近世代数期末考试题卷库.docx
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近世代数期末考试题卷库
..
世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)在每小题列出的四个备选项中
只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无
分。
1、设 A=B=R(实数集),如果 A 到 B 的映射 ϕ :
x→x+2,∀ x∈R,则 ϕ 是从 A 到 B 的(c )
A、满射而非单射B、单射而非满射
C、一一映射D、既非单射也非满射
2、设集合 A 中含有 5 个元素,集合 B 中含有 2 个元素,那么,A 与 B 的积集合 A×B 中含
有(d)个元素。
A、2B、5C、7D、10
3、在群 G 中方程 ax=b,ya=b, a,b∈G 都有解,这个解是(b )乘法来说
A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)
4、当 G 为有限群,子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数(c )
A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的(d)
A、倍数B、次数C、约数D、指数
二、填空题(本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
{
1、设集合 A = {- 1,0,1}; B = 1,2},则有 B ⨯ A = 。
2、若有元素 e∈R 使每 a∈A,都有 ae=ea=a,则 e 称为环 R 的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环 R 的乘法交换,则称 R 是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合 A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做 A 的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于 0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是 1,元 a
的逆元是 a-1。
8、设 I 和 S 是环 R 的理想且 I ⊆ S ⊆ R ,如果 I 是 R 的最大理想,那么---------。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分)
⎥
σ τ σ
τ
矩阵,且 A = B + C 。
若令有 A = B + C ,这里 B 和 C 分别为对称矩阵和反对称矩阵,则
写成对换的乘积。
2、证明:
任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵
之和。
奇 1、解:
把 σ 和τ 写成不相杂轮换的乘积:
σ = (1653)(247)(8)τ = (123)(48)(57)(6)
可知 σ 为奇置换,τ 为偶置换。
σ 和τ 可以写成如下对换的乘积:
σ = (13)(15)(16)(24)(27)τ = (13)(12)(48)(57)
11
B =( A + A')C =( A - A')
22
2 解:
设 A 是任意方阵,令,,则 B 是对称矩阵,而 C 是反对称
1111
.下载可编辑.
..
11
11
3、设集合 M m = {0,1,2,⋯⋯, m - 1, m}(m φ 1) ,定义 M m 中运算“ + m ”为 a + m b=(a+b)(modm),则
( M m , + m )是不是群,为什么?
四、证明题(本大题共 2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分)
1、设 G 是群。
证明:
如果对任意的 x ∈ G ,有 x 2 = e ,则 G 是交换群。
2、假定 R 是一个有两个以上的元的环,F 是一个包含 R 的域,那么 F 包含 R 的一个商域。
1、对于 G 中任意元 x,y,由于 ( xy) 2 = e ,所以 xy = ( xy) -1 = y -1 x -1 = yx(对每个 x,从 x 2 = e 可
得 x = x -1 )。
2、证明在 F 里
ab -1 = b -1a =
a
b
(a, b ∈ R, b ≠ 0)
有意义,作 F 的子集
- ⎧ a ⎫
⎩ b ⎭
-
Q 显然是 R 的一个商域证毕。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题
二、1、设 G 有 6 个元素的循环群,a 是生成元,则 G 的子集(c )是子群。
aeea{, a }3
A、 { }B、 { , e}C、D、 {, a, a 3 }
2、下面的代数系统(G,*)中,(d)不是群
A、G 为整数集合,*为加法B、G 为偶数集合,*为加法
C、G 为有理数集合,*为加法D、G 为有理数集合,*为乘法
3、在自然数集 N 上,下列哪种运算是可结合的?
(b)
A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、 a*b=a+2bD、a*b=|a-b|
4、设σ 1 、σ 2 、σ 3 是三个置换,其中σ 1 =(12)(23)(13),σ 2 =(24)(14),σ 3 =(1324),
则 σ 3 =( b )
A、 σ2 1B、 σ 1 σ 2C、 σ 2 2D、 σ 2 σ 1
5、任意一个具有 2 个或以上元的半群,它(a )。
A、不可能是群B、不一定是群
C、一定是群D、 是交换群
二、填空题(本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:
任一个子群都同一个---变换全-------同构。
2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。
3、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 50,则 a 4 的阶等于-25-----。
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..
