72等比数列题库学生版.docx
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72等比数列题库学生版
板块一:
等比数列通项
要求层次
重难点
等比数列
等比数列的概念
B
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用灵活应用求和公式解决问题
等差比数列的通项公式与前n项和公式
C
4.等比数列{an}的性质(其中公比为q):
/1\n_mJan
⑴an=amq,q=岬一;
\am
若2m=p+q,则有a;=apq;
即an,an為,an七m,……为等比数列,公
⑵若p+q=m+n,贝U有apa^aman;
⑶等距离取出若干项也构成一个等比数列,
比为qm.
(二)主要方法:
1•解决等差数列和等比数列的问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:
即运用条件转化为关于a1和
d(q)的方程;②巧妙运用等差数列和等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
2•深刻领会两类数列的性质,弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键.
3
典例分析:
3.证明等比数列
<教师备案>数列的递推公式在必修5中为选学内容,目的是使学生了解数列的递推公式是给出数列
主要有几种出题形式:
1.an+=ban+c
2.an+=b・an+c(n)
3.an+=pan中qan丄
【例6】已知数列{an}的前n项和为W,SnJ(an
3
⑴求ai,a?
:
【例7】
【例8】
【点评】
【变式】
【点评】
【变式】
⑵求证:
数列{aj是等比数列.
已知数列{an}满足ai=1,an丰=1+爲.,求其通项公式.
2
在数列{an}中,a,=1,当n>2时,有a.=3^」+2,求a..
解法一利用待定系数法确定常数A,从而构造新的等比数列,进而求通项公式;解法二仿照所给
关系式,两式相减构造新的数列(等差或等比)
已知数列{an}满足ai=-1,an=3an丄+2nd(n>2),求a.
当{c(n)}成等比数列时,an=ban丄+c(n)
由于{c(n)}是等比数列uc(n)=pqn,且b是常数,故c(n)—定可像c一样分解:
设an—ABn=b(an丄—ABn丄),则A=-P^,B=q,且{気-A成等比数列.
q-b
173
已知a1=—,a"(寸「旳》2)'求a-
【例9】
(2007年北京卷15)
数列(aj中,a,=2,an+=an+cn(c是常数,n=1,2,3,,),且a,,a2,ag成公比不为1的等比数列.
⑴求c的值;
⑵求(aj的通项公式.
【变式】
在数列{aJ中,4=2,an+=4an-3n+1,n^N*.
⑴证明数列{an-n}是等比数列;
⑵求数列{aj的前n项和Sn.
【点评】
an+=ban+c(n),当数列{c(n)}成等差数列时.
⑴若b=1,则兔+-On=c(n),这实质上成为“泛等差”数列,因此用“迭加法”即可解决,即an=(an-an』+(o.丄一an2)+Hl+(a2-耳)+a1,上一讲已有此类题目,若与等比结合,例如:
已知数列(aj满足a=1,an+—On=2n-n,求a..
解:
T0卄—On=2“—n,
…32—01=2—1,a3—02=2—2,…
迭加法:
n>2时,有an-3=(1+2+22+11(+2n^^1+2+3+H|+(n-1)]
an=(1+2+22+山+2^)+01=(2n-2)+01=2n-1
22
an—an_L=2亠一(n—1)(n二2),
n(n-1)
2
而a=1也适合上式
•••{%}的通项公式为
=2n_n(nj)_i
2
{c(n)}是等差数列Uc(n)=pn+q,故c(n)也可以像c一样分解:
⑵On+^ban+c(n)
那么bH1且bHO时,
an+
-[A(n+1)+B]=b[an-(An+B)]
则A=丄,BJ-qb二Pb,且{on_(An+B)}成等比数列.1—b(1—b)
也可举更一般的例题:
1
已知4=——,an=3an丄+2n-1(n>2),求o..
2
解:
设an—(An+B)=3^2—CA(n—1)+b]}
•••a^=3an^-3A(n—1)—3A+An+B
「2=-2A
故2n—1=—2An+3A—2B恒成立,故{
I—1=3A—2B
•••A=V,B=_1,故{an+n+1}成等比数列.
【例10】已知数列{aj的前n项和为Sn=2n2+5n+1(N*)
百》板块二:
数列的前n项和
当q=1时,Sn=na1.
法二:
Sn=a1+aiq+a1q2+山+a1^-,
将上式两边同乘以q得:
qSn=a1q+a1q2+a1q3+HI十a1qn,两式相减得:
(1_q)Sn=a1_a1qn,以下讨论同法一.
