近世代数刘绍学答案.docx
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近世代数刘绍学答案
近世代数刘绍学答案
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【篇二:
课后答案网】
答案网,这里面的答案应有尽有,大家可以注册下载答案
2500份课后答案,很值得收藏,这里只介绍了一部分。
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《原子物理学》杨福家版部分答案高等教育出版社【khdaw】
【篇三:
近世代数教案】
南大学数学与统计学院
张广祥
学时数:
80(每周4学时)
使用教材:
抽象代数——理论、问题与方法,科学出版社2005
教材使用说明:
该教材共10章,本课程学习前6章,覆盖通用的传统教材(例如:
张禾瑞《近世代数基础》)的所有内容,但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。
本教材的后4章有一定难度和深度,可作为本科近世代数
(二)续用。
如果不再开设近世代数
(二),则可以供有兴趣的学生自学、自读,进一步了解现代代数学更加前沿的内容,拓宽
知识面。
教学方法:
由于该教材首次在全年级使用,采用教研室集体备课的方式,每2周一次参加教学的教师集体研讨备课。
每节配有3—5题常规练习作业。
每章提供适量的(3—4题)思考问题供学生独立思考,学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。
整学期可安排1—2次相关讲座,介绍现代代数学的研究方法或研究成果。
本学期已经准备讲座内容:
群与goldbach猜想。
教学手段:
黑板板书与powerpoint课件相结合。
主要参考书:
1.张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社
2.刘绍学,近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材)高等教育出版社,1999
3.石生明,近世代数初步,高等教育出版社2002
4.b.l.vanderwaerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社
5.m.kline,古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002
第二章数环与数域
本章教学目标:
1.熟悉整数剩余类环的运算,了解整数剩余类环在数论研究中的作用。
2.数环就是数系,熟悉各种不同形态的数环与数域;有限的、无限的;交换的、不交换的。
3.学习整环的分式域、素域与扩域的理论。
4.综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、lagrange四平方和定理。
5.本章通过若干数论定理的学习,使学生了解和熟悉环论的初等方法,为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。
教学时数:
共6节,8学时
2.1整数剩余类环
复习引入:
通过整数的整除性问题,了解引入整数剩余类环的必要性,一方面使学生知道同余类方法是数论的基本工具,另一方面整数剩余类环也是一类重要的数环。
内容要点:
1.整数剩余类环的定义及基本性质。
2.环同态定义、理想定义、环同态基本定理。
3.整数剩余类环是整数环的同态像。
讲授内容:
整数的整除性是整数最重要的性质,它是数论研究的一个重要的内容。
整除性问题常常是数论中的困难问题。
法国数学家费马(pierredefermat,1601-1665)曾经认为形如2
5
2n
+1的数都是素数,直到大约100
2
年之后2+1的一个非平凡因子641才被数学家欧拉(leonhardeuler,1707—1783)发现,欧拉得到分解
研究整数整除性的一个重要工具是带余除法。
对于两个整数a,b(b0)存在整数q,r使a=qb+r且0?
r<b。
式中q称为商,r称为余数。
在整除性问题中我们主要关心余数,而不关心商。
因此有下面的同余概念。
定义1假定m是一个正整数,两个整数a与b如果满足条件m︱a-b,则称a与b模m的同余,记为a≡b(m)。
由1.2节知模m同余是整数集z上的一个等价关系,其商集记为zm,其元素记为[a],称之为模m的一个剩余类。
定义zm上的加法与乘法运算:
定理2.1.1zm成为一个环。
该定理证明没有太多困难,仅仅是按定义作常规验证。
证明留给读者作为练习。
zm称为模m剩余类环,这是一个包含m个元素的有限环。
我们也可以把它看成一个有限数系。
借助环zm常常可以简化整数中的计算问题,特别是整除性问题。
例z2仅含两个元[0]与[1],每个偶数与0同余,每个奇数与1同余。
如果我们用[0]代表偶,[1]代表奇,
则剩余类环z2中的运算实际上表示了整数运算的奇偶性法则:
定义2设r与s是两个环,映射?
:
r→s若满足条件:
对每a,b∈r有?
(a+b)=?
(a)+?
(b),?
(ab)=?
(a)?
(b),则?
称为环同态。
若?
