三角形全等的条件要点全析.docx
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三角形全等的条件要点全析
三角形全等的条件-要点全析
三角形全等的条件·要点全析
1.探索三角形全等的条件
三角形有三条边,三个内角共六个基本元素,全等三角形的六个元素都分别对应相等.反过来,如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等.那么它们必定可以重合,根据定义,它们一定全等.
但是,判定两个三角形全等真的需要六个条件吗?
探索发现:
两个三角形满足一个条件(一条边或一个内角相等)或两个条件都不能确定它们是否全等,而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等.
2.三角形全等的条件一:
“SSS”或“边边边”
(1)SSS:
三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”.
(2)书写格式:
如图13-2-1.
在△ABC和△A′B′C′中,①
②
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS).③
(3)书写格式的步骤分三步:
第一步:
指出在哪两个三角形中.如上边的①,在△ABC和△A′B′C′中.
第二步:
按条件中的边角顺序列出三个条件.如上边的②.
第三步;写出结论,如上边的③,△ABC≌△A′B′C′(SSS).
【说明】①第一步中,两个三角形之间的“和”不能写成“≌”,也不能取消.②第二步中,大括号内的三个条件的书写是有顺序的,必须与判定条件一致,并且注意边、角字母的对应.一般前一个三角形的边、角写在等号的左边,另一个三角形的对应边、角写在右边.
③写结论时,注意对应顶点写在对应位置上,并在后面的括号内注明判定条件的简写,如“SSS”或“边边边”.
例如:
如图13-2-2.已知AB=AC,D为BC中点.试说明∠B=∠C是否成立,为什么?
解:
∠B=∠C成立.∵ D为BC中点,
∴ BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
∴ △ABD≌△ACD(SSS).
∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
【说明】①在本例中使用了证明的格式.
②在本例中的最后两步中有两个“∴”符号,前一个“∴”,是由前面大括号内的三个条件得出的.后一个“∴”,是将前一个“∴”当成了“∵”,然后推出后一个“∴”,这里省略了一步:
∵△ABD≌△ACD.因此,今后在书写中要注意.
3.三角形全等的条件二:
“边角边”或“SAS”
(1)SAS:
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为“SAS”.
(2)表达格式为在△ABC和△DEF中(图13-2-3)
∴ △ABC≌△DEF(SAS).
例如:
如图13-2-4中,AD、BC相交于点O.OA=OD,OB=OC,那么AB=DC是否成立.
解:
∵ AD、BC相交于点O,
∴ ∠AOB=∠DOC(对顶角相等).
在△AOB和△DOC中,
∴ △AOB≌△DOC(SAS).∴ AB=DC
【说明】本题中,书写三条件时,应该按边、角、边的顺序,将两边的夹角放在中间,用括号括起来;或者写成一行,也按边、角、边的顺序,将两边的夹角放在中间,再推出两个三角形全等.
4.三角形全等的条件三:
“角边角”或“ASA”
(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”.
(2)表达格式:
如图13-2-5,在△ABC和△DEF中,
∴ △ABC≌△DEF(AAS).
5.三角形全等的条件四:
“角角边”或“AAS”
(1)有两角和一边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.
(2)表达格式,如图13-2-5,在△ABC和△DEF中,
∴ △ABC≌△DEF(AAS).
例如:
如图13-2-6中,AB∥CD,AE∥DF,AB=CD.求证:
AE=DF.
证明:
∵ AB∥CD,
∴ ∠ABC=∠DCB.
∵ AE∥DF,∴ ∠AEB=∠DFC.
在△ABE和△DCF中,
∴ △ABE≌△DCF(AAS).∴ AE=DF.
6.直角三角形全等的条件:
“斜边、直角边”或“HL”
(1)HL:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”.
(2)表达格式:
如图13-2-7,在△ABC中,AD⊥BC于D,AB=AC在Rt△ABD和Rt△ACD中,
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
(3)直角三角形是三角形中的一种特殊情况,因此,它也可以用一般三角形全等的条件.如两条直角边对应相等,可用“SAS”,一边一锐角对应相等可用“ASA”或“AAS”.它的特殊条件就是“斜边、直角边”.
7.“角角角”与“边边角”
在三角形全等的条件中,上面已说过的有:
三边的SSS,两边一角的SAS和一边两角的ASA,AAS,那么“AAA”和“SSA”能否成为三角形全等的条件呢?
(1)有三个角对应相等的两个三角形不一定全等,如图13-2-8,DE∥BC,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,△ADE与△ABC有三角对应相等,但它们没有重合,所以不全等.
(2)如图13-2-9,在△ABC与△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不完全重合,故不全等.也就是有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
8.证明的意义和步骤
(1)证明的意义
证明是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程,简单地说,证明就是推理过程.
