1、72等比数列题库学生版板块一：等比数列通项要求层次重难点等比数列等比数列的概念B等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 灵活应用求和公式解决问题等差比数列的通项公式 与前n项和公式C4.等比数列an的性质（其中公比为q ）：/1 n _m J an an =amq , q =岬一; am若 2m = p +q ,则有 a； = ap q ;即 an , an為,an七m，为等比数列，公若 p +q =m + n，贝U有 ap aam an ；等距离取出若干项也构成一个等比数列,比为qm.（二）主要方法：1解决等差数列和等比数列的问题时， 通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于 a
2、1和d（q）的方程；巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算 量.2深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前 n项和公式的内在联系是解题的关键.3典例分析:3.证明等比数列教师备案数列的递推公式在必修 5中为选学内容，目的是使学生了解数列的递推公式是给出数列主要有几种出题形式:1.an+=ban+c2.an+=ba n +c(n)3.an+= pan 中qan丄【例6】已知数列an 的前n项和为W , SnJ(an3求ai , a?:【例7】【例8】【点评】【变式】【点评】【变式】求证：数列aj是等比数列.已知数列an 满足ai =1 , an丰=1 +爲.，求其通项
3、公式.2在数列an 中，a, =1，当n 2时，有a. =3+2，求a.解法一利用待定系数法确定常数 A,从而构造新的等比数列，进而求通项公式；解法二仿照 所给关系式，两式相减构造新的数列(等差或等比)已知数列an 满足 ai =-1 , an =3an丄+2nd(n 2)，求 a.当c(n)成等比数列时，an =ban丄+c(n)由于c(n)是等比数列u c(n) = p qn，且b是常数，故c(n) 定可像c一样分解:设an A Bn =b(an丄A Bn丄)，则A =-P , B =q，且気-A 成等比数列.q -b17 3已知a1=,a(寸旳2)求a -【例9】(2007年北京卷15)
4、数列(aj中，a, =2，an+=an+cn( c是常数，n= 1,2,3,，),且 a,，a2，ag成公比不为 1 的 等比数列.求c的值；求(aj的通项公式.【变式】在数列aJ中，4=2，an+=4an-3n+1，n N* .证明数列an-n是等比数列；求数列aj的前n项和Sn .【点评】an+=ban+c(n)，当数列c(n)成等差数列时.若b=1，则兔+ -On =c(n)，这实质上成为“泛等差”数列，因此用“迭加法”即可解决, 即an =(an -an+(o.丄一an2)+ Hl+(a2 -耳)+a1，上一讲已有此类题目，若与等比结合， 例如：已知数列(aj满足a =1，an+On
5、=2n -n，求a.解：T 0卄On =2“ n，32 01 =2 1 ， a3 02 =2 2，迭加法：n 2 时，有 an -3 =(1 +2+22+11(+ 2n 1 +2+3 +H|+(n-1)an =(1 +2 +22 +山 +2) +01 =(2n -2) +01 =2n -12 2an an_L =2 亠一(n 1) (n 二2)，n(n -1)2而a =1也适合上式 %的通项公式为= 2n_n(n j)_i2c(n)是等差数列U c(n)=pn+q ,故c(n)也可以像c一样分解: On + ban +c(n)那么b H1且bHO时，an +-A(n +1)+B=ban -(A
6、n+B)则A =丄，B J -qb二Pb，且on _(An +B)成等比数列. 1b (1b)也可举更一般的例题：1已知 4=，an=3an丄+2n-1(n 2)，求 o.2解：设 an (An+B) =32CA(n1)+b a =3an-3A( n 1) 3A+A n+B2 = -2 A故 2n 1 =2An+ 3A2B 恒成立，故I1 =3A2B A=V , B=_1，故an + n+1成等比数列.【例10】已知数列aj的前n项和为Sn =2n2 +5n +1(N*)百板块二：数列的前n项和当 q =1 时，Sn =na1 .法二：Sn =a1 +aiq +a1q2 +山 +a1-,将上式
7、两边同乘以q得：qSn =a1q+a1q2+a1q3+HI十a1qn , 两式相减得：（1 _q）Sn =a1 _a1qn，以下讨论同法一.法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法.（二）典例分析：1.等比数列求和公式【例12】在等比数列爲中，a2 =2, a5 =128，则它的公比q =，前n项和Sn =【例13】（2009辽宁14）等差数列aj的前n项和为0，且6S5-5S3 =5，则a4 =【例14】（2009辽宁6）设等比数列&的前n项和为Sn ,A. 2若 =3，则負=(S3 S6C 83D. 3【变式】【例15】【例16】3（ 2009 江苏 14）设aJ是公比为q的等比数列
