中考数学平移旋转与对称解答题一.docx
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中考数学平移旋转与对称解答题一
中考数学平移旋转与对称解答题一
1.(2014•四川巴中,第24题7分)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点坐标分别为A(﹣2,4),B(﹣2,1),C(﹣5,2).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2,得到对应的点A2,B2,C2,请画出△A2B2C2.
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比,即
:
= 1:
4 (不写解答过程,直接写出结果).
考点:
平面直角坐标系,相似三角形的面积比.
分析:
(1)根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案;
(2)根据将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2,得出各点坐标,进而得出答案;
(3)利用位似图形的性质得出位似比,进而得出答案.
解答:
(1)如图所示:
△A1B1C1即为所求;
(2)如图所示:
△A2B2C2即为所求;
(3)∵将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2,得到对应的点A2,B2,C2,
∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为:
1:
2,
∴
:
=1:
4.故答案为:
1:
4.
点评:
此题主要考查了位似变换以及轴对对称变换,得出对应点位置是解题关键.
2.(2014•山东潍坊,第22题12分)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE、BF,交点为G.
(1)求证:
AE⊥BF;
(2)将△BCF沿BF对折,得到△BPF(如图2),延长FP交BA的延长线于点Q,求sin∠BQP的值;
(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转,使边AB正好落在AE上,得到△AHM(如图3),若AM和BF相交于点N,当正方形ABCD的面积为4时,求四边形GHMN的面积.
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质;解直角三角形.
分析:
(1)由四边形ABCD是正方形,可得∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC,又由BE=CF,即可证得△ABE≌△BCF,可得∠BAE=∠CBF,由∠ABF+∠CBF=900可得∠ABF+∠BAE=900,即AE⊥BF;
(2)由△BCF≌△BPF,可得CF=PF,BC=BP,∠BFE=∠BFP,由CD∥AB得∠BFC=∠ABF,从而QB=QF,设PF为x,则BP为2x,在Rt△QBF中可求QB为
x,即可求得答案;
(3)由
可求出△AGN的面积,进一步可求出四边形GHMN的面积.
解答:
(1)证明:
∵E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点,∴CF=BE,
∴Rt△ABE≌Rt△BCF∴∠BAE=∠CBF又∵∠BAE+∠BEA=900,∴∠CBF+∠BEA=900,
∴∠BGE=900,∴AE⊥BF
(2)根据题意得:
FP=FC,∠PFB=∠BFC,∠FPB=900,
∵CD∥AB,∴∠CFB=∠ABF,∴∠ABF=∠PFB.∴QF=QB
令PF=k(k>O),则PB=2k,
在Rt△BPQ中,设QB=x,∴x2=(x-k)2+4k2,∴x=
k,∴sin∠BQP=
(3)由题意得:
∠BAE=∠EAM,又AE⊥BF,∴AN=AB=2,
∵∠AHM=900,∴GN//HM,∴
∴
∴四边形GHMN=SΔAHM-SΔAGN=1一
=
答:
四边形GHMN的面积是
.
点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识.此题综合性较强,难度较大,注意掌握旋转前后图形的对应关系,注意数形结合思想的应用.
3.(2014•湖南张家界,第19题,6分)利用对称变换可设计出美丽图案,如图,在方格纸中有一个顶点都在格点上的四边形,且每个小正方形的边长都为1,完成下列问题:
(1)图案设计:
先作出四边形关于直线l成轴对称的图形,再将你所作的图形和原四边形绕0点按顺时针旋转90°;
(2)完成上述图案设计后,可知这个图案的面积等于 20 .
考点:
利用旋转设计图案;利用轴对称设计图案.
分析:
(1)首先找出对称点的坐标,然后画图即可;
(2)首先利用割补法求出每一个小四边形的面积,再乘以4即可.
解答:
解:
(1)如图所示:
(2)面积:
(5×2﹣2×1×﹣2×1×﹣3×1××2)×4=20,
故答案为:
20.
点评:
此题主要考查了利用轴对称和旋转作图,以及求不规则图形的面积,关键是在作图时,找出关键点的对称点.
4.(2014•江西抚州,第15题,5分)如图,△
与△
关于直线对称,请用无刻度的直尺,在下面两个图中分别作出直线.
解析:
利用轴对称性质:
对应线段(或延长线)的交于对称轴上一点.
如图,直线l就是所求作的对称轴.
5(2014年湖北咸宁19.(8分))如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后,得到△DEC,点D刚好落在AB边上.
(1)求n的值;
(2)若F是DE的中点,判断四边形ACFD的形状,并说明理由.
考点:
旋转的性质;含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线;菱形的判定.
分析:
(1)利用旋转的性质得出AC=CD,进而得出△ADC是等边三角形,即可得出∠ACD的度数;
(2)利用直角三角形的性质得出FC=DF,进而得出AD=AC=FC=DF,即可得出答案.
解答:
解:
(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后,得到△DEC,
∴AC=DC,∠A=60°,
∴△ADC是等边三角形,
∴∠ACD=60°,
∴n的值是60;
(2)四边形ACFD是菱形;
理由:
∵∠DCE=∠ACB=90°,F是DE的中点,
∴FC=DF=FE,
∵∠CDF=∠A=60°,
∴△DFC是等边三角形,
∴DF=DC=FC,
∵△ADC是等边三角形,
∴AD=AC=DC,
∴AD=AC=FC=DF,
∴四边形ACFD是菱形.
