爱智康七年级尖子班春季讲义第1讲平行线动点问题.docx
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爱智康七年级尖子班春季讲义第1讲平行线动点问题.docx
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爱智康七年级尖子班春季讲义第1讲平行线动点问题
平行线动点问题
模块一课前检测
【题1】将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置,若∠1=60°,则∠2的度数为.
【题2】如图,AB∥DE,∠1=25°,∠2=110°,求∠BCD的度数.
【题3】如图AM∥BN,C是BN上一点,O是射线CP上的点,∠MAO的平分线与∠OBN的平分线交于点D.
(1)当点O在AM与BN之间时,如图1所示,求证:
∠D=
∠AOB;
(2)当点O在AM上方时,如图2所示,试判断
(1)中的结论是否依然成立,给出结论,并对你给出的结论加以证明.
模块二动点与角度
知识点睛
变相考察平行线四大模型,依然遵循“逢拐作平行”原则.
典型例题
【例1】已知AB∥CD,线段EF分别与AB、CD相交于E、F.
(1)如图1,当∠A=20°,∠APC=70°时,求∠C的度数;
(1)如图2,当点P在线段EF上运动时(不包括E、F两点),∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量关系?
试证明你的结论;
(3)如图3,当点P在线段EF的延长线上时,
(2)中的结论还成立吗?
如果成立,请说明理由;如果不成立,试探究它们之间新的数量关系并证明.
【巩固】直线AB∥CD,直线a分别交AB、CD于E、F,点M在直线EF上,点P是直线CD上的一个动点(点P不与点F重合).
(1)如图,当点P在射线FC上移动时,∠FMP+∠FPM与∠AEF有什么数量关系,请说明理由;
(2)当点P在射线FD上移动时,请画出图形并探究∠BEM、∠DPM、∠EMP有什么数量关系,请说明理由.
【变式】如图,已知直线EF∥MN,点A、B分别为EF、MN上的动点,且∠ACB=90°,BD平分∠CBN交EF于D.
(1)若∠FDB=120°,如图1,求∠MBC的度数;
(2)在
(1)的条件下,如图1,求∠EAC的度数;
(3)延长AC交直线MN于G,如图2,GH平分∠AGB交DB于H,问∠GHB是否为定值,若是,请求其值;若不是,请说明理由.
能力提升
【例2】已知:
如图,直线a∥b,直线c与直线a、b分别相交于C、D两点,直线d与直线a、b分别相交于A、B两点.
(1)如图1,当点P在线段AB上(不与A、B重合)运动时,∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系?
请说明理由;
(2)如图2,当点P在线段AB的延长线上运动时,∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系?
(2)如图3,当点P在线段BA的延长线上运动时,∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系?
巅峰冲刺
【巩固】如图1,CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∠EAC+∠ACE=90°.
(1)请判断AB与CD的位置关系并说明理由;
(2)如图2,当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变,移动直角顶点E,使∠MCE=∠ECD,当直角顶点E点移动时,问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?
并说明理由;
(3)如图3,P为线段AC上一定点,点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变,当点Q在射线CD上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系?
猜想结论并说明理由.
【变式】如图,已知AB∥CD,直线l分别截AB、CD于E、C两点,M是线段EC上一动点(不与E、C重合),过M点作MN⊥CD于N,连结EN.
(1)如图1,当∠ECD=40°时,填空:
∠FEB=;∠MEN+∠MNE=;
(2)如图2,当∠ECD=α°时,猜想∠MEN+∠MNE的度数与α的关系,并证明你的结论.
模块三平行线与三角板
知识点睛
三角板有特殊的直角与直角顶点,通常该顶点与平行线结合会组成我们熟悉的平行线四大模型,同样采取“逢拐作平行”的思路,将结论合理运用.
典型例题
【例3】将一副三角板如图所示位置摆放.