是满映射,则?
称为满同态;若?
是单映射,则?
称为单同态;若?
是既单又满的环同态,则称?
为环同构。
满同态记为?
:
r~s环同构记为?
:
r?
s
定义3两个域同态或同构是指它们作为环同态或同构。
定理2.1.2定义映射?
:
z→zm使?
(a)=[a],则?
是环同态。
证证明十分简单,略去。
为了进一步讨论整数剩余类环的性质,我们先证明一个整数方面的定理。
定理2.1.3两个整数a、b互素的充分必要条件是存在整数s、t使sa+tb=1。
反过来假定a、b互素,不妨设a与b都是正整数。
对a+b作归纳。
由带余除法,存在整数q、r使a=qb+r且0?
r<b。
如果r=0,则b|a,但因a、b互素,故b=1,当然存在整数s、t使sa+tb=1。
如果r≠0,则b,r互素。
由归纳存在整数s1,t1使s1b+t1r=1,于是t1a=t1qb+t1r=t1qb+1-s1b。
因此t1a+(s1-t1q)b=1,定理得证。
定理2.1.4若p是素数,则zp是域。
证只要证明zp中的非零元素集成为一个乘法群。
设[a]≠[0],由定理2.1.3存在整数s,t使sa+tp=1,于是[s][a]=[1],说明[s]是[a]在zp中的逆元素,因而zp中的全体非零元素集组成一个乘法群。
注:
zp是我们过去在代数中未遇到过的有限域。
像整数模n剩余类环一样,对于一般的环也可以作剩余类环。
为此我们引入一个在环论研究中十分重要的定义,这个定义称为“理想”。
定义4设r是一个环,a是r的一个子环,如果a满足下面条件:
对每r?
r有ra,ar?
a,其中ra={ra|a?
a},ar={ar|a?
a},则称a是r的理想。
如果a是r的理想,定义r上的一个二元关系a?
b当且仅当a-b?
a。
容易检验?
是r上的一个等价关系,商集合记为r=r/a。
r的元记为[r]=r+a,定义r上的运算[a]+[b]=[a+b],[a][b]=[ab]。
这样r成为一个环,称之为模a剩余类环。
我们有下面的同态基本定理
定理2.1.5
(1)假定r与r是两个环,并有环同态?
:
r?
r,则a={r?
r|r=o}是r的理想,且有环同构r?
r/a。
上面的?
称为自然同态,记a=ker?
,称之为同态?
的核。
(2)反之,若a是r的理想,则有环同态r?
r/a=r。
证
(1)对每a、b?
a,?
(a-b)=a-b=0,故a-b?
a,说明a是一个加群。
进一步若r?
r,a?
a,则?
(ra)=ra=0,ra?
a,同样ar?
a。
因此a是r的理想。
容易验证?
:
r?
r+a是环同构r?
r/a。
(2)容易知道映射?
:
r?
r/a使?
(r)=r是环同态。
思考问题4问定理2.1.2中环同态?
:
z→zm的同态核a=?
解答:
同态核a=(m)={am|a?
z},因此由定理2.1.5zm≌z/(m)。
练习作业
(4)若ad≡bd(m),且(d,m)=1,则a≡b(m)
2.z是整数环,2z={2a︱a?
z}在整数运算之下成为一个环,可以称它为偶数环,?
:
a→2a是z→2z的一个映射,问?
是不是环同构?
3.设r是一个有单位元的环,a,b?
r,证明1?
ab可逆当且仅当1?
ba可逆。
4.假定r是一个交换环,证明a={a?
r|存在某个正整数n使an=0}是r的一个理想。
这个理想称为幂零元理想。
2.2整环的分式域
复习引入:
上节我们从整数环出发,构造整数模n剩余类环zn,由同态基本定理,剩余类环zn≌z/(n)。
这样,我们实际从一个无限数系得到一有限数系。
有限数系zn在数论研究中有重要价值。
数系发展的另一个方向是从整数系统构造出分数系统,既有理数系统。
本节我们将把这样的数系扩充推广到一般的整环上。
内容要点:
1.证明整环嵌入分式域定理。
2.整环的分式域是包含这个整环的最小域。
3.了解一些常见整环分式域的实例。
- 配套讲稿:
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