法二称为错位相减法,是数列求和中常用的一种方法.
(二)典例分析:
1.等比数列求和公式
【例12】
在等比数列{爲}中,a2=2,a5=128,则它的公比q=
,前n项和Sn=
【例13】
⑴(2009辽宁14)
等差数列{aj的前n项和为0,且6S5-5S3=5,则a4=
【例14】
⑴(2009辽宁6)
设等比数列{&}的前n项和为Sn,
A.2
若§=3,则負=(
S3S6
C8
3
D.3
【变式】
【例15】
【例16】
3(2009江苏14)
设{aJ是公比为q的等比数列,
在集合{-53,-23,19,37,82}中,贝6q=
|q>1,令bn=an+1(n=1,2,,||),若数列fej有连续四项
等比数列{aj的首项a^-1,前n项和为Sn,公比qH1,若宝=聖,则色0等于
S532a5
等比数列{an}中,a1=512,公比q=-1,用口表示它前n项的积:
nnpa?
…爲,
2
则n1,n2,…,nn中最大的是
已知数列&}的前n项和为Sn,Sn」佝-1)(n<^N*).3
⑴求a,a2,a3的值;⑵求an的通项公式及So.
【变式】在等比数列{aJ中,ai.32as=27,a2+=30
试求:
⑴a1和公比q;⑵前6项的和S6.
【变式】⑴
在等比数列{aj中,已知对任意正整数n,有Sn=2n—1,则ai+a;+H|+a2=
求和:
(a-1)+(a2-2)+H|+(an-n),(aH0).
(2008-2009学年度山东省费县必修5考试数学试卷)
在等比数列{外}中,a4,a3+a5=—.若数列(aj-的公比大于1,且b^log3-an,
392
求数列fen}的前n项和Sn.
屮0板块三:
等比数列综合
【例171(广东省惠阳高级中学2008-2009学年期中考试)
在各项均为正数的等比数列
虹}中,若b7
bg=3,贝ylogsb+Iog3d++log3bi4等于
(
A.
【例181⑴
(安徽省界首中学等比数列{an}中,则a;+a2+…+an2
r2
A.(2n-1)B
08-09
已知对任意自然数
学年数学必修
5试题)
n,a,+a2+a3+…+a^2^1,
=()
.l(2n-1)C.4-1D.丄⑷-,)
33
若lgx+lgx2七■汁lgx10=110,求lgx+lg2x七■汁lg10x的值.
求和:
(a-1)^(a2-2)+HI+(an-n),(aH0).
(2008-2009学年度山东省费县必修5考试数学试卷)
在等比数列{爲}中,a4=2,a3+a5=—.若数列的公比大于1,且bn=83色
392
求数列的前n项和Sn.
【例19】
在等比数列{aj的前n项中,ai最小,且印+an=6682^」=128,前n项和£=126,求n和
公比q•
【例20】
设等比数列{爲}前n项和为Sn,若S3+S3=2S9,求数列的公比q.
【例21】
{an}的相邻两项an,an+是方程X2-Cnxr1)"=0的两根,且印=2,求数列{Cn}的前n项和Sn.
3
【例22】
已知数列{a」:
1,2(」),3(-1)2,…,,求它的前n项和.
222
【变式】
已知:
数列{an}满足ai+3a2+32a3+山+3^^=门,acn+
3
⑴求数列{an}的通项;
⑵设b^—,求数列{bn}的前n项和Sn
an
【例23】已知数列{a」的通项公式为an=n5n,求其前n项和公式.
【例24】求数列a,2a2,3a3,…,nan,…,(a为常数)的前n项的和.
【变式】
已知等差数列仕},公差为d,求Sn=盼+a2x3+a3X5+H|anX2ni(xHl且xh0)
【变式】
设{aj为等比数列,Tn=na,+(n—10+…2%」,已知人=1,T^4.
⑴求数列{an}的首项和公比;
⑵求数列{tJ的通项公式.
【例25】
已知aH1,数列{an}是首项为a,公比为a的等比数列,令bn-a.Igan(a>0,n忘N),
⑴当a=2时,求数列{bn}的前n项和S.;
⑵若数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时,求a的取值范围.
【点评】
本题的⑵属于数列与不等式的结合问题,涉及到分式不等式的解法以及参数的讨论问题,注意与指数函数和对数函数相结合.