4、a 的阶若是一个有限整数 n,那么 G 与--模 n 乘余类加群-----同构。
5、A={1.2.3}B={2.5.6} 那么 A∩B=---2--。
6、若映射 ϕ 既是单射又是满射,则称ϕ 为---双射--------------。
7 、 α 叫 做 域 F 的 一 个 代 数 元 , 如 果 存 在 F 的 -- 不 都 等 于 林 --- a0 , a1 ,Λ , an 使 得
a0 + a1 + α Λ + a nα n = 0 。
8、 a 是代数系统 ( A,0) 的元素,对任何 x ∈ A 均成立 x ο a = x ,则称 a 为----单位元-----。
9、有限群的另一定义:
一个有乘法的有限非空集合 G 作成一个群,如果满足 G 对于乘法
封闭;结合律成立、--消去律成立-------。
10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群,则 P 是----------。
三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分)
1、设集合 A={1,2,3}G 是 A 上的置换群,H 是 G 的子群,H={I,(1 2)},写出 H 的所有陪
集。
2、设 E 是所有偶数做成的集合,“ ”是数的乘法,则“ ”是 E 中的运算,(E, )是一
个代数系统,问(E, )是不是群,为什么?
1、解:
H 的 3 个右陪集为:
{I,(1 2)},{(1 2 3 ),(1 3)},{(1 3 2 ),(2 3 )}
H 的 3 个左陪集为:
{I,(1 2)} ,{(1 2 3 ),(2 3)},{(1 3 2 ),(1 3 )}
2、答:
(E, )不是群,因为(E, )中无单位元。
3、解 方法一、辗转相除法。
列以下算式:
a=b+102
b=3×102+85
102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。
然后回代:
17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.
所以 p=4, q=-5.
四、证明题(本大题共 2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分)
1、证明 设 e 是群
令 x=a-1*b,则 a*x=a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b
=b。
所以,x=a-1*b 是 a*x=b 的解。
若 x'∈G 也是 a*x=b 的解,则 x'=e*x'=(a-1*a)*x'=a-1*(a*x')=a-1*b=x。
所以,
x=a-1*b 是 a*x=b 的惟一解。
2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系,把这样定义的等价类集合Z 记为 Zm,每
个整数 a 所在的等价类记为[a]={x∈Z;m︱x–a}或者也可记为a ,称之为模 m 剩余类。
若 m︱a–b 也记为 a≡b(m)。
当 m=2 时,Z2 仅含 2 个元:
[0]与[1]。
四、证明题(本大题共 2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分)
1、若
2、设 m 是一个正整数,利用 m 定义整数集 Z 上的二元关系:
ab 当且仅当 m︱a–b。
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近世代数模拟试题三
一、单项选择题
1、6 阶有限群的任何子群一定不是(c)。
A、2 阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶
2、设 G 是群,G 有( c)个元素,则不能肯定 G 是交换群。
A、4 个B、5 个C、6 个D、7 个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于(d)。
4、下列哪个偏序集构成有界格( d)
A、偶数B、奇数C、4 的倍数D、2 的正整数次幂
A、(N, ≤ )B、(Z, ≥ )
C、({2,3,4,6,12},|(整除关系))D、 (P(A), ⊆ )
5、设 S3={
(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在 S3 中可以与(123)交换
的所有元素有( a )
A、
(1),(123),(132)B、12),(13),(23)
C、
(1),(123)D、S3 中的所有元素
二、填空题(本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的,每个元素的逆元素是--------的。
2、如果 f 是 A 与 A 间的一一映射, a 是 A 的一个元,则 f -1 [f (a )]= ----a------。
3、区间[1,2]上的运算 a οb = {min a, b} 的单位元是--2-----。
4、可换群 G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=———24———————。
5、环 Z 的零因子有 -----------------------。
8
6、一个子群 H 的右、左陪集的个数---相等-------。
7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的-----商权----。
8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为 R 的---特征--------。
9、设群 G 中元素 a 的阶为 m ,如果 a n = e ,那么 m 与 n 存在整除关系为---mIn----。
三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分)
1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链?
2、S ,S 是 A 的子环,则 S ∩S 也是子环。
S +S 也是子环吗?
121212
3、设有置换 σ = (1345)(1245) , τ = (234)(456) ∈ S 6 。
1.求 στ 和 τ -1σ ;
2.确定置换 στ 和 τ -1σ 的奇偶性。
群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法。
用笔在纸上画一下,用黑白两种珠子,分
类进行计算:
例如,全白只 1 种,四白一黑 1 种,三白二黑 2 种,…等等,可得总共 8
种。
2、证 由上题子环的充分必要条件,要证对任意 a,b∈S1∩S2 有 a-b, ab∈S1∩S2:
.下载可编辑.
..