(1)直接写出∠AOC与∠BOD的大小关系,不需证明;
(2)图1中的三角板AOB不动,将三角板COD绕点O旋转至CO∥AB(如图2),判断DO与AB的位置关系,并证明;
(3)在
(2)的条件下,三角板COD绕点O旋转过程中,能否使CD⊥AB?
若能,求此进∠AOC的度数;若不能,请说明理由.
能力提升
【巩固】小明将一直角三角板(∠A=30°)放在如图所示的位置.
(1)经测量知∠GEA=∠A,求∠BDF;
(2)将三角板进行适当的转动,直角顶点始终在两直线间,M在线段CD上,且∠CEM=∠CEH,给出下列结论:
①
的值不变;②∠MEG-∠BDF的值不变.其中只有一个结论是正确的,请你做出正确的选择并求值.
模块四动线段(动直线)与平行线
知识点睛
图形通常与平行线四大模型相结合,同样采取“逢拐作平行”的思路,将结论合理运用.
典型例题
【例4】如图,已知直线CB∥OA,∠C=∠OAB=100°,E、F在BC上,满足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF.
(1)求∠EOB的度数;
(2)若平行移动AB,则
的值是否发生变化?
若变化找出变化规律;若不变求其值.
能力提升
【巩固】AB∥CD,点C在点D的右侧,∠ABC、∠ADC的平分线交于E(不与B、D重合).∠ABC=n°,∠ADC=80°.
(1)若点B在点A的左侧,求∠BED的度数(用含n的代数式表示);
(2)将
(1)中的线段BC沿DC方向平移,当点B移动到点A右侧时,请画出图形并判断∠BED的度数是否改变.若改变,请求出∠BED的度数(用含n的代数式表示);若不变,请说明理由.
模块五真题链接
【2014-2015洪山区期末】如图,长方形ABCD在平面直角坐标系中,点A(1,8),B(1,6),C(7,6).
(1)请直接写出D点的坐标;
(2)连接线段OB、OD,OD交BC于E,∠BOy的平分线和∠BEO的平分线交于F,若∠BOE=n,求∠OFE的度数;
(3)若长方形ABCD以每秒
个单位的速度向下运动,设运动时间为t秒,问在第一象限内是否存在某一时刻t,使△OBD的面积等于长方形ABCD的面积?
若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
课后作业
【题1】如图,已知直线
∥
,直线
和直线
、
交于C、D,在C、D之间有一点P.
(1)如果P点在C、D之间运动时,问∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系是否发生变化?
(2)若点P在C、D两点的外侧运动时(不与C、D重合),试判断∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系又是如何?
【题2】如图,AB∥CD,P为定点,E、F分别是AB、CD上的动点.
(1)求证:
∠P=∠BEP+∠PFD;
(2)若M为CD上一点,MN交PF于N.证明:
∠PNM=∠NMF+∠NFM;(不能用三角形内角和定理)
(3)在
(2)的基础上,若∠FMN=∠BEP,试说明∠EPF与∠PNM的关系,并证明你的结论.
平行线中三角形四边形
模块一课前检测
【题1】如图1,CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∠EAC+∠ACE=90°.
(1)请判断AB与CD的位置关系并说明理由;
(2)如图2,当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变,移动直角顶点E,使∠MCE=∠ECD,当直角顶点E点移动时,问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?
并说明理由;
(3)如图3,P为线段AC上一定点,点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变,当点Q在射线CD上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系?
猜想结论并说明理由.
模块二利用三角形中的平行线求角
知识点睛
解题思路:
利用平行线的相关性质(同位角、内错角相等、同旁内角互补),必要时结合三角形内角和为180°,但需旁证.
典型例题
【例1】如图,AE∥BD,∠CBD=57°,∠AEF=125°,求∠C的度数.
【巩固】如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥AC,∠B=70°,∠EDC=30°,
求∠ADC的度数.
能力提升
【变式】如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠C的大小关系.
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- 爱智康七 年级 尖子 春季 讲义 平行线 问题