中考数学总复习图形的变化平移与旋转(精讲)试题.doc
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第二节 平移与旋转
遵义五年中考命题规律)
年份
题号
题型
考查点
分值
总分
2017
未考查
2016
未考查
2015
12
选择题
正方形旋转与圆相切
3
3
2014
10
选择题
三角形旋转
3
3
2013
未考查
命题规律
纵观遵义近五年中考,有2年考查过此知识点,都在选择题中出现,难度中上等,分值都为3分.预计2018年遵义中考,仍有可能考查图形的平移与旋转,分值3~4分,可能会以填空、选择题形式呈现,在复习中加强训练即可.
遵义五年中考真题及模拟)
图形的平移
1.(2016遵义六中一模)在直角坐标系中,将点(-2,3)关于原点的对称点向左平移2个单位得到的点的坐标是( C )
A.(4,-3)B.(-4,3)
C.(0,-3)D.(0,3)
2.(2017遵义二中二模)如图,矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为( D )
A.14B.16C.20D.28
图形的旋转
3.(2015遵义中考)将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°,得正方形AB1C1D1,B1C1交CD于点E,AB=,则四边形AB1ED的内切圆半径为( B )
A.B.C.D.
(第3题图)) ,(第4题图))
4.(2014遵义中考)如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B的长为( C )
A.2-B.C.-1D.1
5.(2017遵义六中二模)如图,在△ABC中,∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为( C )
A.35°B.40°C.50°D.65°
(第5题图)
(第6题图)
6.(2017遵义一中二模)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=,将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连接BM,则BM的长是__+1__.
7.(2017遵义一模)在Rt△ABC中,AB=BC=5,∠B=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处,将三角板绕点O旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC或其延长线于E,F两点,如图①与图②是旋转三角板所得图形的两种情况.
(1)三角板绕点O旋转,△OFC是否能成为等腰直角三角形?
若能,指出所有情况(即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长);若不能,请说明理由;
(2)三角板绕点O旋转,线段OE和OF之间有什么数量关系?
用图①或图②加以证明;
(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图③),当AP∶AC=1∶4时,PE和PF有怎样的数量关系?
证明你发现的结论.
解:
(1)△OFC能成为等腰直角三角形.
①当F为BC中点时,△OFC是等腰直角三角形,
∴CF=OF=AB=.
∵AB=BC=5,∴BF=;
②当B与F重合时,△OFC是等腰直角三角形,
∵OB=OC=AC=AB·sin45°=,
∴BF=0;
(2)OE=OF.
证明:
如题图①,连接OB,
在Rt△ABC中,∵O是AC的中点,OB=OC,
∴∠OBE=∠C=45°,
∵∠EOB+∠BOF=∠BOF+∠FOC=90°,
∴∠EOB=∠FOC,∴△OEB≌△OFC,
∴OE=OF;
(3)PE∶PF=1∶3.
证明:
如题图③,过P点作PM⊥AB,垂足为M,作PN⊥BC,垂足为N.
则∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°,
∴∠EPM=∠FPN.
又∵∠EMP=∠FNP=90°,
∴△PME∽△PNF,∴PM∶PN=PE∶PF.
∵Rt△AMP和Rt△PNC均为等腰直角三角形,
∴△APM∽△CPN,∴PM∶PN=AP∶CP,
∴PE∶PF=AP∶CP.
又∵PA∶AC=1∶4,∴AP∶CP=1∶3,
∴PE∶PF=1∶3.
中考考点清单)
图形的平移
1.定义:
在平面内,一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置,这样的图形运动叫做平移.平移不改变图形的形状和大小.
2.三大要素:
一是平移的起点,二是平移的方向,三是平移的距离.
3.性质
(1)平移前后,对应线段__平行且相等__、对应角相等;
(2)各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等;
(3)平移前后的图形全等.
4.作图步骤
(1)根据题意,确定平移的方向和平移距离;
(2)找出原图形的关键点;
(3)按平移方向和平移距离,平移各个关键点,得到各关键点的对应点;
(4)按原图形依次连接对应点,得到平移后的图形.
图形的旋转
5.定义:
在平面内,一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度,这样的图形运动叫旋转.这个定点叫做旋转中心,转过的这个角叫做旋转角.
6.三大要素:
旋转中心、旋转方向和__旋转角度__.
7.性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等;
(2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(3)旋转前后的图形全等.
8.作图步骤
(1)根据题意,确定旋转中心、旋转方向及旋转角;
(2)找出原图形的关键点;
(3)连接关键点与旋转中心,按旋转方向与旋转角将它们旋转,得到各关键点的对应点;
(4)按原图形依次连接对应点,得到旋转后的图形.