因为 S1,S2 是 A 的子环,故 a-b, ab∈S1 和 a-b, ab∈S2 ,
因而 a-b, ab∈S1∩S2 ,所以 S1∩S2 是子环。
S1+S2 不一定是子环。
在矩阵环中很容易找到反例:
3、解:
1. στ = (1243)(56) , τ -1σ = (16524) ;
2.两个都是偶置换。
四、证明题(本大题共 2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分)
1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M 为含幺半群,证明 b=a-1 的充分必要条件是 aba=a 和 ab2a=e。
1、证明:
假定 μ 是 R 的一个理想而 μ 不是零理想,那么 a ≠ 0 ∈ μ ,由理想的定义 a -1a = 1 ∈ μ ,
因而 R 的任意元 b = b 1 ∈ μ
这就是说 μ =R,证毕。
2、证 必要性:
将 b 代入即可得。
充分性:
利用结合律作以下运算:
ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e,
ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e,
近世代数模拟试题四
一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的
括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设集合 A 中含有 5 个元素,集合 B 中含有 2 个元素,那么,A 与 B 的积集合 A×B 中含
有(d)个元素。
A.2B.5
C.7D.10
2.设 A=B=R(实数集),如果 A 到 B 的映射
ϕ :
x→x+2, ∀ x∈R,
则 ϕ 是从 A 到 B 的(c)
A.满射而非单射B.单射而非满射
C.一一映射D.既非单射也非满射
3.设 S ={
(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在 S 中可以与(123)交换的
33
所有元素有(a)
.下载可编辑.
..
A.
(1),(123),(132)B.(12),(13),(23)
C.
(1),(123)D.S 中的所有元素
3
4.设 Z 是以 15 为模的剩余类加群,那么,Z 的子群共有(d)个。
1515
A.2B.4
C.6D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是(b)
A.整系数多项式全体 Z[x]关于多项式的加法与乘法
B.有理数域 Q 上的 n 级矩阵全体 M (Q)关于矩阵的加法与乘法
n
C.整数集 Z 关于数的加法和新给定的乘法“ ο ”:
∀ m, n∈Z, m ο n=0
D.整数集 Z 关于数的加法和新给定的乘法“ ο ”:
∀ m, n∈Z, m ο n=1
二、填空题(本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设“~”是集合 A 的一个关系,如果“~”满足___________,则称“~”是 A 的一个
等价关系。
7.设(G,·)是一个群,那么,对于 ∀ a,b∈G,则 ab∈G 也是 G 中的可逆元,而且(ab)-1
=
___________。
8.设σ=(23)(35),τ=(1243)(235)∈S ,那么στ=___________(表示成若干个没有
5
公共数字的循环置换之积)。
9.如果 G 是一个含有 15 个元素的群,那么,根据Lagrange 定理知,对于∀ a∈G,则元素
a 的阶只可能是____5,15,1,3,_______。
10.在 3 次对称群 S 中,设 H={
(1),(123),(132)}是 S 的一个不变子群,则商群 G/H
33
中的元素(12)H=___________。
11.设 Z ={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}是以 6 为模的剩余类环,则 Z 中的所有零
66
因子是___2,3,4________。
12.设 R 是一个无零因子的环,其特征 n 是一个有限数,那么,n 是___________。
13.设 Z[x]是整系数多项式环,(x)是由多项式 x 生成的主理想,则(x)=_____________
___________。
14.设高斯整数环 Z[i]={a+bi|a,b∈Z},其中 i2=-1,则 Z[i]中的所有单位是
___________
___________。
15.有理数域 Q 上的代数元 2 + 3 在 Q 上的极小多项式是___________。
三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分)
16.设 Z 为整数加群,Zm 为以 m 为模的剩余类加群, ϕ 是 Z 到 Zm 的一个映射,其中
ϕ :
k→[k], ∀ k∈Z,
验证:
ϕ 是 Z 到 Zm 的一个同态满射,并求 ϕ 的同态核 Ker ϕ 。
17.求以 6 为模的剩余类环 Z ={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}的所有子环,并说明
6
这些子环都是 Z 的理想。
6
18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系,并举例说明唯一分解环未必
.下载可编辑.
是主理想环。
..
