集合的含义及其表示.docx
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集合的含义及其表示.docx
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集合的含义及其表示
集合的含义及其表示
一、集合的相关概念
元素
集合
一般用大括号”{}”表示集合,也常用大写的拉丁字母A、B、C…表示集合.
用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素
二、集合三大特性:
思考:
判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由;
(1)大于3小于11的偶数;
(2)我国的小河流。
三、重要数集:
四、元素对于集合的关系
五、集合的分类
有限集:
无限集:
空集:
六、集合的表示方法
1、列举法:
例1用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;
(3)由1~20以内的所有质数组成的集合。
思考题
(1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗?
(2)你能用列举法表示不等式x-7<3吗?
2、描述法:
3、Venn图:
例2试分别用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。
课堂小结
集合间的基本关系
观察以下几组集合,并指出它们元
素间的关系:
①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};②A={x|x>1},B={x|x2>1};
③A={四边形},B={多边形};④A={x|x是两边相等的三角形},
B={x|x是等腰三角形}.
一、子集的定义:
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集。
记作:
读作:
Venn图表示:
判断集合A是否为集合B的子集,若是则在()打√,若不是则在()打×:
①A={1,3,5},B={1,2,3,4,5,6}()
②A={1,3,5},B={1,3,6,9}()
③A={0},B={xx2+2=0}()
④A={a,b,c,d},B={d,b,c,a}()
二、集合相等的定义:
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的都是集合B的元素,同时集合B中的都是集合A的元素,则称集合A等于集合B,记作
三、真子集对于两个集合A与B,如果AB,但存素,则称集合A是集合B的真子集.记作AB
四、几个结论
①空集是任何集合的子集ΦA
②空集是任何非空集合的真子集ΦA(A≠Φ)
③任何一个集合是它本身的子集,即AA
④对于集合A,B,C,如果AB,且BC,则AC
例3设A={x,x2,xy},B={1,x,y},且A=B,求实数x,y的值.
例4已知集合
与集合满足Q
P,求a的取值组成的集合A
作业布置
1.教材P.12A组5B组2.
2.若A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1≤x≤m+1},当BA时,求实数m的取值范围.
3.已知
1.1.3集合的基本运算
(1)
观察集合A,B,C元素间的关系:
(1)A={4,5,6,8}B={3,5,7,8}C={3,4,5,6,7,8}
(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}
一、并集
一般地,由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的并集,记作读作即A∪B=
例1.A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.
例2.设A={x|-1 性质1 A∪A=A∪φ=A∪BB∪A 二、交集 观察集合A,B,C元素间的关系: A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},C={5,8} 一般地,由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集。 记作: 读作: 即A∩B= 性质2A∩A=A∩φ=A∩BB∩A 性质3A∩BAA∩BBAA∪BBA∪B 性质4若A∩B=A,则AB若A∪B=A,则AB 例3.新华中学开运动会,设 A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学} B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学} 求: A∩B 例4.设平面内直线l1上点的集合为L1,直线l2上点的集合为L2试用集合的运算表示l1,l2的位置关系。 作业布置 1.教材P12A组6,7,8B组3 2.P={a2,a+2,-3},Q={a-2,2a+1,a2+1},P∩Q={-3},求a. 1.1.3集合的基本运算 (2) 一、全集与补集 在不同范围研究同一个问题,可能有不同的结果。 如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个就称这个集合为全集 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementaryset),简称为集合A的补集,记作 = 例1设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求CUA,CUB 例2.设U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形}.求A∩B,CU(A∪B) 例3.已知全集U=R,集合A={x|1≤2x+1<9},求CUA 二、集合中元素的个数 例4.学校先举办了一次田径运动会,某班有8名同学参赛,又举办了一次球类运动会,这个班有12名学生参赛,两次运动会都参赛的有3人,两次运动会中,这个班共有多少名同学参赛? 作业布置 1.教材P129,10B组4 2、某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,班级中既爱好体育又爱好音乐的有多少人? 1.2.1函数的概念 (1) 一、复习引入: 初中(传统)的函数的定义是什么? 初中学过哪些函数? 问题: 分析、归纳以上三个实例,它们有什么共同特点? 二、讲解新课 一)函数的相关概念: 设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的f,使对于集合A中的x,在集合B中都有的数f(x)和它对应,那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A。 定义域: x的取值范围A叫做函数的定义域; 与x值相对应的y值叫做函数值。 值域: 函数值的集合 表示“y是x的函数”, 有时简记作函数。 问题: y=1(x∈R)是函数吗? (二)已学函数的定义域和值域 1.常数函数 2.一次函数 3.反比例函 4.二次函数: (三)关于求定义域及函数的值: 例1、已知函数 (1)求函数的定义域 (2)的值 (3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值。 例2、求下列函数的定义域。 (四)函数的三要素判断同一函数: 例4、下列函数中哪个与函数是同一个函数? 练习、下列各组中的两个函数是否为相同的函数? P24A1----6做作业本上 已知函数=4x+3g(x)=x2 求f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)]. 1.2.1函数的概念 (二) 一、复习: 1.函数的定义2、定义域,函数的值和值域3、函数的三要素判断同一函数 三、新课: 1、区间的概念设a、b是两个实数,且a 闭区间 开区间 半开半闭区间 实数集R也能够用区间表示为(-∞,+∞) 2.关于求定义域: 例1、 (1)若函数的定义域是R,求实数a的取值范围。 (2)若函数的定义域为[1,1]求函数的定义域 例2、已知 3.关于求值域: 例4、①已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2,求a的值。 ②已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时,求函数的最大值函数g(t)和最小值函数h(t),并求h(t)的最小值。 四、小结: 五、作业: 1.2.2函数的表示法 (一) 一、讲解新课: 函数的表示方法⑴解析法⑵列表法: ⑶图象法: 二.例题讲解: 例1(书P19).某种笔记本的单价是5元,买x(1,2,2,4,5)个笔记本需要y元,试用函数的三种表示法表示函数 例3(P21)画出函数y=|x|的图象. 例4(P21).某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5公里以内(含5公里),票价2元; (2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. 练习: 1.在函数 中,若 则x的值为 2.已知 画出它的图象。 例5作出的图像并求值域。 四、作业 P24A组7、8、9B组3、4 1.2.2函数的表示法 (二) 一、复习: 1.表示函数的方法有解析法、列表法和图象法三种.掌握分段函数的概念; 2.函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线,但有时也能够由一孤立点或几段线段组成。 必须根据定义域画图,利用描点法或图象变换法。 二、上节扩充 求函数解析式的方法: 待定系数法;配凑法;换元法;解方程组法(注意定义域) 例1.分别求下列条件下的 (1)已知f(x)=ax+b且af(x)+b=9x+8求f(x) (2)设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10,图象过点(0,3),求f(x)的解析式. (3)①若若 若 求 三、新课讲解: 映射定义: 举例分析映射实质: 例2、下列哪些对应是从集合A到集合B的映射? (1)A={P|P是数轴上的点},B=R,对应关系f: 数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)A={P|P是平面直角体系中的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f: 平面直角体系中的点与它的坐标对应; (3)A={三角形},B={x|x是圆},对应关系f: 每一个三角形都对应它的内切圆; (4)A={x|x是新华中学的班级},B={x|x是新华中学的学生},对应关系f: 每一个班级都对应班里的学生. 练习: 1.设A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x+1对应.这个对应是不是映射? 2.设A=N*,B={0,1},集合A中的元素x按照对应法则“x除以2得的余数”和集合B中的元素对应.这个对应是不是映射? 3.A=Z,B=N*,集合A中的元素x按照对应法则“求绝对值”和集合B中的元素对应.这个对应是不是映射? 四、小结 五、作业P2410 2.已知(x>0)求f(x) 3.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x1,求f(x)的解析式。 1.3.1单调性与最大(小)值 (1) 一.引入课题 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相对应函数的哪些变化规律: 画出下列函数的图象,观察其变化规律: 1.f(x)=x①从左至右图象上升还是下______? ②在区间____________上,随着x的增大,f(x)的值随着________ 2.f(x)=-2x+1①从左至右图象上升还是下降______? ②在区间____________上,随着x的增大,f(x)的值随着________ 3.f(x)=x①在区间____________上,f(x)的值随着x的增大而________.②在区间____________上,f(x)的值随着x的增大而________ 二.新课教学 (一)函数单调性定义 1.增函数 思考: 仿照增函数的定义说出减函数的定义. 2.单调性与单调区间 3.几何特征: 在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降则为减函数. 结论1: 一次函数的单调性,单调区间: 结论2: 二次函数的单调性,单调区间: (二)典型例题 例1.如图6是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函数. 例2.作出函数 的图象并指出它的的单调区间. 例3.物理学中的玻意定律 (k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V减小时,压强P将增大.试用函数的单调性证明之. 3.判断函数单调性的方法步骤 探究: P30画出反比例函数的图象. ①这个函数的定义域是什么? ②它在定义域I上的单调性怎样? 证明你的结论. 三.归纳小结 1、函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定: 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取值→作差→变形→定号→下结论2、直接利用初等函数的单调区间。 四.作业布置作业: 课本P32练习: 2、3P39习题1.3(A组)第1-4题. 3.1函数的最大(小)值 画出下列函数的草图,并根据图象解答下列问题 1说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; 2指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? 一、定义1.最大值: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存有实数M满足: (1)对于x∈I,都有≤M; (2)存有x0∈I,使得f(x0)=M那么,称M是函数y=f(x)的最大值 定义2.最小值一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存有实数M满足 (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存有x0∈I,使得f(x0)=M那么,称M是函数y=f(x)的最小值 二、例3.求函数 在区间[2,6]上的最大值和最小值. 三、课堂练习 1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞,6]内递减,则a的取值范围是() A、a≥3B、a≤3 C、a≥-3D、a≤-3 2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]上递减,在[-2,+∞)上递增,则f(x)在[1,2]上的值域 归纳小结 1、函数的最大(小)值及其几何意义. 2、利用函数的单调性求函数的最大(小)值. 1.3.2函数的奇偶性 1.偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. 观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图),你能发现两个函数图象有什么共同特征吗? 2.奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. 注意1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 2、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 例5、判断下列函数的奇偶性: 3.用定义判断函数奇偶性的步骤: (1)、先求定义域,看是否关于原点对称; (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立. 判断下列函数的奇偶性: 3.奇偶函数图象的性质 1、奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么就称这个函数为奇函数. 2、偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么就称这个函数为偶函数. 本课小结 1、两个定义: 2、两个性质:
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