第一章 三角形的证明基础卷解析版.docx
- 文档编号:15716731
- 上传时间:2023-07-07
- 格式:DOCX
- 页数:24
- 大小:163.34KB
第一章 三角形的证明基础卷解析版.docx
《第一章 三角形的证明基础卷解析版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第一章 三角形的证明基础卷解析版.docx(24页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
第一章三角形的证明基础卷解析版
《阳光测评》2020-2021学年下学期八年级数学单元提升卷【北师大版】
第一章三角形的证明(基础卷)
姓名:
__________________班级:
______________得分:
_________________
注意事项:
本试卷满分120分,考试时间90分钟,试题共25题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若等腰三角形的底边长是10,则腰长可以是( )
A.1B.3C.5D.7
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系进行判断.
【解答】解:
∵7+7>10,
∴腰长可为7.
故选:
D.
【知识点】三角形三边关系、等腰三角形的性质
2.如图所示△ABC中,AB=AC,∠B=30°,AB⊥AD,AD=4cm,则BC的长为( )
A.8cmB.4cmC.12cmD.6cm
【答案】C
【分析】根据等腰三角形性质求出∠B,求出∠BAC,求出∠DAC=∠C,求出AD=DC=4cm,根据含30度角的直角三角形性质求出BD,即可求出答案.
【解答】解:
∵AB=AC,∠C=30°,
∴∠B=∠C=30°,∠BAC=120°,
∵AB⊥AD,
∴∠BAD=90°,
∵AD=4cm,
∴BD=2AD=8cm,
∵∠DAC=120°﹣90°=30°,
∴∠DAC=∠C,
∴AD=DC=4cm,
∴BC=BD+DC=8cm+4cm=12cm,
故选:
C.
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质
3.下列命题中,正确的是( )
A.三角形的一个外角大于任何一个内角
B.两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C.三角形的三条高都在三角形内部
D.三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形
【答案】D
【分析】根据三角形的外角性质、全等三角形的判定定理、三角形的高度定义、三角形的面积公式判断即可.
【解答】解:
A、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的任何内角,本选项说法错误;
B、如图,在△ABC和△ABD中,AB=AB,AD=AC,∠B=∠B,
但△ABC和△ABD不全等,本选项说法错误;
C、锐角三角形的三条高都在三角形内部,本选项说法错误;
D、三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形,本选项说法正确;
故选:
D.
【知识点】命题与定理
4.如图,点P是△ABC内的一点,若PB=PC,则( )
A.点P在∠ABC的平分线上
B.点P在∠ACB的平分线上
C.点P在边AB的垂直平分线上
D.点P在边BC的垂直平分线上
【答案】D
【分析】根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上.
【解答】解:
∵PB=PC,
∴P在线段BC的垂直平分线上,
故选:
D.
【知识点】线段垂直平分线的性质
5.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为( )
A.
B.1C.
D.2
【答案】B
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2,故可得出∠B=∠DCE=30°,再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°,∠ACE=∠DCE=30°,利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°,然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=
CE=1.
【解答】解:
∵在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于E,BE=2,
∴BE=CE=2,
∴∠B=∠DCE=30°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠DCE=60°,∠ACE=∠DCE=30°,
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°.
在Rt△CAE中,∵∠A=90°,∠ACE=30°,CE=2,
∴AE=
CE=1.
故选:
B.
【知识点】角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形
6.∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5,Q是OB上任一点,则( )
A.PQ>5B.PQ≥5C.PQ<5D.PQ≤5
【答案】B
【分析】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,和角平分线的性质计算.
【解答】解:
∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5
则P到OB的距离为5
因为Q是OB上任一点,则PQ≥5
故选:
B.
【知识点】角平分线的性质
7.若一个等腰三角形有一个角为110°,那么它的底角的度数为( )
A.110°B.55°C.110°或35°D.35°
【答案】D
【分析】因为三角形的内角和为180°,所以110°只能为顶角,根据三角形内角和定理可求出底角的度数.
【解答】解:
∵110°为三角形的顶角,
∴底角为:
(180°﹣110°)÷2=35°.
故选:
D.
【知识点】等腰三角形的性质、三角形内角和定理
8.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B的度数为( )
A.25°B.30°C.35°D.40°
【答案】B
【分析】依据线段垂直平分线的性质,即可得到∠A=∠ACD,再根据角平分线的定义,即可得出∠ACB的度数,根据三角形内角和定理,即可得到∠B的度数.