8、，在集合-53 , -23 , 19 , 37, 82中，贝6q =|q 1，令bn =an+1（n=1, 2,|），若数列fej有连续四项等比数列aj的首项a-1,前n项和为Sn，公比q H1 ,若宝=聖,则色0等于S5 32 a5等比数列an中，a1=512，公比q =-1，用口表示它前n项的积：n n pa?爲,2则n 1, n2，nn中最大的是已知数列& 的前n项和为Sn , Sn佝-1）（n0,n忘N),当a =2时，求数列bn的前n项和S.;若数列bn中的每一项总小于它后面的项时，求 a的取值范围.【点评】本题的属于数列与不等式的结合问题，涉及到分式不等式的解法以及参数的讨论问题，
9、注 意与指数函数和对数函数相结合.【例26】已知函数f(x )是一次函数，且f(8)=15 , f(2), f(5 ), f (14 )成等比数列，设an=f( n ),求Tn ；设bn =2n，求数列lanbj的前n项和Sn .【例27】设等比数列耳的公比为q，前n项和S 0( N+).求q的取值范围;设bn = an.-3 an丰，记bj的前n项和为人，试比较Sn与T.的大小. 十2十【例28】设laj是由正数组成的等比数列,S是前n项和，证明 也占+叽需 iogo.5 S屮证明：igSn +|gSngsn+；是否存在常数C aO使得(& -C)+ig(Sn卡C)=ig(s + _c)成立
10、？并证明你的结论.f板块四：等比数列知识的应用教师备案 1.复利.复利是指把上期的利息也加入本期的本金计算利息，叫做复利.2.复利公式.设有一笔资金的本金为 m元，每期的利率为i，若按复利计算，则本利和 S可按期数 排成下面的数列.时间本利和第1期末$1 = m( + i)第2期末Sj = m( + i)第3期末S3 = m 1 + i) 第n期末因此本利和是个等比数列，则 m元本金在利率i下，经n期后，按复利计算的本利和公 式为 Sn =m(1 +i)n习惯上常将复利计算本利和时的利率叫做复利率.【例30】用分期付款方式购买家用电器一件，价格为 1150元，购买当天先付150元，以后每月这一
11、天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为 1 %，若交付150元后的第一个月开始算分期付【例31】【变式】【变式】【例32】款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际 花了多少钱？从盛满a升（a亦）纯酒精的溶液里倒出1升，然后填满水，再倒出 1升混合溶液后又用水填满.如此继续下去，那么第 n次操作后溶液的浓度是多少 ？某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为 每年年底都要扣除消费基金 x万元，余下基金投入再生产，为实现经过 元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）小芳同学若将每月省下的零花钱 5
12、元在月末存入银行，月利按复利计算, 每够一年就将一年的本利和改存，年利按复利计算，年利率为 6%元（保留到个位）？（05上海卷.理12）用n个不同的实数a1,a2,HI,an可得到n!个不同的排列，每个排列为一 行写成一个n!行的数阵。对第i行ai,ai2l,ain ,b = -a 才 ai 齐 Qi .土 （一, a刊,2,3,IH, n!。例如：用1, 2, 3、可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b +b2 +HI+ bb =T2 +2X123咒12=24，那么，在用 1, 2, 3, 4, 5 形成的数阵中，b+b2 +111+020= 。50%但5年资金达到200
13、0万？月利率为 0.2 %问三年后取出本利共多少【变式】（2007上海卷）我们在下面的表格内填写数值： 先将第1行的所有空格填上1 ；再把一个首项为1，公比为q的数列aj依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一 格的数之和”的规则填写其他空格.第1列第2列第3列第n列第1行1111第2行q第3行2q第n行n 1q -设第2行的数依次为 Bi, B2, HI, Bn，试用n , q表示Bi +B2 +| +Bn的值；设第3行的数依次为q , 6 , C3 ,11, cn，求证：对于任意非零实数 q , 5 +63 202 ; 请在以下两个问题中选择一个进行研究 （
14、只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）.1能否找到q的值，使得中的数列 Ci ,62 , C3 , ,11, Cn的前m项Ci , C2 , ,11, Cm（m 3 ）成为等比数列？若能找到， m值有多少个？若不能找到，说明理由.2能否找到q的值，使得填表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成 等比数列？并说明理由.列.n 1已知数列30 , 31 , 32 , Ml, an ,111满足关系式（3 an打6+an ）=18，且a。=3，则送-的值7 ai【点评】作为数列题，本题的关键在于找出数列的递推公式，本题中只要能够想到去求原数列倒 数的递推公式，以后几步应该不难.对于比较繁难的情况，一般需要借助待定系数法江山如此多娇， 引无数英雄竞折腰惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍 逊风骚。代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。俱往矣，数风流人物， 还看今朝。克