【方法点拨】坐标系中的旋转问题:
1.关于原点对称的点的坐标的应用.其基础知识为:
点P(x,y)关于原点对称点的坐标为(-x,-y),在具体问题中一般根据坐标特点构建方程组来求解,常用到的关系式:
点P(a,b),P1(m,n)关于原点对称,则有
2.坐标系内的旋转作图问题.与一般的旋转作图类似,其不同点在于若是作关于原点的中心对称图形,可以根据点的坐标规律,直接在坐标系内找到对应点的坐标,描点后连线.
中考重难点突破)
图形平移的相关计算
【例1】如图,已知△ABC的面积为3,且AB=AC,现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA.
(1)求四边形CEFB的面积;
(2)试判断AF与BE的位置关系,并说明理由;
(3)若∠BEC=15°,求AC的长.
【解析】
(1)据平移的性质及平行四边形的性质可得S△EFA=S△BAF=S△ABC,从而可得四边形CEFB的面积;
(2)由已知可证明▱EFBA为菱形,据菱形的对角线互相垂直平分可得AF与BE的位置关系为垂直;(3)过点B作BD⊥AC于D,结合三角形的面积求解即可.
【答案】解:
(1)由平移性质可知BF=AE=AC,且BF∥AC,∴四边形AFBC为平行四边形.
∴S△EFA=S△BAF=S△ABC=3,
∴S四边形CEFB=S△ABC+S△ABF+S△AFE=3S△ABC=9,
∴四边形CEFB的面积为9;
∴四边形EFBA为平行四边形.
又∵AB=AC,∴AB=AE.
∴▱EFBA为菱形,∴BE⊥AF;
(3)过点B作BD⊥AC于D.
∵AB=AC=AE,∴∠ABE=∠AEB,
∴∠BAC=∠ABE+∠AEB=15°×2=30°.
在Rt△ABD中,sin30°==,∴BD=AB=AC.
∵S△ABC=AC·BD=AC·AC=AC2=3,
∴AC=2.
1.(2017启黄中学一模)如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于__4或8__.
图形旋转的相关计算
【例2】(达州中考)如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为________.
【解析】如图,连接PQ,根据等边三角形的性质得∠BAC=60°,AB=AC,再根据旋转的性质得AP=AQ=6,∠PAQ=60°,即可判定△APQ为等边三角形,所以PQ=AP=6.在△APC和△ABQ中,AC=AB,∠CAP=∠BAQ,AP=AQ,利用SAS判定△APC≌△AQB,根据全等三角形的性质可得PC=QB=10.在△BPQ中,已知PB2=82=64,PQ2=62=36,BQ2=102=100,即PB2+PQ2=BQ2,所以△PBQ为直角三角形,∠BPQ=90°,所以S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9.
【答案】24+9
2.(2017梅州中考)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B,O分别落在点B1,C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…….若点A,B(0,2),则点B2016的坐标为__(6__048,2)__.
3.(丹东中考)如图①,△ABC与△CDE是等腰直角三角形,直角边AC,CD在同一条直线上,点M,N分别是斜边AB,DE的中点,点P为AD的中点,连接AE,BD.
(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系,请直接写出结论;
(2)现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°<α<90°),得到图②,AE与MP,BD分别交于点G,H.请判断
(1)中的结论是否成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形,使BC=kAC,CD=kCE,如图③,写出PM与PN的数量关系,并加以证明.
解:
(1)PM=PN,PM⊥PN;
(2)成立.如下:
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,
∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°.
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE.
∴∠ACE=∠BCD.∴△ACE≌△BCD.
∴AE=BD,∠CAE=∠CBD.
又∵∠AOC=∠BOE,∠CAE=∠CBD,
∴∠BHO=∠ACO=90°.
∵点P,M,N分别为AD,AB,DE的中点,
∴PM=BD,PM∥BD,PN=AE,PN∥AE.
∴PM=PN,∴∠MGE+∠BHA=180°,
∴∠MGE=90°,∴∠MPN=90°,∴PM⊥PN;
(3)PM=kPN,
证明如下:
∵△ACB和△ECD是直角三角形,
∴∠ACB=∠ECD=90°.
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE.
∴∠ACE=∠BCD.
∵BC=kAC,CD=kCE,
∴==k.
∴△BCD∽△ACE.∴BD=kAE.
∵点P,M,N分别为AD,AB,DE的中点,
∴PM=BD,PN=AE.∴PM=kPN.
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