【解答】解:
∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD,
∴∠A=∠ACD
又∵CD平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠ACD=100°,
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣50°﹣100°=30°,
故选:
B.
【知识点】三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质
9.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,DE⊥BC,E为垂足,AC=
AB,图中为60°的角有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】D
【分析】由已知条件易得∠B=30°,得到△ACD是等边三角形,由等腰三角形及DE⊥BC可求出∠BDE=∠CDE=60,于是答案可得.
【解答】解:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=
AB,
∴∠B=30°.
∵D是AB的中点,
∴BD=CD.
∴∠DCB=∠B=30°.
又∵DE⊥BC于E,
∴∠BDE=∠CDE=60°.
∴∠ACD=90°﹣30°=60°.
∴△ACD为等边三角形.
∴∠ADC=∠DAC=∠ACD=∠CDE=∠BDE=60°.
故选:
D.
【知识点】直角三角形斜边上的中线、含30度角的直角三角形
10.点P在∠AOB的角平分线上,点P到OA边的距离等于10,点Q是OB边上的任意一点,下列选项正确的是( )
A.PQ<10B.PQ>10C.PQ≥10D.PQ≤10
【答案】C
【分析】过P作PD⊥OB于D,根据角平分线的性质得出PC=PD=10,再根据垂线段最短得出即可.
【解答】解:
过P作PD⊥OB于D,
∵PC⊥OA,PD⊥OB,OP平分∠AOB,
∴PC=PD,
∵点P到OA边的距离等于10,
∴PD=PC=10,
∴PQ≥10(当Q与点D重合时,PQ=10),
故选:
C.
【知识点】角平分线的性质、垂线段最短
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
11.等腰三角形两边长分别是3和6,则该三角形的周长为 .
【答案】15
【分析】由三角形的三边关系可知,其两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
【解答】解:
由三角形的三边关系可知,由于等腰三角形两边长分别是3和6,
所以其另一边只能是6,
故其周长为6+6+3=15.
故答案为15.
【知识点】等腰三角形的性质、三角形三边关系
12.直角三角形的两个锐角的度数比为1:
3,则较小的锐角是 .
【答案】22.5°
【分析】设两个锐角度数为x°,3x°,根据直角三角形的性质可得方程,再解即可.
【解答】解:
设两个锐角度数为x°,3x°,
由题意得:
x+3x=90,
解得:
x=22.5,
∴较小的锐角是22.5°.
故答案为:
22.5°.
【知识点】直角三角形的性质
13.如图,在△ABC中,DE是AB边的垂直平分线,交AB、BC于点E、D.连接AD.如果AC=5cm,△ADC的周长为17cm,那么BC的长为 cm.
【答案】12
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB,根据三角形的周长公式计算,得到答案.
【解答】解:
∵DE是AB边的垂直平分线,
∴DA=DB,
∵△ADC的周长为17,
∴AC+CD+AD=17,
∴AC+CD+BD=AC+BC=17,
∴BC=17﹣5=12(cm),
故答案为:
12.
【知识点】线段垂直平分线的性质
14.如图,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8.若S△ABC=28,则DE= .
【答案】4
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.
【解答】解:
∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF,
∵AB=6,BC=8,
∴S△ABC=
AB•DE+
BC•DF=
×6DE+
×8DE=28,
即3DE+4DE=28,
解得DE=4.
故答案为:
4.
【知识点】角平分线的性质
15.已知,△ABC中,∠ABC=30°,过线段AB的中点P作AB的垂线交直线BC于点Q,若PQ=CQ=1,则BC= .
【答案】1或3
【分析】依据题意画出图形,分两种情况讨论,含30°角的直角三角形的性质即可得到BQ的长,进而得出BC的长.
【解答】解:
分两种情况:
①当点Q在线段BC上时,如图1,
∵PQ⊥AB,∠ABC=30°,
∴BQ=2PQ=2,
又∵PQ=CQ=1,
∴BC=BQ+CQ=2+1=3;
②当点Q在线段BC的延长线上时,如图2,
∵PQ⊥AB,∠ABC=30°
,
∴BQ=2PQ=2,
又∵PQ=CQ=1,
∴BC=BQ﹣CQ=2﹣1=1;
综上所述,BC=1或3.
故答案为:
1或3.
