的关键是理解式子表示的几何意义,将“数”转化为“形”,从而利用图形的直观性加以解决.
跟踪训练3
(1)动点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O为原点,求|OP|最小时点P的坐标;
(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程.
例4 两条互相平行的直线分别过点A(6,2),B(-3,-1),并且各自绕着点A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d.
(1)求d的取值范围;
(2)求d取最大值时,两条直线的方程.
反思与感悟 两平行线间的距离可转化为两点间的距离,通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值.
跟踪训练4 已知P,Q分别是直线3x+4y-5=0与6x+8y+5=0上的动点,则|PQ|的最小值为( )
A.3B.C.D.
1.已知点(a,1)到直线x-y+1=0的距离为1,则a的值为( )
A.1B.-1C.D.±
2.直线x-2y-1=0与直线x-2y-C=0的距离为2,则C的值为( )
A.9B.11或-9
C.-11D.9或-11
3.已知点M(1,2),点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是( )
A.B.
C.D.3
4.两平行直线3x+4y+5=0与6x+ay+30=0间的距离为d,则a+d=________.
5.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________.
1.点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值,利用点到直线的距离公式,解题时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之.
2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程,有时需数形结合,使问题更清晰.
3.已知两平行直线,其距离可利用公式d=求解,也可在已知直线上取一点,转化为点到直线的距离.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 先求出过点P(x0,y0)的直线l的垂线的方程,通过联立方程组得到垂足的坐标,再利用两点间的距离求出点P(x0,y0)与垂足的距离,即为点P(x0,y0)到直线l的距离d=.
思考2 仍然适用,①当A=0,B≠0时,直线l的方程为By+C=0,
即y=-,d=|y0+|=,适合公式.
②当B=0,A≠0时,直线l的方程为Ax+C=0,x=-,d=|x0+|=,适合公式.
梳理
(1)垂线段 (3)
知识点二
思考 点A、B、C到直线l2的距离分别为、、.规律是当两直线平行时,一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.
梳理
(1)公垂线段
题型探究
例1
(1)解 ①y=x+可化为4x-3y+1=0,
点P(2,-3)到该直线的距离为
d=-3+1|,\r(42+-32))=;
②3y=4可化为3y-4=0,
由点到直线的距离公式,得d==;
③x=3可化为x-3=0,
由点到直线的距离公式,得d==1.
(2)解 方法一 当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,
直线l的方程为x=-1,
恰好与A(2,3),B(-4,5)两点距离相等,
故x=-1满足题意;
当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为y-2=k(x+1),
即kx-y+k+2=0.
由点A(2,3)与B(-4,5)到直线l的距离相等,得
=,
解得k=-,
此时直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
综上所述直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
方法二 由题意得,l∥AB或l过AB的中点,
当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,
直线l的斜率为kl,
则kAB=kl==-,
此时直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.
综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
跟踪训练1
(1)[,]
(2)2x-y-2=0或2x+3y-18=0
例2
(1)
(2)2x-y+1=0
解析
(1)由题意,得=,
∴m=2,即6x+2y-1=0.
将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,
由两平行线间的距离公式,得
==.
(2)设直线l的方程为2x-y+C=0,
由题意,得=,
解得C=1,
∴直线l的方程为2x-y+1=0.
跟踪训练2 解
(1)方法一 设所求直线的方程为5x-12y+C=0,
在直线5x-12y+6=0上取一点P0(0,),
则点P0到直线5x-12y+C=0的距离为
由题意,得=2,
所以C=32或C=-20,
故所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.
方法二 设所求直线的方程为5x-12y+C=0,
由两平行直线间的距离公式,得
2=-122)),
解得C=32或C=-20,
故所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.
(2)依题意,两直线的斜率都存在,
设l1:
y=k(x-1),即kx-y-k=0,
l2:
y=kx+5,即kx-y+5=0.
因为l1与l2的距离为5,
所以=5,解得k=0或.
所以l1和l2的方程分别为y=0和y=5或5x-12y-5=0和5x-12y+60=0.
例3
解析 ∵
=x-02+y-12),
∴上式可看成是一个动点M(x,y)到定点N(0,1)的距离,
即为点N到直线l:
6x+8y-1=0上任意一点M(x,y)的距离,
∴S=|MN|的最小值应为点N到直线l的距离,
即|MN|min=d==.
跟踪训练3 解
(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离,此时OP垂直于已知直线,则kOP=1,
∴OP所在直线方程为y=x,
由解得
∴点P坐标为(2,2).
(2)由题意知,过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大,
∵kOP=2,
∴所求直线方程为y-2=-(x-1),
即x+2y-5=0.
例4 解
(1)设经过点A和点B的直线分别为l1、l2,
显然当时,l1和l2的距离最大,
且最大值为|AB|=
∴d的取值范围为(0,3].
(2)由
(1)知,dmax=3,此时直线的斜率k=-3,
∴两直线的方程分别为3x+y-20=0或3x+y+10=0.
跟踪训练4 D
当堂训练
1.D 2.B 3.B 4.10 5.(5,-3)
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