第18讲阅读理解型问题.docx
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第18讲阅读理解型问题
第18讲阅读理解型问题
第一部分考第搜索
(一)中考专题诠释
阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”,特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长,信息量较大,各种关系错综复杂,考查的知识也灵活多样,
既考查学生的阅读能力,又考查学生的解题能力的新颖数学题.
(二)解题策略与解法精讲
解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料,弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论,或揭示了什么数学规律,或暗示了什么新的解题方法,然后展开联想,将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移,建模应用,解决题目中提出的问题.
第二部分典例精析
考点一:
阅读试题提供新定义、新定理,解决新问题
例1(2012•十堰)阅读材料:
例:
说明代数式
的几何意义,并求它的最小值.
解:
=
,
如图,建立平面直角坐标系,点P(x,0)是x轴上一点,
则
可以看成点P与点A(0,1)的距离,
可以看成点P与点B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和,它的最小值就是PA+PB的最小值.
设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度.为此,构造直角三角形A′CB,因为A′C=3,CB=3,所以A′B=3
,即原式的最小值为3
.
根据以上阅读材料,解答下列问题:
(1)代数式
的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)、点B的距离之和.(填写点B的坐标)
(2)代数式
的最小值为.
【分析】
的形式,再根据题中所给的例子即可得出结论;
(2)先把原式化为
的形式,故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(0,7)、点B(6,1)的距离之和,再根据在坐标系内描出各点,利用勾股定理得出结论即可.
【解答】
(1)∵原式化为
的形式,
∴代数式
的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)、点B(2,3)的距离之和,
故答案为(2,3);
(2)∵原式化为
的形式,
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(0,7)、点B(6,1)的距离之和,
如图所示:
设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,
∴PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度,
∵A(0,7),B(6,1)
∴A′(0,-7),A′C=6,BC=8,
∴A′B=
=10,
故答案为:
10.
同步拓展
1.(2012湛江)先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:
例题:
解一元二次不等式x2﹣4>0
解:
∵x2﹣4=(x+2)(x﹣2)
∴x2﹣4>0可化为
(x+2)(x﹣2)>0
由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得
解不等式组①,得x>2,
解不等式组②,得x<﹣2,
∴(x+2)(x﹣2)>0的解集为x>2或x<﹣2,
即一元二次不等式x2﹣4>0的解集为x>2或x<﹣2.
根据以上的例题解下列不等式
(1)一元二次不等式x2﹣16>0的解集为 ;
(2)分式不等式
的解集为 ;
(3)解一元二次不等式2x2﹣3x<0.
【解答】
(1)∵x2﹣16=(x+4)(x﹣4)
∴x2﹣16>0可化为
(x+4)(x﹣4)>0
由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得
解不等式组①,得x>4,
解不等式组②,得x<﹣4,
∴(x+4)(x﹣4)>0的解集为x>4或x<﹣4,
即一元二次不等式x2﹣16>0的解集为x>4或x<﹣4.
(2)∵
∴
或
解得:
x>3或x<1
(3)∵2x2﹣3x=x(2x﹣3)
∴2x2﹣3x<0可化为
x(2x﹣3)<0
由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得
或
解不等式组①,得0<x<
,
解不等式组②,无解,
∴不等式2x2﹣3x<0的解集为0<x<
.
考点二、阅读试题信息,归纳总结提炼数学思想方法
例2(2012•赤峰)阅读材料:
(1)对于任意两个数a、b的大小比较,有下面的方法:
当a-b>0时,一定有a>b;
当a-b=0时,一定有a=b;
当a-b<0时,一定有a<b.
反过来也成立.因此,我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”.
(2)对于比较两个正数a、b的大小时,我们还可以用它们的平方进行比较:
∵a2-b2=(a+b)(a-b),a+b>0
∴(a2-b2)与(a-b)的符号相同
当a2-b2>0时,a-b>0,得a>b
当a2-b2=0时,a-b=0,得a=b
当a2-b2<0时,a-b<0,得a<b
解决下列实际问题:
(1)课堂上,老师让同学们制作几种几何体,张丽同学用了3张A4纸,7张B5纸;李明同学用了2张A4纸,8张B5纸.设每张A4纸的面积为x,每张B5纸的面积为y,且x>y,张丽同学的用纸总面积为W1,李明同学的用纸总面积为W2.回答下列问题:
①W1=(用x、y的式子表示)
W2=(用x、y的式子表示)
②请你分析谁用的纸面积最大.
(2)如图1所示,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,已知A、B到l的距离分别是3km、4km(即AC=3km,BE=4km),AB=xkm,现设计两种方案:
方案一:
如图2所示,AP⊥l于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a1=AB+AP.
方案二:
如图3所示,点A′与点A关于l对称,A′B与l相交于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a2=AP+BP.
①在方案一中,a1=km(用含x的式子表示);
②在方案二中,a2=km(用含x的式子表示);
③请你分析要使铺设的输气管道较短,应选择方案一还是方案二.
【分析】
(1)①根据题意得出3x+7y和2x+8y,即得出答案;②求出W1-W2=x-y,根据x和y的大小比较即可;
(2)①把AB和AP的值代入即可;②过B作BM⊥AC于M,求出AM,根据勾股定理求出BM.再根据勾股定理求出BA′,即可得出答案;
③求出a12-a22=6x-39,分别求出6x-39>0,6x-39=0,6x-39<0,即可得出答案.
【解答】
(1)解:
①W1=3x+7y,W2=2x+8y,故答案为:
3x+7y,2x+8y.
②解:
W1-W2=(3x+7y)-(2x+8y)=x-y,
∵x>y,
∴x-y>0,
∴W1-W2>0,
得W1>W2,
所以张丽同学用纸的总面积大.