【例26】
已知函数f(x)是一次函数,且f(8)=15,f
(2),f(5),f(14)成等比数列,设an=f(n),
⑴求Tn;
⑵设bn=2n,求数列lanbj的前n项和Sn.
【例27】设等比数列{耳}的公比为q,前n项和S>0(N+).
⑴求q的取值范围;
⑵设bn=an.-3an丰,记{bj的前n项和为人,试比较Sn与T.的大小.十2十
【例28】设laj是由正数组成的等比数列,
S是前n项和,证明也占+叽需>iogo.5S屮
⑴证明:
igSn+|gSngsn+;
⑵是否存在常数CaO使得©(&-C)+ig(Sn卡—C)=ig(s+_c)成立?
并证明你的结论.
f板块四:
等比数列知识的应用
<教师备案>1.复利.
复利是指把上期的利息也加入本期的本金计算利息,叫做复利.
2.复利公式.
设有一笔资金的本金为m元,每期的利率为i,若按复利计算,则本利和S可按期数排成下面的数列.
时间
本利和
第1期末
$1=m(\+i)
第2期末
Sj=m(]+i)'
第3期末
S3=m{1+i)'
・・■
■■■
第n期末
因此本利和是个等比数列,则m元本金在利率i下,经n期后,按复利计算的本利和公式为Sn=m(1+i)n
习惯上常将复利计算本利和时的利率叫做复利率.
【例30】用分期付款方式购买家用电器一件,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月这一天
都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,若交付150元后的第一个月开始算分期付
【例31】
【变式】
【变式】
【例32】
款的第一个月,问分期付款的第十个月该交付多少钱?
全部货款付清后,买这件家电实际花了多少钱?
从盛满a升(a亦)纯酒精的溶液里倒出1升,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填
满.如此继续下去,那么第n次操作后溶液的浓度是多少?
某企业年初有资金1000万元,如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为每年年底都要扣除消费基金x万元,余下基金投入再生产,为实现经过元(扣除消费基金后),那么每年应扣除消费基金多少万元(精确到万元)
小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行,月利按复利计算,每够一年就将一年的本利和改存,年利按复利计算,年利率为6%
元(保留到个位)?
(05上海卷.理12)
用n个不同的实数a1,a2,HI,an可得到n!
个不同的排列,每个排列为一行写成一个n!
行的数阵。
对第i行ai,ai2^l,ain,
b=-a才ai齐Qi.土•(一,,a刊,2,3,IH,n!
。
例如:
用1,2,3、可得数阵如图,由于此数阵中每一列各数之和都是
12,所以,b+b2+HI+bb=T2+2X12—3咒12=—24,那么,
在用1,2,3,4,5形成的数阵中,b+b2+111+020=。
50%但
5年资金达到2000万
?
月利率为0.2%
问三年后取出本利共多少
【变式】
(2007上海卷)
我们在下面的表格内填写数值:
先将第1行的所有空格填上1;再把一个首项为1,公比为q的
⑴
⑵
⑶
数列{aj依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格.
第1列
第2列
第3列
…
第n列
第1行
1
1
1
…
1
第2行
q
第3行
2
q
…
…
第n行
n1
q-
设第2行的数依次为Bi,B2,HI,Bn,试用n,q表示Bi+B2+|||+Bn的值;
设第3行的数依次为q,6,C3,11,cn,求证:
对于任意非零实数q,5+63>202;请在以下两个问题中选择一个进行研究(只能选择一个问题,如果都选,被认为选择了第
一问).
1能否找到q的值,使得⑵中的数列Ci,62,C3,,11,Cn的前m项Ci,C2,,11,Cm(m>3)成
为等比数列?
若能找到,m值有多少个?
若不能找到,说明理由.
2能否找到q的值,使得填表格后,除第1列外,还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列?
并说明理由.
列.
n1
已知数列30,31,32,Ml,an,111满足关系式(3—an打6+an)=18,且a。
=3,则送-的值
7ai
【点评】
作为数列题,本题的关键在于找出数列的递推公式,本题中只要能够想到去求原数列倒数的递推公式,以后几步应该不难.对于比较繁难的情况,一般需要借助待定系数法
江山如此多娇,引无数英雄竞折腰
惜秦皇汉武,略输文采;唐宗宋祖,稍逊风骚。
'代天骄,成吉思汗,只识弯弓射大雕。
俱往矣,数风流人物,还看今朝。
■克
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- 72 等比数列 题库 学生