【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形
16.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=120°,BD平分∠ABC,DA=AC=CD,则三条线段AB,BC,BD的长度之间的关系是 .
【答案】BD=AB+BC
【分析】在BD上取一点E,使得BA=BE,连接AE.证明△DAE≌△CAB(SAS),推出DE=BC,可得结论.
【解答】解:
在BD上取一点E,使得BA=BE,连接AE.
∵BD平分∠ABC,∠ABC=120°,
∴∠ABE=
∠ABC=60°,
∵BA=BE,
∴△ABE是等边三角形,
∴∠EAB=60°,EA=EB,
∵AD=DC=AC,
∴∠DAC=∠EAB=60°,
∴∠DAE=∠CAB,
在△ADE和△ACB中,
,
∴△DAE≌△CAB(SAS),
∴DE=BC,
∴BD=BE+DE=BA+BC,
故答案为:
BD=BA+BC.
【知识点】全等三角形的判定与性质、角平分线的性质
三、解答题(本大题共9小题,共72分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.在△ABC中,已知∠A,∠B,∠C的度数之比1:
2:
3,最小边BC的长为4,最长边AB是多少?
【分析】由∠A,∠B,∠C的度数之比为1:
2:
3,可求出∠C=90°,∠B=60°,∠A=30°,由AB=2,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,继而可求出BC的长.
【解答】解:
∵∠A,∠B,∠C的度数之比为1:
2:
3,
∴∠C=90°,∠B=60°,∠A=30°,
∵BC=4,
∴AB=2BC=8.
所以最长边AB是8.
【知识点】含30度角的直角三角形
18.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,DE垂直平分AC,若DE=2cm,求BC的长.
【分析】连接EA,根据三角形内角和定理得到∠B=∠C=30°,根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC,根据直角三角形的性质解答.
【解答】解:
连接EA,
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∵DE垂直平分AC,
∴EA=EC=2DE=4,
∴∠EAC=∠C=30°,
∴∠BAE=90°,
∴BE=2AE=8,
∴BC=12(cm).
【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质
19.如图,△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,且DE=DF,求证:
∠A=∠B.
【分析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF,推出∠A=∠C,由AB=AC,∠C=∠B,可得∠A=∠B.
【解答】证明:
∵DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,
∴∠AED=∠CFD=90°,
∵D为AC的中点,
∴AD=DC,
在Rt△ADE和Rt△CDF中,
∵
,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF,
∴∠A=∠C,
∵AB=AC,
∴∠C=∠B,
∴∠A=∠B.
【知识点】等腰三角形的性质
20.如图,在△ABC中,∠ACB=108°,AD平分∠CAB交BC于点D,DE垂直平分AB交AB于点E.
(1)求∠B的度数;
(2)若AC=22,CD=13,DE=12,求△ACD的周长.
【分析】
(1)根据三角形的内角和得到∠CAB+∠B=72°,根据角平分线的定义得到∠DAE=∠CAE,根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD,于是得到∠DAE=∠B,即可得到结论;
(2)过D作DF⊥AC于F,根据角平分线的性质得到DF=DE=12,根据勾股定理即可得到结论.
【解答】解:
(1)∵∠ACB=108°,
∴∠CAB+∠B=72°,
∵AD平分∠CAB交BC于点D,
∴∠DAE=∠CAE,
∵DE垂直平分AB,
∴AD=BD,
∴∠DAE=∠B,
∴∠CAB=2∠B,
∴∠B=24°,
(2)过D作DF⊥AC于F,
∵AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB,
∴DF=DE=12,
∴CF=
=5,
∴AF=AC+CF=27,
∴AD=
=3
,
∴△ACD的周长=AD+AC+CD=35+3
.
【知识点】线段垂直平分线的性质
21.如图,C,D是AB的垂直平分线上两点,延长AC,DB交于点E,AF∥BC交DE于点F.求证:
(1)AB是∠CAF的角平分线;
(2)∠FAD=∠E.
【分析】
(1)由CB=CA,推出∠CBA=∠CAB,由AF∥BC交DE于点F,推出∠BAF=∠CBA,可得∠BAF=∠CAB.
(2)由∠DBA=∠E+∠CAB,∠DAB=∠FAD+∠BAF,∠CAB=∠BAF,可得∠E=∠FAD.
【解答】证明:
(1)∵点C是AB的垂直平分线上的点,
∴CB=CA,
∴∠CBA=∠CAB,
∵AF∥BC交DE于点F,
∴∠BAF=∠CBA,
∴∠BAF=∠CAB.