(2)①解:
a1=AB+AP=x+3,
故答案为:
x+3.
②解:
过B作BM⊥AC于M,
则AM=4-3=1,
在△ABM中,由勾股定理得:
BM2=AB2-12=x2-1,
在△A′MB中,由勾股定理得:
AP+BP=A′B=
,
故答案为:
.
③解:
a12-a22=(x+3)2-(
)2=x2+6x+9-(x2+48)=6x-39,
当a12-a22>0(即a1-a2>0,a1>a2)时,6x-39>0,解得x>6.5,
当a12-a22=0(即a1-a2=0,a1=a2)时,6x-39=0,解得x=6.5,
当a12-a22<0(即a1-a2<0,a1<a2)时,6x-39<0,解得x<6.5,
综上所述
当x>6.5时,选择方案二,输气管道较短,
当x=6.5时,两种方案一样,
当0<x<6.5时,选择方案一,输气管道较短.
考点三、阅读相关信息,通过归纳探索,发现规律,得出结论
例3(2012•凉山州)在学习轴对称的时候,老师让同学们思考课本中的探究题.
如图
(1),要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
你可以在l上找几个点试一试,能发现什么规律?
聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线(图
(2)),问题就转化为,要在直线l上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的:
①作点B关于直线l的对称点B′.
②连接AB′交直线l于点P,则点P为所求.
请你参考小华的做法解决下列问题.如图在△ABC中,点D、E分别是AB、AC边的中点,BC=6,BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点P,使△PDE得周长最小.
(1)在图中作出点P(保留作图痕迹,不写作法).
(2)请直接写出△PDE周长的最小值:
.
【分析】
(1)根据提供材料DE不变,只要求出DP+PE的最小值即可,作D点关于BC的对称点D′,连接D′E,与BC交于点P,P点即为所求;
(2)利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值,即可得出答案.
【解答】
(1)如图,作D点关于BC的对称点D′,连接D′E,与BC交于点P,
P点即为所求;
(2)∵点D、E分别是AB、AC边的中点,
∴DE为△ABC中位线,∵BC=6,BC边上的高为4,∴DE=3,DD′=4,
∴D′E=
=5,∴△PDE周长的最小值为:
DE+D′E=3+5=8,故答案为:
8.
第三部分每课质检
1.(2012•宁波)邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又剩下一个四边形,称为第二次操作;…依此类推,若第n次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形.如图1,▱ABCD中,若AB=1,BC=2,则▱ABCD为1阶准菱形.
(1)判断与推理:
①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形;
②小明为了剪去一个菱形,进行了如下操作:
如图2,把▱ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点A落在BC边上的点F,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.
(2)操作、探究与计算:
①已知▱ABCD的邻边长分别为1,a(a>1),且是3阶准菱形,请画出▱ABCD及裁剪线的示意图,并在图形下方写出a的值;
【解答】
(1)①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作,所剩四边形是边长为1的菱形,
故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形;
故答案为:
2;
②由折叠知:
∠ABE=∠FBE,AB=BF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥BF,
∴∠AEB=∠FBE,
∴∠AEB=∠ABE,
∴AE=AB,
∴AE=BF,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴四边形ABFE是菱形;
(2)
①如图所示:
②∵a=6b+r,b=5r,
∴a=6×5r+r=31r;
如图所示:
故▱ABCD是10阶准菱形.
2.(2012•淮安)阅读理解
如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分;…;将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角.
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.情形一:
如图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合;情形二:
如图3,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.
探究发现
(1)△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角?
(填“是”或“不是”).
(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系.根据以上内容猜想:
若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为.
应用提升
(3)小丽找到一个三角形,三个角分别为15°、60°、105°,发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.
请你完成,如果一个三角形的最小角是4°,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
【解答】
(1)△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是△ABC的好角;
理由如下:
小丽展示的情形二中,如图3,
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠,
∴∠B=∠AA1B1;
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合,
∴∠A1B1C=∠C;
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C(外角定理),
∴∠B=2∠C;
故答案是:
是;
(2)∠B=3∠C;如图所示,在△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠,点B2与点C重合,则∠BAC是△ABC的好角.
证明如下:
∵根据折叠的性质知,∠B=∠AA1B1,∠C=∠A2B2C,∠A1 B1C=∠A1A2B2,
∴根据三角形的外角定理知,∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C;
∵根据四边形的外角定理知,∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°,
根据三角形ABC的内角和定理知,∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠B=3∠C;
由小丽展示的情形一知,当∠B=∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
由小丽展示的情形二知,当∠B=2∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
由小丽展示的情形三知,当∠B=3∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C;
(3)由
(2)知,∠B=n∠C,∠BAC是△ABC的好角,
∴∠C=n∠A,∠ABC是△ABC的好角,∠A=n∠B,∠BCA是△ABC的好角,
∴如果一个三角形的最小角是4°,三角形另外两个角的度数是4、172;8、168;16、160;44、132;88°、88°.
3.(2012•南京)下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改.
题目:
某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:
1,在温室内,沿前侧内墙保留3m的空地,其他三侧内墙各保留1m的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2?
解:
设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,
根据题意,得x•2x=288.
解这个方程,得x1=-12(不合题意,舍去),x2=12
所以温室的长为2×12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)
答:
当温室的长为28m,宽为14m时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2.
我的结果也正确!
小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中画了一条横线,并打了一个?
.
结果为何正确呢?
(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:
变化一下会怎样…
(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:
AB=2:
1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?
请说明理由.
【解答】
(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:
1的理由.
在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm.”前补充以下过程:
设温室的宽为ym,则长为2ym.
则矩形蔬菜种植区域的宽为(y-1-1)m,长为(2y-3-1)m.
∵
=2,
∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:
1;
(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,
就要
,即
,
即
,
即
=2.
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