点评:
此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识,得出△DFC是等边三角形是解题关键.
6.((2014年河南)22.10分)
(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE
填空:
(1)∠AEB的度数为60;
(2)线段AD、BE之间的数量关系是AD=BE。
解:
(1)①60;②AD=BE.…………………………………………2分
提示:
(1)①可证△CDA≌△CEB,
∴∠CEB=∠CDA=1200,
又∠CED=600,
∴∠AEB=1200-600=600.
②可证△CDA≌△CEB,
∴AD=BE
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等边三角形,∠ACB=∠DCE=900,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE。
请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由。
解:
(2)∠AEB=900;AE=2CM+BE.…………………………4分
(注:
若未给出本判断结果,但后续理由说明完全正确,不扣分)
理由:
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=900,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE.……………………………………………………6分
∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=1350.
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=1350-450=900.……………………………7分
在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,
∴CM=DM=ME,∴DE=2CM.
∴AE=DE+AD=2CM+BE……………………………………………………8分
(3)解决问题
如图3,在正方形ABCD中,CD=
。
若点P满足PD=1,且∠BPD=900,请直接写出点A到BP的距离。
(3)
或
………………………………………………………10分
【提示】PD=1,∠BPD=900,
∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线,点P为切点.
第一种情况:
如图①,过点A作AP的垂线,交BP于点P/,
可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1,
CD=
∴BD=2,BP=
∴AM=
PP/=
(PB-BP/)=
第二种情况如图②,
可得AM
PP/=
(PB+BP/)=
7.(2014•四川凉山州,第23题,8分)如图所示,正方形网格中,△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上).
(1)把△ABC沿BA方向平移后,点A移到点A1,在网格中画出平移后得到的△A1B1C1;
(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°,在网格中画出旋转后的△A1B2C2;
(3)如果网格中小正方形的边长为1,求点B经过
(1)、
(2)变换的路径总长.
考点:
弧长的计算;作图-平移变换;作图-旋转变换
专题:
网格型.
分析:
(1)利用平移的性质画图,即对应点都移动相同的距离;
(2)利用旋转的性质画图,对应点都旋转相同的角度.然后利用弧长公式求点B经过
(1)、
(2)变换的路径总长.
解答:
解:
(1)连接AA1,然后从C点作AA1的平行线且A1C1=AC.
同理找到点B.
(2)画图正确.
(3)
;
弧B1B2的长=
.
点B所走的路径总长=
.
点评:
本题主要考查了平移变换、旋转变换的相关知识,做这类题时,理解平移旋转的性质是关键.
8.(2014•福建福州,第17题每小题7分,共14分)
(1)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:
∠A=∠D.
(2)如图,在边长为1个单位的小正方形所组成的网格中,△ABC的顶点均在网格上.
①
的值是;
②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(A与A1,B与B1,C与C1相对应),连接AA1,BB1,并计算梯形AA1B1B的面积.
9.(2014•甘肃兰州,第27题10分)给出定义,若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.
(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;
(2)如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°.
①求证:
△BCE是等边三角形;
②求证:
DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.
考点:
四边形综合题.
分析:
(1)根据定义和特殊四边形的性质,则有矩形或正方形或直角梯形;
(2)①首先证明△ABC≌△BDC,得出AC=DE,BC=BE,连接CE,进一步得出△BCE为等边三角形;
②利用等边三角形的性质,进一步得出△DCE是直角三角形,问题得解.
解答:
解:
(1)正方形、矩形、直角梯形均可;
证明:
(2)①∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE,
∵∠CBE=60°,
∴△BCE是等边三角形;
②∵△ABC≌△DBE,
∴BE=BC,AC=ED;
∴△BCE为等边三角形,
∴BC=CE,∠BCE=60°,
∵∠DCB=30°,
∴∠DCE=90°,
在Rt△DCE中,
DC2+CE2=DE2,
∴DC2+BC2=AC2.
点评:
此题主要考查勾股定理,三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,是一道综合性很强的题目.
10.(2014•扬州,第23题,10分)如图,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后,再把△ABC沿射线平移至△FEG,DF、FG相交于点H.
(1)判断线段DE、FG的位置关系,并说明理由;
(2)连结CG,求证:
四边形CBEG是正方形.
(第3题图)
考点:
旋转的性质;正方形的判定;平移的性质
分析:
(1)根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB,∠GFE=∠A,再根据∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°,进而得到∠DEB+∠GFE=90°,从而得到DE、FG的位置关系是垂直;
(2)根据旋转和平移找出对应线段和角,然后再证明是矩形,后根据邻边相等可得四边形CBEG是正方形.
解答:
(1)解:
FG⊥ED.理由如下:
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后,
∴∠DEB=∠ACB,
∵把△ABC沿射线平移至△FEG,
∴∠GFE=∠A,
∵∠ABC=90°,
∴∠A+∠ACB=90°,
∴∠DEB+∠GFE=90°,
∴∠FHE=90°,
∴FG⊥ED;
(2)证明:
根据旋转和平移可得∠GEF=90°,∠CBE=90°,CG∥EB,CB=BE,
∵CG∥EB,
∴∠BCG+∠CBE=90°,
∴∠BCG=90°,
∴四边形BCGE是矩形,
∵CB=BE,
∴四边形CBEG是正方形.
点评:
此题主要考查了图形的旋转和平移,关键是掌握新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.
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