四、证明题(本大题共 3 小题,第 19、20 小题各 10 分,第 21 小题 5 分,共 25 分)
19.设 G={a,b,c},G 的代数运算“ ο ”
由右边的运算表给出,证明:
(G, ο )作成一个群。
οabc
aabc
bbca
ccab
20.设
⎩⎝ c
b ⎫ ⎫
d ⎭ ⎭
⎧⎛ a 0 ⎫ ⎫
⎩⎝ c 0 ⎭ ⎭
已知 R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环。
证明:
I 是 R 的一个子环,但不是理想。
21.设(R,+,·)是一个环,如果(R,+)是一个循环群,证明:
R 是一个交换环。
近世代数模拟试题一参考答案
一、单项选择题。
1、C;2、D;3、B;4、C;5、D;
二、填空题(本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分)。
1、 {(1,-1) 1,0) 1,1)(2,-1) (2,0) (2,1)};2、单位元;3、交换环;4、整数环;5、变换群;6、同
构;7、零、-a ;8、S=I 或 S=R ;9、域;
三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分)
1、解:
把 σ 和τ 写成不相杂轮换的乘积:
σ = (1653)(247)(8)τ = (123)(48)(57)(6)
可知 σ 为奇置换,τ 为偶置换。
σ 和τ 可以写成如下对换的乘积:
σ = (13)(15)(16)(24)(27)τ = (13)(12)(48)(57)
2、解:
设A 是任意方阵,令
B = 1
2
1
( A + A') C = ( A - A')
, ,则 B 是对称矩阵,而 C 是反对称
1111
11
11
3、答:
( M m , + m )不是群,因为 M m 中有两个不同的单位元素 0 和 m。
四、证明题(本大题共 2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分)
1、对于 G 中任意元 x,y,由于 ( xy) 2 = e ,所以 xy = ( xy) -1 = y -1 x -1 = yx(对每个 x,从 x 2 = e 可
得 x = x -1 )。
2、证明在 F 里
.下载可编辑.
..
ab -1 = b -1a =
a
b
(a, b ∈ R, b ≠ 0)
有意义,作 F 的子集
- ⎧ a ⎫
⎩ b ⎭
-
Q 显然是 R 的一个商域证毕。
近世代数模拟试题二参考答案
一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)。
1、C;2、D;3、B;4、B;5、A;
二、填空题(本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分)。
1、变换群;2、交换环;3、25;4、模 n 乘余类加群;5、{2};6、一一映射;7、不都
等于零的元;8、右单位元;9、消去律成立;10、交换环;
三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分)
1、解:
H 的 3 个右陪集为:
{I,(1 2)},{(1 2 3 ),(1 3)},{(1 3 2 ),(2 3 )}
H 的 3 个左陪集为:
{I,(1 2)} ,{(1 2 3 ),(2 3)},{(1 3 2 ),(1 3 )}
2、答:
(E, )不是群,因为(E, )中无单位元。
3、解 方法一、辗转相除法。
列以下算式:
a=b+102
b=3×102+85
102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。
然后回代:
17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.
所以 p=4, q=-5.
四、证明题(本大题共 2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分)
1、证明 设 e 是群
令 x=a-1*b,则 a*x=a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b
=b。
所以,x=a-1*b 是 a*x=b 的解。
若 x'∈G 也是 a*x=b 的解,则 x'=e*x'=(a-1*a)*x'=a-1*(a*x')=a-1*b=x。
所以,
x=a-1*b 是 a*x=b 的惟一解。
2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系,把这样定义的等价类集合Z 记为 Zm,每
个整数 a 所在的等价类记为[a]={x∈Z;m︱x–a}或者也可记为a ,称之为模 m 剩余类。
若 m︱a–b 也记为 a≡b(m)。
当 m=2 时,Z2 仅含 2 个元:
[0]与[1]。
近世代数模拟试题三参考答案
一、单项选择题 1、C;2、C;3、D;4、D;5、A;
二、填空题(本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、唯一、唯一;2、 a ;3、2;4、24;5、;6、相等;7、商群;8、特征;9、 m n ;
三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分)
1、解 在学群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法。
用笔在纸上画一下,用黑白两
种珠子,分类进行计算:
例如,全白只 1 种,四白一黑 1 种,三白二黑 2 种,…等等,
.下载可编辑.
可得总共 8 种。
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2、证 由上题子环的充分必要条件,要证对任意 a,b∈S1∩S2 有 a-b, ab∈S1∩S2:
因为 S1,S2 是 A 的子环,故 a-b, ab∈S1 和 a-b, ab∈S2 ,
因而 a-b, ab∈S1∩S2 ,所以 S1∩S2 是子环。
S1+S2 不一定是子环。
在矩阵环中很容易找到反例:
3、解:
1. στ = (1243)(56) , τ -1σ = (16524) ;
2.两个都是偶置换。
四、证明题(本大题共 2 小题,第
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