即AB是∠CAF的角平分线.
(2)∵点D是AB的垂直平分线上的点,
∴DB=DA,
∴∠DBA=∠DAB,
∵∠DBA=∠E+∠CAB,∠DAB=∠FAD+∠BAF,∠CAB=∠BAF,
∴∠E=∠FAD.
【知识点】平行线的性质、线段垂直平分线的性质
22.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE所在直线是BC的垂直平分线,E为垂足,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC交AC的延长线于点N.求证:
(1)BM=CN;
(2)AM=
(AB+AC).
【分析】
(1)连接BD,利用线段垂直平分线的性质得出BD=CD,利用角平分线的性质得出DM=DN,进而证明△BMD与△CDN全等即可;
(2)利用△BMD与△CDN全等得出BM=CN,进而证明即可.
【解答】证明:
(1)连接BD,如图:
∵DE所在直线是BC的垂直平分线,
∴BD=CD,
∵AD平分∠BAC,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC交AC的延长线于点N,
∴DM=DN,
在Rt△BMD与Rt△CDN中,
,
∴Rt△BMD≌Rt△CDN(HL),
∴BM=CN;
(2)∵Rt△BMD≌Rt△CDN,
∴BM=CN,AM=AN,
∴AB+AC=AM+BM+AN﹣CN=2AM,
∴AM=
(AB+AC).
【知识点】全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质
23.已知:
如图,∠ABC=∠ADC=90°,点E、F分别是AC、BD的中点,求证:
EF⊥BD.
【分析】连接BE、DE,根据直角三角形斜边上的中线性质得出BE=DE,根据等腰三角形的性质得出即可.
【解答】证明:
连接DE、BE,
∵∠ABC=∠ADC=90°,E为AC的中点,
∴BE=
AC,DE=
AC,
∴BE=DE,
∵F为BD的中点,
∴EF⊥BD.
【知识点】等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线
24.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CE垂直于AB于点E,D是AB的中点.
(1)求证:
AE=ED;
(2)若AC=2,求DE的长.
【分析】
(1)根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD=BD,求出∠DCB=∠B=30°,求出∠A=∠ADC=60°,再根据等腰三角形的判定推出AC=CD,根据等腰三角形的性质得出答案即可;
(2)求出∠ACE=30°,根据含30°角的直角三角形的性质求出AE,再求出答案即可.
【解答】
(1)证明:
在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴CD=AD=BD=
AB,
∴∠DCB=∠B,
∵∠B=30°,∠ACB=90°,
∴∠DCB=30°,∠A=180°﹣90°﹣30°=60°,
∴∠ADC=∠B+∠DCB=60°,
∴∠A=∠ADC,
∴AC=DC,
∵CE垂直于AB于点E,
∴AE=ED;
(2)解:
∵CE⊥AB,
∴∠AEC=90°,
∵∠A=60°,
∴∠ACE=30°,
∴AE=
AC,
∵AC=2,AE=DE,
∴DE=AE=1.
【知识点】含30度角的直角三角形
25.等边△ABC中,F为边BC边上的点,作∠CBE=∠CAF,延长AF与BE交于点D,截取BE=AD,连接CE.
(1)求证:
CE=CD;
(2)求证:
DC平分∠ADE;
(3)试判断△CDE的形状,并说明理由.
【分析】
(1)证明△ADC≌△BEC,然后根据全等三角形的对应边相等即可证得;
(2)根据ADC≌△BEC,可证得∠ADC=∠E,CE=CD,然后根据等边对等角即可证得;
(3)根据△ADC≌△BEC,证得∠ACD=∠BCE,得到∠DCE=∠ACB=60°,然后根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形,即可证得.
【解答】解:
(1)在△ADC和△BEC中,
,
∴△ADC≌△BEC(SAS),
∴CE=CD;
(2)∵△ADC≌△BEC,
∴∠ADC=∠E,CE=CD,
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E,
∴∠ADC=∠CDE,
∴DC平分∠ADE;
(3)△DCE为等边三角形.
∵△ADC≌△BEC,
∴∠ACD=∠BCE.
∴∠DCE=∠ACB=60°,
又∵CE=CD,
∴△DCE为等边三角形.
【知识点】全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第一章 三角形的证明基础卷解析版 三角形 证明 基础 解析