(2)证明的步骤
证明一个命题为正确的时候,其步骤如下:
①弄清命题的条件和结论,画出图形.
②根据条件,结合图形,写出已知.
③根据结论,结合图形、写出求证.
④写出证明过程.
证明一个命题不正确的时候,只需举出一个反例即可.
例如:
若a2=b2,则a=b.这是一个错误命题,证明如下.
证明:
∵ (-5)2=52=25,而-5≠5.
∴ 若a2=b2,则a=b,是一个错误命题.
9.证明题目时常用的三种方法
在探索三角形全等的过程中,经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题,如何分析条件与结论之间的关系,常用的分析方法有以下三种:
(1)综合法
就是从题目的已知条件入手,根据已学过的定义、定理、性质、公理等,逐步推出要判断的结论,有时也叫“由因导果法”.
例如:
如图13-2-10,在△ABC中,D是BC的中点,DE∥AB,DF∥AC,分别交AC、AB于点E、F.
求证:
BF=DE.
分析:
从已知条件到推出结论,其探索过程如下
△BFD≌△DEC(ASA)
BF=DE(目标).
以上这种由因导果的方法就是综合法.
(2)分析法
就是从要判断的结论出发,根据已学的定义、定理、公理、性质等,倒过来寻找能使结论成立的条件,这样一步步地递求,一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止,有时也叫“执果索因法”.
如上题,用分析法的探索过程如下:
BF=DE
△BFD≌△DEC
(3)分析—综合法
在实际的思考过程中,往往需要使用这两种方法,先从结论出发,想一想需要什么条件,层层逆推,当思维遇到障碍时,再从条件出发,顺推几步,看可以得出什么结论,从而两边凑,直至沟通“已知”和“结论”的两个方面.
即:
例如:
如图13-2-11,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E是AD上任一点,连接EB、EC,
求证:
EB=EC.
分析:
本题比较复杂,可用上述的三个方法均可,现在以分析一综合法为例,说明分析过程.
先用综合:
由因导果.
△ABD≌△ACD
再用分析:
执果索因.
EB=EC
△ABE≌△ACE
△ABD≌△ACD.
证明:
∵ D是BC的中心,∴ BD=CD.
在△ABD和△ACD中
∴ △ABD≌△ACD(SSS).∴ ∠BAD=∠CAD.
在△ABE和△ACE中
∴ △ABE≌△ACE(SAS).
∴ BE=CE(全等三角形的对应边相等).
【说明】①本题证明过程中,后一次三角形全等,也可选△BDE≌△CDE,方法同上.
②本题两次用到全等三角形,在分析中应找准三角形,理清思路.
10.判定两个三角形全等方法的选择
选择哪种方法判定两个三角形全等,要根据具体已知条件而定,见下表:
已知条件
寻找条件
判定方法
—边一角对应相等
一边
SAS
一角
SAS或AAS
两角对应相等
一边
ASA或AAS
两边对应相等
一角
SAS
一边
SSS
11.如何选择三角形判定全等
在学过本节内容之后,经常会遇到判定两条线段相等,两个角相等的问题,而要判断它们相等,就要考虑选择三角形全等.如何选择三角形呢?
可考虑以下四个方面:
(1)可以从判断的结论(线段或角)出发,寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中,就试着判定两个三角形全等.
(2)可以从题目的已知条件出发,看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等.
(3)由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后判定它们全等.
(4)如果以上方法都行不通,可考虑添加辅助线的办法,构造三角形全等.
例如:
如图13-2-12,已知AB=AC,BD=CD,试判断∠B与∠C的关系,并说明理由.
分析:
要判断∠B与∠C的关系,先看∠B与∠C是否在两个全等三角形中,而此题没有两个全等三角形,只有一个四边形,目前由已知条件四边形ABDC,要创造三角形,可以连接AD或BC,那么连接谁更合适呢?
若连接AD,则∠B、∠C分在左、右两个三角形中,若全等,则∠B=∠C,事实上,∠B=∠C,若连接BC,则∠B、∠C分在上、下两个三角形中,根据目前所学知识还不能确定∠B=∠C因此,连接AD较为合适.
解:
∠B=∠C
连接AD,
在△ABD和△ACD中,
AB=AC,BD=CD,AD=AD(公共边),
∴ △ABD≌△ACD(SSS).∴ ∠B=∠C
分析:
这是一个实际应用题,应先把其转化为数学问题,然后再解答.
解:
已知:
AB⊥BF,DE⊥BF,A、C、E三点在一条直线上,BC=DC.
判断AB与DE是否相等?
在△ABC和△DEC中,由于AB⊥BF,DE⊥BF,则∠ABC=∠EDC=90°,又A、C、E三点在一条直线上,则∠ACB=∠ECD(对顶角).
又BC=CD,则ABC≌△EDC(ASA),因此AB=DE.
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